Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X
四月 11, 2024
投射模, 在交換代數中, 一個環, displaystyle, 上的是自由模的推廣, 它有多種等價的定義, 就幾何的觀點, 之於自由模一如向量叢之於平凡向量叢, 在範疇論的語言中, 可以推廣為一個阿貝爾範疇中的投射對象, 首見於昂利, 嘉當與塞繆爾, 艾倫伯格的重要著作, homological, algebra, 由此定義的投射分解是同調代數的基本概念之一, 目录, 定義, 自由模的直和項, 提昇性質, 向量叢與局部自由模, 性質, 塞爾問題, 文獻定義, 编辑此節給出的兩種等價定義, 自由模的直和項, 编辑, . 在交換代數中 一個環 R displaystyle R 上的投射模是自由模的推廣 它有多種等價的定義 就幾何的觀點 投射模之於自由模一如向量叢之於平凡向量叢 在範疇論的語言中 投射模可以推廣為一個阿貝爾範疇中的投射對象 投射模首見於昂利 嘉當與塞繆爾 艾倫伯格的重要著作 Homological Algebra 由此定義的投射分解是同調代數的基本概念之一 目录 1 定義 1 1 自由模的直和項 1 2 提昇性質 2 向量叢與局部自由模 3 性質 4 塞爾問題 5 文獻定義 编辑此節給出投射模的兩種等價定義 自由模的直和項 编辑 投射模最直接的刻劃是一個自由模的直和項 換言之 一個模 P displaystyle P nbsp 是投射模 若且唯若存在另一個模 Q displaystyle Q nbsp 使得 F P Q displaystyle F P oplus Q nbsp 是自由模 此時 P displaystyle P nbsp 是 F displaystyle F nbsp 的一個投影態射的項 提昇性質 编辑 較容易操作也較符合範疇論思想的定義是利用提昇性質 模 P displaystyle P nbsp 是投射模 若且唯若對任何模滿射 f N M displaystyle f N twoheadrightarrow M nbsp 及模態射 g P M displaystyle g P rightarrow M nbsp 存在模態射 h P N displaystyle h P rightarrow N nbsp 使得 f h g displaystyle f circ h g nbsp 請留意 在此不要求唯一性 用交換圖表現則更明瞭 nbsp 此定義的優勢在於它可以推廣到阿貝爾範疇 從而引至投射對象的概念 在此並不需要考慮自由對象 反轉箭頭則得到對偶概念內射模 另一種在探討Ext函子時特別有用的表述如下 模 P displaystyle P nbsp 是投射模 若且唯若任何正合序列 0 M M M 0 displaystyle 0 longrightarrow M longrightarrow M longrightarrow M longrightarrow 0 nbsp 都誘導出正合序列 0 Hom P M Hom P M Hom P M 0 displaystyle 0 longrightarrow mathrm Hom P M longrightarrow mathrm Hom P M longrightarrow mathrm Hom P M longrightarrow 0 nbsp 換言之 Hom P displaystyle mathrm Hom P nbsp 是正合函子 實則對任何模 M displaystyle M nbsp 函子 Hom M displaystyle mathrm Hom M nbsp 總是左正合的 而投射性相當於右正合性 由此立刻得到投射模的同調刻劃 P displaystyle P nbsp 是投射模若且唯若 i gt 0 Exti P 0 displaystyle forall i gt 0 mathrm Ext i P 0 nbsp 向量叢與局部自由模 编辑投射模理論的想法之一是向量叢的類比 對於緊豪斯多夫空間上的實值連續函數環 或緊光滑流形上的光滑函數 此類比有嚴格的表述 詳閱條目Swan 定理 向量叢是局部自由的 只要環上有合適的局部化概念 例如對環的一個積性子集局部化 則可以定義局部自由模 對於諾特環上的有限生成模 其投射性等價於局部自由性 對於非諾特環 則存有局部自由但非投射模的例子 性質 编辑投射模的直和與直和項仍是投射模 若 e e2 R displaystyle e e 2 in R nbsp 則 Re displaystyle Re nbsp 是個投射左 R displaystyle R nbsp 模 投射模的子模不一定是投射模 使得所有投射左模的子模都是投射左模的環稱作左繼承的 一個環上的全體有限生成投射模構成一個正合範疇 亦見代數K 理論 域或除環上的向量空間是自由模 因而是投射模 使所有模為投射模的環稱為半單環 將阿貝爾群視為 Z displaystyle mathbb Z nbsp 模 則投射模對應於自由阿貝爾群 一般而言 此性質對主理想域也成立 投射模皆為平坦模 反之不然 例如 Q displaystyle mathbb Q nbsp 是平坦 Z displaystyle mathbb Z nbsp 模 但是非投射 關於 局部自由 投射 的想法 Kaplansky 證出如下定理 局部環上的投射模皆為自由模 有限生成投射模的情形容易證明 一般情形則較困難 塞爾問題 编辑Quillen Suslin定理是另一個深入的結果 它斷言若 R displaystyle R nbsp 是域或主理想域 而 R X1 Xn displaystyle R X 1 ldots X n nbsp 是其上的多項式環 則任何投射 R displaystyle R nbsp 模都是自由模 此問題在域的情形由塞爾首先提出 Bass 解決了非有限生成模的情形 Quillen 與 Suslin 則同時而獨立地處理有限生成模的情形 文獻 编辑Serge Lang Algebra 2002 Graduate Texts in Mathematics 211 Springer ISBN 0 387 95385 X 取自 https zh wikipedia org w index php title 投射模 amp oldid 68297247, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,