有界函数

在数学中，如果在某个集合${\displaystyle X}$上定义的具有实数或复数值的某个函数${\displaystyle f}$的值域是有界集合，则函数${\displaystyle f}$被称为有界的（或有界函数）。换句话说，存在实数${\displaystyle M>0}$，使得对于集合${\displaystyle X}$中的所有${\displaystyle x}$，都有${\displaystyle |f(x)|\leq M}$。有时，如果对于集合${\displaystyle X}$中的所有${\displaystyle x}$，都有${\displaystyle f(x)\leq A}$，则函数${\displaystyle f}$称为上有界的，${\displaystyle A}$就是它的一个上界；如果对于集合${\displaystyle X}$中的所有${\displaystyle x}$，都有${\displaystyle f(x)\geq B}$，则函数称为下有界的，${\displaystyle B}$就是它的一个下界。

有界函数（红色）和无界函数（蓝色）的示意图。可以看到，有界函数的图形保持在（虚线）水平带内，而无界函数的图形不保持在水平带内。

一个特例是有界数列，其中${\displaystyle X}$是所有自然数所组成的集合${\displaystyle \mathbb {N} }$。所以，一个数列${\displaystyle f=(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )}$ 是有界的，如果存在一个数${\displaystyle M>0}$，使得对于所有的自然数${\displaystyle n}$，都有${\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert \leq M}$。

例子

• 由${\displaystyle f(x)=\sin x}$ 所定义的函数${\displaystyle f:R\rightarrow R}$ 是有界的。如果正弦函数是定义在所有复数的集合上，则不再是有界的。
• 函数${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}-1}}}$ （${\displaystyle x}$ 不等于−1或1）是无界的。当${\displaystyle x}$ 越来越接近−1或1时，函数的值就变得越来越大。但是，如果把函数的定义域限制为${\displaystyle [2,\infty )}$ ，则函数就是有界的。

• 函数${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}}$ 是有界的。

• 任何一个连续函数${\displaystyle f:[0,1]\rightarrow R}$ 都是有界的。
• 考虑这样一个函数：当${\displaystyle x}$ 是有理数时，函数的值是0，而当${\displaystyle x}$ 是无理数时，函数的值是1。这个函数是有界的。有界函数并不一定是连续的。

参见

• 有界集合
• 支撑集
• 一致有界