审敛法

在数学领域，收敛性判别法是判断无穷级数收敛、条件收敛、绝对收敛、区间收敛或发散的方法。

无穷级数
${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}}$
无穷级数
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判别法列表

通项极限判别法

如果序列通项的极限不为零或无定义，即${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}\neq 0}$ ，那么级数不收敛。在这种意义下，部分和是柯西数列的必要条件是极限存在且为零。这一判别法在通项极限为零时无效。

比值审敛法（检比法）

假设对任何的${\displaystyle n}$ ，${\displaystyle a_{n}>0}$ 。如果存在${\displaystyle r}$ 使得：

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r}$ 

如果${\displaystyle r<1}$ ，那么级数绝对收敛。如果${\displaystyle r>1}$ ，那么级数发散。如果${\displaystyle r=1}$ ，比例判别法失效，级数可能收敛也可能发散，此时可以考虑高斯判别法。

高斯判别法

设${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ 是要判断审敛性的级数，其中（至少从某一项开始）${\displaystyle a_{n}>0}$ 。倘若其相邻项比值${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}}$ 可以被表示为：

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=\lambda +{\frac {\mu }{n}}+{\frac {\theta _{n}}{n^{2}}}}$ 

其中${\displaystyle \lambda }$ 和${\displaystyle \mu }$ 都是常数，而${\displaystyle \theta _{n}}$ 是一个有界的序列，那么

• 当${\displaystyle \lambda >1}$ 或${\displaystyle \lambda =1,\mu >1}$ 时，级数收敛；
• 当${\displaystyle \lambda <1}$ 或${\displaystyle \lambda =1,\mu \leq 1}$ 时，级数发散。

根值审敛法（检根法）

${\displaystyle r=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}$ 

其中${\displaystyle \limsup }$ 表示上极限（可能为无穷，若极限存在，則极限值等于上极限）。

如果${\displaystyle r<1}$ ，级数绝对收敛。如果${\displaystyle r>1}$ ，级数发散。如果${\displaystyle r=1}$ ，开方判别法无效，级数可能收敛也可能发散。

积分判别法

级数可以与积分式比较来确定其敛散性。令${\displaystyle f(n)=a_{n}}$ 为一正项单调递减函数。如果：

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty }$ 

那么级数收敛。如果积分发散，那么级数也发散。

比較審斂法

如果${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ 是一個絕對收斂級數且對於足夠大的n，有${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$ ，那麼級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ 也絕對收斂。

極限比較審斂法

如果${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}\geq 0,\left\{b_{n}\right\}>0}$ ，并且极限${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$ 存在非零，那么${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ 收敛当且仅当${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ 收敛。

交错级数判别法

具有以下形式的级数${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!}$ 。其中所有的${\displaystyle a_{n}}$ 非负，被称作交错级数。如果当${\displaystyle n}$ 趋于无穷时，数列${\displaystyle a_{n}}$ 的极限存在且等于${\displaystyle 0}$ ，并且每个${\displaystyle a_{n}}$ 小于或等于${\displaystyle a_{n-1}}$ （即数列${\displaystyle a_{n}}$ 是单调递减的），那么级数收敛。如果${\displaystyle L}$ 是级数的和${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=L\!}$ 那么部分和${\displaystyle S_{k}=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{n}a_{n}\!}$ 逼近${\displaystyle L}$ 有截断误差${\displaystyle \left|S_{k}-L\right\vert \leq \left|S_{k}-S_{k-1}\right\vert =a_{k}\!}$ 。

阿贝尔判别法

给定两个实数项数列${\displaystyle \{a_{n}\}}$ 和${\displaystyle \{b_{n}\}}$ ，如果数列满足${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ 收敛，${\displaystyle \{b_{n}\}}$ 是单调且有界的，则级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$ 收敛。

参阅

• 狄利克雷判别法
• 拉比判别法

参考文献

外部链接

• Flowchart for choosing convergence test（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Convergence of infinite series（页面存档备份，存于互联网档案馆）