高斯判别法

高斯判别法是正项级数敛散性的一种判别方法，方法是将级数相邻项的比（${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}}$）写成${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$的线性函数和余项（与有界量相乘的${\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}}$）之和，分析各系数来判断级数收敛与否，可以视作达朗贝尔判别法、拉阿伯判别法和贝特朗判别法的推论。

无穷级数
${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}}$
无穷级数
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定理

设${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ 是要判断审敛性的级数，其中（至少从某一项开始）${\displaystyle a_{n}>0}$ 。倘若其相邻项比值${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}}$ 可以被表示为：

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=\lambda +{\frac {\mu }{n}}+{\frac {\theta _{n}}{n^{2}}}}$ 

其中${\displaystyle \lambda }$ 和${\displaystyle \mu }$ 都是常数，而${\displaystyle \theta _{n}}$ 是一个有界的序列，那么 ^{[1][2][3][4][5]}：

• 当 ${\displaystyle \lambda >1}$ 或${\displaystyle \lambda =1,\mu >1}$ 时，级数收敛；
• 当${\displaystyle \lambda <1}$ 或${\displaystyle \lambda =1,\mu \leq 1}$ 时，级数发散。

证明：

${\displaystyle \lambda \neq 1}$ 时，因${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {1}{\lambda }}}$ ，可用达朗贝尔判别法判别； ${\displaystyle \lambda =1}$ 而${\displaystyle \mu \neq 1}$ 时，因${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{n({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1)}=\mu }$ ，可用拉阿伯判别法判别； ${\displaystyle \lambda =\mu =1}$ 时，因${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\ln {({\frac {n^{2}a_{n}}{a_{n+1}}}-n^{2}-n)}}=\lim _{n\to \infty }{{\frac {\ln {n}}{n}}\theta _{n}}=0}$ ，依据贝特朗判别法，级数发散。

参考文献

1. Konrad Knopp. Theory and Application of Infinite Series. London: Blackie & Son Ltd. 1954. 
2. Sayel A. Ali. The mth Ratio Test: New Convergence Test for Series. The American Mathematical Monthly. 2008, 115 (6): 514–524.  使用|accessdate=需要含有|url= (帮助)
3. Kyle Blackburn. The mth Ratio Convergence Test and Other Unconventional Convergence Tests (PDF). University of Washington College of Arts and Sciences. 4 May 2012 [27 November 2018]. （原始内容 (PDF)于2021-05-06）. 
4. František Ďuriš. Infinite series: Convergence tests (学位论文). Katedra Informatiky, Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky, Univerzita Komenského, Bratislava. 2009 [28 November 2018]. （原始内容于2010-09-20）. 
5. Г. М. 菲赫金哥尔茨. 微积分学教程（第二卷）（第8版） 第二版. 2006: 230. ISBN 978-7-04-018304-7.