數系, 此条目的主題是數不同的集合, 关于不同民族的记数传统, 請見, 记数系统, 在數學, 指的是數的不同集合, 的例子包括, 自然數, 整數, 有理數, 無理數, 複數等, 目录, 的邏輯, 自然數, 整數, 有理數, 無理數, 多項式, 代數數, 實數, 虛數, 備註, 參考資料, 參見的邏輯, 编辑自然數, 编辑, 皮亞諾, giuseppe, peano, 替自然數建立以下的定義, 自然數中有0, 每一個自然數都必須有下一個自然數, 並以s, 表示, 自然數0前沒有自然數, 不同的自然數的下一個自然數都不. 此条目的主題是數不同的集合 关于不同民族的记数传统 請見 记数系统 在數學 數系指的是數的不同集合 數系的例子包括 自然數 整數 有理數 無理數 複數等 目录 1 數系的邏輯 1 1 自然數 1 2 整數 1 3 有理數 1 4 無理數 1 5 多項式 1 6 代數數 1 7 實數 1 8 虛數 2 備註 3 參考資料 4 參見數系的邏輯 编辑自然數 编辑 皮亞諾 Giuseppe Peano 替自然數建立以下的定義 自然數中有0 每一個自然數都必須有下一個自然數 並以S a 表示 自然數0前沒有自然數 不同的自然數的下一個自然數都不同 即a b即代表S a S b 相反亦成立 若一個特性0擁有 而往後的自然數都擁有 這特性則視為自然數擁有 根據這五個定義 所有自然數的特性皆可推斷 而數一則以1 S 0 表示 數系皆擁有等價關係 即 自反性 x A x x R displaystyle forall x in A x x in R 对称性 x y A x y R y x R displaystyle forall x y in A x y in R implies y x in R 传递性 x y z A x y R y z R x z R displaystyle forall x y z in A x y in R wedge y z in R implies x z in R 定義下自然數可進行運算 以下為加法的定義 a 0 a a S b S a b 這暗示S a S a 0 a S 0 a 1 所以以下S x 皆會寫成x 1 以下為乘法的定義 a 0 0 a b 1 a b a a b亦可寫成a b或是ab 以下為指數的定義 a0 1 ab 1 ab a ab亦會寫成a b或是a b 特別是當上標不可使用的時候 整數 编辑 自然數可以以下方式擴展成整數 每一個非零的自然數a 就會出現一個整數 a 而它不是一個自然數 特別情形 0則定義為自然數0 後續函數亦可以S a S a 1 的法則擴展至整數 加法將以以下方法定義 若a及b皆自然數 則 a b a b 若a為整數 則a 0 a 若b為一非零整數 則a b a 1 S b 減法定義與加法相同 即a b a b 乘法定義與自然數定義相同 但加入負負得正 負正得負的理念 若a及b皆自然數 則a b a b ab 若a及b皆自然數 則 a b a b ab有理數 编辑 有理數是整數 正整數 0 負整數 和分數的統稱 是整數和分數的集合 由於任何一個整數或分數都可以化為十進製循環小數 反之 每一個十進製循環小數也能化為整數或分數 因此 有理數也可以定義為十進製循環小數 在實數範圍內有理數和無理數都有無窮多個 兩者似乎是 同樣多 的 但從高等數學裏的 測度論 的角度來理解的話 無理數的測度要大於有理數的測度 所以無理數要比有理數 多一些 如 根據測度論 在閉區間 0 1 內 有理數的測度為0 而無理數的測度為1 所以 在閉區間 0 1 內 無理數的個數要 遠多於 有理數的個數 無理數 编辑 无理数 也称为无限不循环小数 不能写作两整数之比 四种常见的无理数有无限不循环小数 含有p的数 开方开不尽的数 某些三角函数值 判断一个数是不是无理数 关键就看它能不能写出无限不循环小数 常见的无理数类型有如下几种 1 无限不循环小数 如圆周率p 自然对数的底数e等 2 根式中开方开不尽的数 如2的平方根 5的立方根 7的四次方根等 注 两个有理数的和 差 积 商 除数不为0 仍是有理数 两个无理数的和 差 积 商可以是有理数 也可以是无理数 1 无理数的和 差 积 商为有理数 如e 1 e e e 根号2 的平方 e e等 2 无理数的和 差 积 商为无理数 p e p e pxe p e 多項式 编辑 代數數 编辑 實數 编辑 若某複數a bi中的b若等於0 此複數就為實數 虛數 编辑 若某複數a bi中的b不等於0 就為虛數 此外 若a bi中的a等於0 就為純虛數 備註 编辑參考資料 编辑參見 编辑 取自 https zh wikipedia org w index php title 數系 amp oldid 72803561, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,