拉比判别法

拉比判別法（英語：Raabe's Test）是判斷一個實級數收歛的方法。在判断比几何级数收敛得慢的级数时，比柯西判别法、达朗贝尔判别法更有效。^[1]

无穷级数
${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}}$
无穷级数
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查 论 编

定理

对任意级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ 

• 如果存在 ${\displaystyle r>1}$  ，${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} ^{*}}$  ,使得当 ${\displaystyle n>n_{0}}$  时，有

${\displaystyle n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)\geq r}$ ，

那么级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ 绝对收敛。

• 如果对充分大的 ${\displaystyle n}$  ，有

${\displaystyle n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)\leq 1}$ ，

那么级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ 发散。^[1]

极限形式

对任意级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$  ，令

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)=r,}$ 

• ${\displaystyle r>1}$  时级数绝对收敛
• ${\displaystyle r<1}$  时說明级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|}$  发散(沒有絕對收斂)，原級數 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$  可能收斂也可能發散。
• ${\displaystyle r=1}$  时级数可能收敛也可能发散^[2][3]

证明

• 当 ${\displaystyle r>1}$  时，存在 ${\displaystyle p}$  使得 ${\displaystyle r>p>1}$ . 则:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)=r>p=\lim _{n\to \infty }n\left(\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{p}-1\right)}$ 

${\displaystyle \Rightarrow \quad n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)>n\left(\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{p}-1\right)\quad }$  对充分大的 ${\displaystyle n}$ 

${\displaystyle \Rightarrow \quad \left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|>{\frac {(n+1)^{p}}{n^{p}}}}$ 

${\displaystyle \Rightarrow \quad \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<{\frac {\frac {1}{(n+1)^{p}}}{\frac {1}{n^{p}}}}}$ 

因为当 ${\displaystyle p>1}$  时级数 ${\displaystyle \sum n^{-p}}$  收敛，故级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$  在 ${\displaystyle r>1}$  时收敛，即级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$  绝对收敛。 ^[4]

• 当 ${\displaystyle r<1}$  时，有

${\displaystyle n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)\leq 1,}$ ，则

${\displaystyle \left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|\leq 1+{\frac {1}{n}}={\frac {n+1}{n}}}$ ，即

${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq {\frac {n}{n+1}}={\frac {\frac {1}{n+1}}{\frac {1}{n}}}}$ 

由于 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$  发散，故 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$  发散。^[1]

例子

当 ${\displaystyle r=1}$  时无法判断其敛散性，举例如下:

已知有

${\displaystyle {\frac {n+1}{n}}({\frac {\ln(n+1)}{\ln n}})^{\alpha }=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {\alpha }{n\ln n}}+o({\frac {1}{n\ln n}})}$ 

令 ${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n(\ln n)^{\alpha }}}}$ 

已知当 ${\displaystyle \alpha >1}$  时，${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }a_{n}<+\infty }$  ；当 ${\displaystyle \alpha \leq 1}$  时，${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }a_{n}=\infty }$  ，然而由上式得

${\displaystyle n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)=1+{\frac {\alpha }{\ln n}}+o({\frac {1}{\ln n}})\rightarrow 1(n\rightarrow \infty )}$ 

这说明当 ${\displaystyle r=1}$  时，拉比判别法无效。^[5]

参考文献

1. 常庚哲，史济怀. 数学分析教程（下册）. 安徽合肥: 中国科学技术大学出版社. 2013: 第173页. ISBN 9787312031311. 
2. 谢惠民. 数学分析习题课讲义. 北京: 高等教育出版社. 2004: 第8页. ISBN 9787040129410. 
3. Weisstein, Eric W. (编). Raabe's Test. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2015-09-02]. （原始内容于2015-04-02） （英语）. 
4. . mathumatiks.org. [2015-09-03]. （原始内容存档于2016-03-04）. 
5. Weisstein, Eric W. (编). Wolfram MathWorld (首頁). at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2015-09-02]. （原始内容于2015-09-05） （英语）.