嘉當矩陣

在數學中，嘉當矩陣是由法國數學家埃利·嘉當引入的一類特別矩陣，最大的應用在於李代數的分類理論。在有限維代數的表示理論中，嘉當矩陣另有其它意義。

李代數

所謂廣義嘉當矩陣是具有下述性質的方陣 ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ ：

1. 各項皆為整數：${\displaystyle \forall i,j,\;a_{ij}\in \mathbb {Z} }$ 。
2. 對角線上的項等於二：${\displaystyle \forall i,\;a_{ii}=2}$ 。
3. 非對角線項非正：${\displaystyle i\neq j\Rightarrow a_{ij}\leq 0}$ 
4. ${\displaystyle \forall i,j,\;a_{ij}=0\Leftrightarrow a_{ji}=0}$ 。
5. 存在正對角方陣 ${\displaystyle D}$  使 ${\displaystyle A}$  可以寫成 ${\displaystyle DSD^{-1}}$ ，其中 ${\displaystyle S}$  是對稱方陣。

第四個條件可由第一及第五個條件導出。在第五個條件中，若可取 ${\displaystyle S}$  為正定，則稱 ${\displaystyle A}$  為嘉當矩陣。

若兩個嘉當矩陣差一個排列矩陣的共軛：${\displaystyle A'=P^{-1}AP}$ ，則稱兩者同構。若一嘉當矩陣同構於分塊對角的嘉當矩陣，則稱之為可化的，反之則稱為不可化。

由半單李代數可以得到根系，對應的廣義嘉當矩陣定義為

${\displaystyle a_{ij}={2(r_{i},r_{j}) \over (r_{i},r_{i})}}$ 

其中 ${\displaystyle r_{i}}$  是選定的單根。單李代數對應於不可化嘉當矩陣。

不可化嘉當矩陣可透過連通丹金圖分類。具體方式是取 ${\displaystyle n}$  個頂點（n 為嘉當矩陣 ${\displaystyle A}$  的階數），將頂點 ${\displaystyle i,j}$  以 ${\displaystyle a_{ij}\cdot a_{ji}}$  條邊相連。定義每個頂點的權 ${\displaystyle w_{i}}$  使得 ${\displaystyle w_{j}/w_{i}=a_{ij}/a_{ji}}$ ，若兩個相鄰頂點 ${\displaystyle i,j}$  的權不同，則規定邊從權大者指向小者。這套模式類似於從根系定義丹金圖的手法。

有限維代數的表示理論

對於域 ${\displaystyle F}$  上的有限維結合代數 ${\displaystyle A}$ ，考慮不可約、${\displaystyle F}$ -有限維左 ${\displaystyle A}$ -模 ${\displaystyle N_{1},\ldots ,N_{n}}$ ，對每個 ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ ，存在唯一的不可分解左射影模 ${\displaystyle P_{i}}$  （至多差一個同構），使得 ${\displaystyle \mathrm {Hom} (P_{i},N_{i})\neq \{0\}}$ 。取 ${\displaystyle c_{ij}}$  為 ${\displaystyle N_{j}}$  在 ${\displaystyle P_{i}}$  的合成列中作為合成因子的重數。方陣 ${\displaystyle C:=(c_{ij})}$  稱為 ${\displaystyle A}$  的嘉當矩陣。

參考資料

• V.L. Popov, Cartan matrix, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4