特殊酉群, 在数学中, displaystyle, 英語, special, unitary, group, 记作, displaystyle, operatorname, 是行列式为, displaystyle, times, 酉矩阵组成的群, 一般酉矩阵的行列式是绝对值为1的复数, 群运算是矩阵乘法, 是由, displaystyle, times, 酉矩阵组成的酉群, displaystyle, operatorname, 的一个子群, 酉群又是一般线性群, displaystyle, operatornam. 在数学中 n displaystyle n 阶特殊酉群 英語 special unitary group 记作 SU n displaystyle operatorname SU n 是行列式为 1 的 n n displaystyle n times n 酉矩阵组成的群 一般酉矩阵的行列式是绝对值为1的复数 群运算是矩阵乘法 特殊酉群是由 n n displaystyle n times n 酉矩阵组成的酉群 U n displaystyle operatorname U n 的一个子群 酉群又是一般线性群 GL n C displaystyle operatorname GL n mathbb C 的一个子群 群论群基本概念子群 正规子群 商群 群同態 像 半 直积 直和单群 有限群 无限群 拓扑群 群概形 循環群 冪零群 可解群 圈積离散群有限單群分類 循環群 Zn 交错群 An 李型群散在群马蒂厄群 M11 12 M22 24康威群 Co1 3 扬科群 J1 4 费歇尔群 F22 24子怪兽群 B怪兽群 M其他有限群对称群 Sn二面体群 Dn无限群整数 Z模群 PSL 2 Z 和 SL 2 Z 连续群李群一般线性群 GL n 特殊线性群 SL n 正交群 O n 特殊正交群 SO n 酉群 U n 特殊酉群 SU n 辛群 Sp n G2 F4 E6 E7 E8勞侖茲群庞加莱群无限维群共形群微分同胚群 环路群 量子群 O SU Sp 代数群椭圆曲线线性代数群 英语 Linear algebraic group 阿贝尔簇 英语 Abelian variety 查论编群 SU n displaystyle operatorname SU n 在粒子物理中标准模型中有广泛的应用 特别是 SU 2 displaystyle operatorname SU 2 在电弱相互作用与 SU 3 displaystyle operatorname SU 3 在量子色动力学中 最简单的情形 SU 1 displaystyle operatorname SU 1 是平凡群 只有一个元素 群 SU 2 displaystyle operatorname SU 2 同构于範數为 1 displaystyle 1 的四元数 从而微分同胚于三维球面 因为单位四元数可表示三维空间中的旋转 差一个符号 我们有一个满同态从 SU 2 displaystyle operatorname SU 2 到旋转群 SO 3 displaystyle operatorname SO 3 其核为 I I displaystyle I I 目录 1 性质 2 生成元 2 1 基本表示 2 2 伴随表示 3 SU 2 4 SU 3 5 李代数 6 广义特殊酉群 6 1 例子 7 重要子群 8 相关条目 9 注释 10 参考文献 11 外部链接性质 编辑特殊酉群 SU n 是一个 n2 1 维实矩阵李群 在拓扑上是紧及单连通的 在代数上 它是一个单李群 意为它的李代数是单的 见下 SU n 的中心同构于循环群 Zn 当 n 3 它的外自同构群是 Z2 而 SU 2 的外自同构群是平凡群 SU n 代数由 n2 个算子生成 满足交换关系 对 i j k l 1 2 n O i j O k l d j k O i l d i l O k j displaystyle left hat O ij hat O kl right delta jk hat O il delta il hat O kj nbsp 另外 算子 N i 1 n O i i displaystyle hat N sum i 1 n hat O ii nbsp 满足 N O i j 0 displaystyle left hat N hat O ij right 0 nbsp 这意味着 SU n 独立的生成元个数是 n2 1 1 生成元 编辑一般地 SU n 的无穷小生成元 infinitesimal generator T 由一个无迹埃尔米特矩阵表示 即 tr T a 0 displaystyle operatorname tr T a 0 nbsp 以及 T a T a displaystyle T a T a dagger nbsp 基本表示 编辑 在定义或基本表示中 由 n n displaystyle n times n nbsp 矩阵表示的生成元是 T a T b 1 2 n d a b I n 1 2 c 1 n 2 1 i f a b c d a b c T c displaystyle T a T b frac 1 2n delta ab I n frac 1 2 sum c 1 n 2 1 if abc d abc T c nbsp 这里系数 f displaystyle f nbsp 是结构常数 它对所有指标都是反对称的 而系数 d displaystyle d nbsp 对所有指标都是对称的 从而 T a T b 1 n d a b c 1 n 2 1 d a b c T c displaystyle left T a T b right frac 1 n delta ab sum c 1 n 2 1 d abc T c nbsp T a T b i c 1 n 2 1 f a b c T c displaystyle left T a T b right i sum c 1 n 2 1 f abc T c nbsp 我们也有 c e 1 n 2 1 d a c e d b c e n 2 4 n d a b displaystyle sum c e 1 n 2 1 d ace d bce frac n 2 4 n delta ab nbsp 作为一个正规化约定 伴随表示 编辑 在伴随表示中 生成元表示由 n 2 1 n 2 1 displaystyle n 2 1 times n 2 1 nbsp 矩阵表示 其元素由结构常数定义 T a j k i f a j k displaystyle T a jk if ajk nbsp dd SU 2 编辑SU 2 C displaystyle operatorname SU 2 mathbb C nbsp 一个一般矩阵元素形如 U a b b a displaystyle U begin pmatrix alpha amp overline beta beta amp overline alpha end pmatrix nbsp 这里 a b C displaystyle alpha beta in mathbb C nbsp 使得 a 2 b 2 1 displaystyle alpha 2 beta 2 1 nbsp 我们考虑如下映射 f C 2 M 2 C displaystyle varphi mathbb C 2 to operatorname M 2 mathbb C nbsp 这里 M 2 C displaystyle operatorname M 2 mathbb C nbsp 表示 2 2 复矩阵集合 定义为 f a b a b b a displaystyle varphi alpha beta begin pmatrix alpha amp overline beta beta amp overline alpha end pmatrix nbsp 考虑到 C 2 displaystyle mathbb C 2 nbsp 微分同胚于 R 4 displaystyle mathbb R 4 nbsp 和 M 2 C displaystyle operatorname M 2 mathbb C nbsp 同胚于 R 8 displaystyle mathbb R 8 nbsp 我们可看到 f displaystyle varphi nbsp 是一个实线性单射 从而是一个嵌入 现在考虑 f displaystyle varphi nbsp 限制在三维球面上 记作 S 3 displaystyle S 3 nbsp 我们可发现这是三维球面到 M 2 C displaystyle operatorname M 2 mathbb C nbsp 的一个紧子流形的一个嵌入 但显然有 f S 3 SU 2 C displaystyle varphi S 3 operatorname SU 2 mathbb C nbsp 作为一个流形微分同胚于 SU 2 C displaystyle operatorname SU 2 mathbb C nbsp 使 SU 2 C displaystyle operatorname SU 2 mathbb C nbsp 成为一个紧连通李群 现在考虑李代数 s u 2 C displaystyle mathfrak su 2 mathbb C nbsp 一个一般元素形如 U i x b b i x displaystyle U begin pmatrix ix amp overline beta beta amp ix end pmatrix nbsp 这里 x R displaystyle x in mathbb R nbsp 以及 b C displaystyle beta in mathbb C nbsp 易验证这样形式的矩阵的迹是零并为反埃尔米特的 从而李代数由如下矩阵生成 u 1 0 i i 0 u 2 0 1 1 0 u 3 i 0 0 i displaystyle u 1 begin pmatrix 0 amp i i amp 0 end pmatrix qquad u 2 begin pmatrix 0 amp 1 1 amp 0 end pmatrix qquad u 3 begin pmatrix i amp 0 0 amp i end pmatrix nbsp 易见它具有上面提到的一般元素的形式 它们满足关系 u 3 u 2 u 2 u 3 u 1 displaystyle u 3 u 2 u 2 u 3 u 1 nbsp 和 u 2 u 1 u 1 u 2 u 3 displaystyle u 2 u 1 u 1 u 2 u 3 nbsp 从而交换子括号由 u 1 u 3 2 u 2 u 2 u 1 2 u 3 u 3 u 2 2 u 1 displaystyle u 1 u 3 2u 2 qquad u 2 u 1 2u 3 qquad u 3 u 2 2u 1 nbsp 确定 上述生成元与泡利矩阵有关 u 1 i s 1 displaystyle u 1 i sigma 1 nbsp u 2 i s 2 displaystyle u 2 i sigma 2 nbsp 及 u 3 i s 3 displaystyle u 3 i sigma 3 nbsp SU 3 编辑SU 3 的生成元 T 在定义表示中为 T a l a 2 displaystyle T a frac lambda a sqrt 2 nbsp dd 这里 l displaystyle lambda nbsp 为盖尔曼矩阵 是 SU 2 泡利矩阵在 SU 3 之类比 l 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 displaystyle lambda 1 begin pmatrix 0 amp 1 amp 0 1 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 0 end pmatrix nbsp l 2 0 i 0 i 0 0 0 0 0 displaystyle lambda 2 begin pmatrix 0 amp i amp 0 i amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 0 end pmatrix nbsp l 3 1 0 0 0 1 0 0 0 0 displaystyle lambda 3 begin pmatrix 1 amp 0 amp 0 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 0 end pmatrix nbsp l 4 0 0 1 0 0 0 1 0 0 displaystyle lambda 4 begin pmatrix 0 amp 0 amp 1 0 amp 0 amp 0 1 amp 0 amp 0 end pmatrix nbsp l 5 0 0 i 0 0 0 i 0 0 displaystyle lambda 5 begin pmatrix 0 amp 0 amp i 0 amp 0 amp 0 i amp 0 amp 0 end pmatrix nbsp l 6 0 0 0 0 0 1 0 1 0 displaystyle lambda 6 begin pmatrix 0 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 1 0 amp 1 amp 0 end pmatrix nbsp l 7 0 0 0 0 0 i 0 i 0 displaystyle lambda 7 begin pmatrix 0 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp i 0 amp i amp 0 end pmatrix nbsp l 8 1 3 1 0 0 0 1 0 0 0 2 displaystyle lambda 8 frac 1 sqrt 3 begin pmatrix 1 amp 0 amp 0 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 2 end pmatrix nbsp 注意它们都是无迹埃尔米特矩阵 它们服从关系 T a T b i c 1 8 f a b c T c displaystyle left T a T b right i sum c 1 8 f abc T c nbsp 这里 f 是结构常数 如上所定义 它们的值为f 123 1 displaystyle f 123 1 nbsp f 147 f 156 f 246 f 257 f 345 f 367 1 2 displaystyle f 147 f 156 f 246 f 257 f 345 f 367 frac 1 2 nbsp f 458 f 678 3 2 displaystyle f 458 f 678 frac sqrt 3 2 nbsp dd d 的取值 d 118 d 228 d 338 d 888 1 3 displaystyle d 118 d 228 d 338 d 888 frac 1 sqrt 3 nbsp d 448 d 558 d 668 d 778 1 2 3 displaystyle d 448 d 558 d 668 d 778 frac 1 2 sqrt 3 nbsp d 146 d 157 d 247 d 256 d 344 d 355 d 366 d 377 1 2 displaystyle d 146 d 157 d 247 d 256 d 344 d 355 d 366 d 377 frac 1 2 nbsp dd 李代数 编辑S U n displaystyle mathrm SU n nbsp 对应的李代数记作 s u n displaystyle mathfrak su n nbsp 它的标准数学表示由无迹反埃尔米特 n n displaystyle n times n nbsp 复矩阵组成 以通常交换子为李括号 粒子物理学家通常增加一个因子 i displaystyle i nbsp 从而所有矩阵成为埃尔米特的 这只不过是同一个实李代数一个不同的更方便的表示 注意 s u n displaystyle mathfrak su n nbsp 是 R displaystyle mathbb R nbsp 上一个李代数 例如 下列量子力学中使用的矩阵组成 s u 2 displaystyle mathfrak su 2 nbsp 在 R displaystyle mathbb R nbsp 上的一组基 i s x 0 i i 0 displaystyle i sigma x begin bmatrix 0 amp i i amp 0 end bmatrix nbsp i s y 0 1 1 0 displaystyle i sigma y begin bmatrix 0 amp 1 1 amp 0 end bmatrix nbsp i s z i 0 0 i displaystyle i sigma z begin bmatrix i amp 0 0 amp i end bmatrix nbsp 这里 i displaystyle i nbsp 是虚数单位 这个表示经常用于量子力学 参见泡利矩阵以及盖尔曼矩阵 表示基本粒子比如电子的自旋 它们也作为我们三维空间量子相对论描述中的单位向量 注意任意两个不同生成元的乘积是另一个生成元 以及生成元反交换 与单位矩阵 乘以 i displaystyle i nbsp 一起 i I 2 i 0 0 i displaystyle iI 2 begin bmatrix i amp 0 0 amp i end bmatrix nbsp 它们也是 s u 2 displaystyle mathfrak su 2 nbsp 的生成元 当然这里它取决于我们最终处理的问题 比如在非相对论量子力学中为 2 旋量 或在相对论狄拉克理论中 我们需要到 4 旋量的一个扩张 或在数学中甚至是克利福德代数 注 在矩阵乘法下 在此情形是反交换的 生成克利福德代数 C l 3 displaystyle mathrm Cl 3 nbsp 而在交换子括号下生成李代数 s u 2 displaystyle mathfrak su 2 nbsp 回到一般的 S U n displaystyle mathrm SU n nbsp 如果我们选择 任意 一个特定的基 则纯虚数无迹对角 n n displaystyle n times n nbsp 矩阵子空间组成一个 n 1 displaystyle n 1 nbsp 维嘉当子代数 将这个李代数复化 从而现在允许任何无迹 n n displaystyle n times n nbsp 矩阵 权本征向量是嘉当子代数自己 只有一个非零元素的矩阵不是对角的 尽管嘉当子代数 h displaystyle mathrm h nbsp 只是 n 1 displaystyle n 1 nbsp 维 但为了化简计算 经常引入一个辅助元素 与所有元素交换的单位矩阵 它不能视为这个李代数的一个元素 故我们有一个基 其中第 i displaystyle i nbsp 个基向量是在第 i displaystyle i nbsp 个对角元素为 1 displaystyle 1 nbsp 而在其它处为零的矩阵 则权由 n displaystyle n nbsp 个坐标给出 而且在所有 n displaystyle n nbsp 个坐标求和为零 因为单位矩阵只是辅助的 故 S U n displaystyle mathrm SU n nbsp 的秩是 n 1 displaystyle n 1 nbsp 它的邓肯图由 A n 1 displaystyle A n 1 nbsp 给出 有 n 1 displaystyle n 1 nbsp 个顶点的链 它的根系由 n n 1 displaystyle n n 1 nbsp 个根组成 生成一个 n 1 displaystyle n 1 nbsp 欧几里得空间 这里 我们使用 n displaystyle n nbsp 冗余坐标而不是 n 1 displaystyle n 1 nbsp 坐标来强调根系的对称 n displaystyle n nbsp 坐标之和为零 换句话说 我们是将这个 n 1 displaystyle n 1 nbsp 维向量空间嵌入 n displaystyle n nbsp 维中 则根由所有 n n 1 displaystyle n n 1 nbsp 置换 1 1 0 0 displaystyle 1 1 0 dots 0 nbsp 两段以前的构造解释了为什么 单根的一个选取为 1 1 0 0 displaystyle 1 1 0 dots 0 nbsp 0 1 1 0 displaystyle 0 1 1 dots 0 nbsp 0 0 0 1 1 displaystyle 0 0 0 dots 1 1 nbsp 它的嘉当矩阵是 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 0 0 0 0 2 displaystyle begin pmatrix 2 amp 1 amp 0 amp dots amp 0 1 amp 2 amp 1 amp dots amp 0 0 amp 1 amp 2 amp dots amp 0 vdots amp vdots amp vdots amp ddots amp vdots 0 amp 0 amp 0 amp dots amp 2 end pmatrix nbsp 它的外尔群或考克斯特群是对称群 S n displaystyle S n nbsp n 1 displaystyle n 1 nbsp 单形的对称群 广义特殊酉群 编辑对一个域 F F 上广义特殊酉群 SU p q F F 上一个秩为 n p q 的向量空间上使得一个符号为 p q 的非退化埃尔米特形式不变的所有行列式为 1 线性变换组成的群 这个么正群经常称为 F 上符号为 p q 的特殊酉群 域 F 可以换为一个交换环 在这种情形向量空间换为自由模 特别地 固定 GL n R 中一个符号为 p q 的埃尔米特矩阵 则所有 M S U p q R displaystyle M in SU p q R nbsp 满足 M A M A displaystyle M AM A nbsp det M 1 displaystyle det M 1 nbsp 经常可以见到记号 S U p q displaystyle SU p q nbsp 略去环或域 在这种形式环或域是指 C 这给出一个典型李群 当 F C 时 A 的标准选取是 A 0 0 i 0 I n 2 0 i 0 0 displaystyle A begin bmatrix 0 amp 0 amp i 0 amp I n 2 amp 0 i amp 0 amp 0 end bmatrix nbsp 对某些维数 A 可能有更好的选择 当限制为 C 的一个子环时有更好表现 例子 编辑 这类群的一个重要例子是皮卡模群 SU 2 1 Z i 射影地 作用在二度复双曲空间上 同样地 SL 2 Z 射影地 作用在二维实双曲空间上 2003年 Gabor Francsics 与彼得 拉克斯算出了这个群在 H C 2 displaystyle HC 2 nbsp 上作用的基本域 参见 1 另一个例子是 SU 1 1 C 同构于 SL 2 R 重要子群 编辑在物理学中 特殊酉群用于表示波色对称 在对称性破缺理论中寻找特殊酉群的子群很重要 在大一统理论中 SU n 重要的子群是 对 p gt 1 n p gt 1 S U n S U p S U n p U 1 displaystyle SU n supset SU p times SU n p times U 1 nbsp 为了完整性 还有正交与辛子群 S U n O n displaystyle SU n supset O n nbsp S U 2 n U S p 2 n displaystyle SU 2n supset USp 2n nbsp 因为 SU n 的秩是 n 1 U 1 是 1 一个有用的检验是看子群的秩是小于还是等于原来群的秩 SU n 是多个其它李群的子群 S O 2 n S U n displaystyle SO 2n supset SU n nbsp U S p 2 n S U n displaystyle USp 2n supset SU n nbsp S p i n 4 S U 2 S U 2 displaystyle Spin 4 SU 2 times SU 2 nbsp 参见自旋群 E 6 S U 6 displaystyle E 6 supset SU 6 nbsp E 7 S U 8 displaystyle E 7 supset SU 8 nbsp G 2 S U 3 displaystyle G 2 supset SU 3 nbsp 关于 E6 E7 与 G2 参见单李群 有同构 SU 4 Spin 6 SU 2 Spin 3 USp 2 以及 U 1 Spin 2 SO 2 最后值得指出的是 SU 2 是 SO 3 的二重覆叠群 这个关系在非相对论量子力学 2 旋量的旋转中起着重要的作用 相关条目 编辑 nbsp 数学主题 SU 2 的表示论 射影特殊酉群 PSU n 埃尔米特矩阵 辛矩阵 酉群 酉算子 矩阵分解注释 编辑 R R Puri Mathematical Methods of Quantum Optics Springer 2001 参考文献 编辑Halzen Francis Martin Alan Quarks amp Leptons An Introductory Course in Modern Particle Physics John Wiley amp Sons 1984 ISBN 0 471 88741 2 Maximal Subgroups of Compact Lie Groups 页面存档备份 存于互联网档案馆 外部链接 编辑Physics 558 Lecture 1 Winter 2003 页面存档备份 存于互联网档案馆 取自 https zh wikipedia org w index php title 特殊酉群 amp oldid 76169252, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,