幂函数

一般地，函数${\displaystyle f(x)=x^{a}}$叫做幂函数（英語：Power function），其中${\displaystyle x}$是自变量，${\displaystyle a}$是常数。

幂函数图像

幂函数与指数函数的区别是，幂函数的自变量是底数（英語：base），指数函数的自变量是指数（英語：exponent或power）

自然数幂

自然数幂函数${\displaystyle x^{n}}$ 的定义为自变量自乘${\displaystyle n}$ 次，如

${\displaystyle x^{3}\equiv x\times x\times x}$ 

有理数幂

形如

${\displaystyle f(x)=x^{\frac {1}{n}}}$ 

的幂函数定义为

${\displaystyle f(x)=x^{n}}$ 

的多值反函数。但实际上，我们还是只取主值。

无理数幂

无理数幂可以使用两个有理数幂的商逼近得到。

复数幂

扩大的幂函数定义为

${\displaystyle x^{a}\equiv e^{a\cdot \ln x}}$ 

如果${\displaystyle a}$ 不是整數，則冪函數是一个多值函数。

幂函数图像

 

上至下：x^1/8，x^1/4，x^1/2，x¹，x²，x⁴，x⁸