餘式定理

多項式餘式定理（英語：Polynomial remainder theorem）是指一個多項式${\displaystyle P(x)}$除以一線性多項式${\displaystyle x-a}$的餘式是${\displaystyle P(a)}$。

定義

我們可以一般化多項式餘式定理。如果${\displaystyle {\frac {P(x)}{M(x)}}}$ 的商式是${\displaystyle Q(x)}$ 、餘式是${\displaystyle R(x)}$ ，那麼${\displaystyle P(x)=M(x)Q(x)+R(x)}$ 。其中${\displaystyle R(x)}$ 的次數會小於${\displaystyle M(x)}$ 的次數。例如，${\displaystyle {\frac {5x^{3}+4x^{2}-12x+1}{x-3}}}$ 的餘式是${\displaystyle 5\cdot 3^{3}+4\cdot 3^{2}-12\cdot 3+1=136}$ 。又可以說是把除式的零點代入被除式所得的值是餘式。

至於除式為2次以上時，可將n次除式的${\displaystyle n}$ 根${\displaystyle a,b,c,\cdots }$ 列出聯立方程：

${\displaystyle P(a)=R(a),P(b)=R(b),P(c)=R(c),\cdots }$ 

其中${\displaystyle P}$ 是被除式，${\displaystyle R}$ 是餘式。

此方法只可用在除式不是任一多項式的${\displaystyle n}$ 次方。

推导

多項式餘式定理可由多項式除法的定義導出.根据多項式除法的定義，设被除式為${\displaystyle f(x)}$ ，除式为${\displaystyle g(x)}$ ，商式为${\displaystyle q(x)}$ ，余式为${\displaystyle r(x)}$ ，则有：

${\displaystyle f(x)=g(x)\cdot q(x)+r(x)}$ 

如果${\displaystyle g(x)}$ 是一次式${\displaystyle x-a}$ ，则${\displaystyle r(x)}$ 的次数小于一，因此，${\displaystyle r(x)}$ 只能为常数，这时，余式也叫余数，记为${\displaystyle r}$ ，即有：

${\displaystyle f(x)=(x-a)\cdot q(x)+r}$ 

根据上式，当${\displaystyle x=a}$ 时，有：

${\displaystyle f(a)=(a-a)\cdot q(a)+r=r}$ 

因此，我们得到了余式定理：多项式${\displaystyle f(x)}$ 除以${\displaystyle x-a}$ 所得的余式等于${\displaystyle f(a)}$ 。

參見

•  数学主题

• 中国剩余定理