阿贝尔判别法, abel, test, 是一个用于判断无穷级数是否收敛的方法, 有两种不同的形式, 一个是用来判断实数项级数的收敛, 另一个是用来判断复数项级数的收敛, 目录, 实数项级数的, 复数项级数的, 证明, 注解, 参考文献, 外部链接实数项级数的, 编辑给定两个实数项数列, displaystyle, displaystyle, 如果数列满足, displaystyle, infty, 收敛, displaystyle, lbrace, rbrace, 是单调且有界的则级数, displaystyle,. 阿贝尔判别法 Abel test 是一个用于判断无穷级数是否收敛的方法 阿贝尔判别法有两种不同的形式 一个是用来判断实数项级数的收敛 另一个是用来判断复数项级数的收敛 目录 1 实数项级数的阿贝尔判别法 2 复数项级数的阿贝尔判别法 3 证明 4 注解 5 参考文献 6 外部链接实数项级数的阿贝尔判别法 编辑给定两个实数项数列 a n displaystyle a n 和 b n displaystyle b n 如果数列满足 n 1 a n displaystyle sum n 1 infty a n 收敛 b n displaystyle lbrace b n rbrace 是单调且有界的则级数 n 1 a n b n displaystyle sum n 1 infty a n b n 收敛 复数项级数的阿贝尔判别法 编辑一个相关的审敛法 也称为阿贝尔判别法 通常用来判断幂级数在收敛圆的边界上的收敛性 如果 lim n a n 0 displaystyle lim n rightarrow infty a n 0 而级数 f z n 0 a n z n displaystyle f z sum n 0 infty a n z n 在 z lt 1是收敛 而在 z gt 1时发散 系数 an 是正的实数 当n gt m时单调递减并收敛于零 则f z 的幂级数在单位圆上处处收敛 除了z 1以外 当z 1时 不能使用阿贝尔判别法 所以那个点的收敛性必须另外讨论 注意 利用变量代换z z R 阿贝尔判别法也可以用来判断收敛半径R 1的幂级数的收敛性 1 证明 编辑假设z是单位圆上的一个点 z 1 则 z e i 8 z 1 2 z 1 2 2 i sin 8 2 0 displaystyle z e i theta quad Rightarrow quad z frac 1 2 z frac 1 2 2i sin textstyle frac theta 2 neq 0 所以 对于任何两个正整数p gt q gt m 我们有 2 i sin 8 2 S p S q n q 1 p a n z n 1 2 z n 1 2 n q 2 p a n 1 a n z n 1 2 a q 1 z q 1 2 a p z p 1 2 displaystyle begin aligned 2i sin textstyle frac theta 2 left S p S q right amp sum n q 1 p a n left z n frac 1 2 z n frac 1 2 right amp left sum n q 2 p left a n 1 a n right z n frac 1 2 right a q 1 z q frac 1 2 a p z p frac 1 2 end aligned 其中Sp和Sq是部分和 S p n 0 p a n z n displaystyle S p sum n 0 p a n z n 但是 由于 z 1 而当n gt m时 an是单调递减的正实数 我们又有 2 i sin 8 2 S p S q n q 1 p a n z n 1 2 z n 1 2 n q 2 p a n 1 a n z n 1 2 a q 1 z q 1 2 a p z p 1 2 n q 2 p a n 1 a n a q 1 a p a q 1 a p a q 1 a p 2 a q 1 displaystyle begin aligned left 2i sin textstyle frac theta 2 left S p S q right right amp left sum n q 1 p a n left z n frac 1 2 z n frac 1 2 right right amp leq left sum n q 2 p left left a n 1 a n right z n frac 1 2 right right left a q 1 z q frac 1 2 right left a p z p frac 1 2 right amp left sum n q 2 p left a n 1 a n right right a q 1 a p amp a q 1 a p a q 1 a p 2a q 1 end aligned 现在我们可以使用柯西判别法来证明f z 的幂级数在z 1时收敛 因为sin 8 0是一个定值 而我们可以通过选择足够大的q 来使aq 1小于任何给定的e gt 0 注解 编辑 Moretti 1964 p 91 参考文献 编辑Gino Moretti Functions of a Complex Variable Prentice Hall Inc 1964外部链接 编辑PlanetMath org 页面存档备份 存于互联网档案馆 取自 https zh wikipedia org w index php title 阿贝尔判别法 amp oldid 71383432, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,