證明 是无理数
假设 是有理数,且 , 是最简分数。
两边平方,得 。将此式改写为 ,可见 为偶数。
因为平方运算保持奇偶性,所以 只能为偶数。设 ,其中 为整数。
代入可得 。同理可得 亦为偶数。
这与 为最简分数的假设矛盾,所以 是有理数的假设不成立。
證明 是无理数
假設 是有理數,兩邊平方得
其中因為 是有理數,所以 也是有理數。
透過證明 為無理數的方法,其中 為一非完全平方数
可以證明 是無理數
同樣也推出 是無理數
但這又和 是有理數互相矛盾
所以 是一無理數
證明 是无理数
證一
同樣,假設 是有理數,兩邊平方得
,
於是 是有理數。兩邊再次平方,得:
,
於是
由於 是有理數,所以
透過證明形如 的數是無理數的方法,得出 也是一無理數
但這結果明顯和 與 皆為有理數出現矛盾,故 為無理數
證二
同樣假設 是有理數,
,兩邊平方:
證明 形式的數是無理數的方法,得出 是無理數
也是矛盾的。
證明 是无理数
,兩邊平方得
,得到 為一有理數
,兩邊繼續平方:
由於 , 皆為有理數
設 , 亦為有理數
證明 形式的數是無理數的方法可知 為無理數
這和 是有理數衝突
所以得證 為無理數