条件收敛, 是数学中无穷级数和广义积分的一种性质, 收敛但不绝对收敛的无穷级数或广义积分称为的, 一个积分的函数也称为条件可积函数, 目录, 详细定义, 的级数, 的广义积分, 例子, 无穷级数, 广义积分, 相关定理, 参见, 参考来源详细定义, 编辑的级数, 编辑, 给定一个实数项无穷级数a, displaystyle, 如果它自身收敛于一个定值c, displaystyle, mathbb, displaystyle, infty, 但由每一项的绝对值构成的正项级数, displaystyle, 不收敛, d. 条件收敛是数学中无穷级数和广义积分的一种性质 收敛但不绝对收敛的无穷级数或广义积分称为条件收敛的 一个积分条件收敛的函数也称为条件可积函数 目录 1 详细定义 1 1 条件收敛的级数 1 2 条件收敛的广义积分 2 例子 2 1 无穷级数 2 2 广义积分 3 相关定理 4 参见 5 参考来源详细定义 编辑条件收敛的级数 编辑 给定一个实数项无穷级数A n a n displaystyle A sum n a n 如果它自身收敛于一个定值C R displaystyle C in mathbb R n 1 a n C displaystyle sum n 1 infty a n C 但由每一项的绝对值构成的正项级数 A s n a n displaystyle A s sum n a n 不收敛 n 1 a n displaystyle sum n 1 infty a n infty 那么就称这个无穷级数A n a n displaystyle A sum n a n 是一个条件收敛的无穷级数 1 149 条件收敛的广义积分 编辑 给定一个在区间 a displaystyle a infty 上有定义的函数f x displaystyle f x 如果f x displaystyle f x 在任意的闭区间 a b displaystyle a b 上都可积 并且广义积分 a f x d x lim b a b f x d x displaystyle int a infty f x mathrm d x lim b to infty int a b f x mathrm d x 收敛 而函数绝对值的广义积分 a f x d x lim b a b f x d x displaystyle int a infty f x mathrm d x lim b to infty int a b f x mathrm d x 发散 那么就称广义积分 a f x d x displaystyle int a infty f x mathrm d x 条件收敛 2 104例子 编辑无穷级数 编辑 常见的条件收敛的无穷级数包括交错调和级数 A h 1 1 2 1 3 1 4 n 1 n 1 n displaystyle A h 1 frac 1 2 frac 1 3 frac 1 4 cdots sum n frac 1 n 1 n 它收敛到定值 ln 2 displaystyle ln 2 而对应的由每项的绝对值构成的正项函数 H n 1 n 1 n n 1 n displaystyle H sum n bigg frac 1 n 1 n bigg sum n frac 1 n 叫做调和级数 是发散的 n 1 1 n displaystyle sum n 1 infty frac 1 n infty 广义积分 编辑 条件收敛的广义积分的一个例子是函数 sin x x displaystyle frac sin x x 在正实数轴上的积分 I 1 sin x x d x displaystyle I int 1 infty frac sin x x mathrm d x 任取实数a gt 1 displaystyle a gt 1 运用分部积分法可以得到 1 a sin x x d x cos 1 cos a a 1 a cos x x 2 d x displaystyle int 1 a frac sin x x mathrm d x cos 1 frac cos a a int 1 a frac cos x x 2 mathrm d x 而对任意的正实数A B gt 1 displaystyle A B gt 1 A B cos x x 2 d x A B cos x x 2 d x A B 1 x 2 d x 1 A displaystyle Bigg int A B frac cos x x 2 mathrm d x Bigg leqslant int A B frac cos x x 2 mathrm d x leqslant int A B frac 1 x 2 mathrm d x leqslant frac 1 A 由柯西收敛原理可知广义积分 1 cos x x 2 d x displaystyle int 1 infty frac cos x x 2 mathrm d x 收敛 所以 1 sin x x d x lim a 1 a sin x x d x cos 1 lim a cos a a lim a 1 a cos x x 2 d x cos 1 1 cos x x 2 d x displaystyle int 1 infty frac sin x x mathrm d x lim a to infty int 1 a frac sin x x mathrm d x cos 1 lim a to infty frac cos a a lim a to infty int 1 a frac cos x x 2 mathrm d x cos 1 int 1 infty frac cos x x 2 mathrm d x 即积分 I 1 sin x x d x displaystyle I int 1 infty frac sin x x mathrm d x 收敛 但是 绝对值函数的积分 I s 1 sin x x d x displaystyle I s int 1 infty bigg frac sin x x bigg mathrm d x 不收敛 这是因为对任意自然数k displaystyle k 积分 I k k p k 1 p sin x x d x k p k 1 p sin x k 1 p d x 2 k 1 p 2 p 1 k 1 displaystyle I k int k pi k 1 pi bigg frac sin x x bigg mathrm d x geqslant int k pi k 1 pi frac sin x k 1 pi mathrm d x frac 2 k 1 pi frac 2 pi cdot frac 1 k 1 所以 I s 1 sin x x d x k 1 I k 2 p k 1 1 k 1 displaystyle I s int 1 infty bigg frac sin x x bigg mathrm d x geqslant sum k 1 infty I k geqslant frac 2 pi cdot sum k 1 infty frac 1 k 1 infty 因此 积分I 1 sin x x d x displaystyle I int 1 infty frac sin x x mathrm d x 是条件收敛的 2 104 106相关定理 编辑黎曼级数定理 假设 n 1 a n displaystyle sum n 1 infty a n 是一个条件收敛的无穷级数 对任意的一个实数C displaystyle C 都存在一种从自然数集合到自然数集合的排列s n s n displaystyle sigma n mapsto sigma n 使得 n 1 a s n C displaystyle sum n 1 infty a sigma n C 此外 也存在另一种排列s n s n displaystyle sigma n mapsto sigma n 使得 n 1 a s n displaystyle sum n 1 infty a sigma n infty 类似地 也可以有办法使它的部分和趋于 displaystyle infty 或没有任何极限 3 192反之 如果级数是绝对收敛的 那么无论怎样重排 它仍然会收敛到同一个值 也就是级数的和 3 193参见 编辑无条件收敛 绝对收敛参考来源 编辑 J A Fridy Introductory analysis the theory of calculus Gulf Professional Publishing 2000 ISBN 9780122676550 2 0 2 1 清华大学数学科学系 微积分 北京 清华大学出版社有限公司 2003 ISBN 9787302069171 3 0 3 1 S Ponnusamy Foundations of mathematical analysis Springer 2012 ISBN 9780817682927 取自 https zh wikipedia org w index php title 条件收敛 amp oldid 76673445, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,