內射模

內射模（英語：injective module），在模論中，是具有與有理數 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$（視為 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-模）相似性質的模。內射模是投射模的對偶概念，由Reinhold Baer於1940年引進。

定義

一個環 ${\displaystyle R}$  上的左模 ${\displaystyle Q}$  若滿足以下等價條件，則稱之為內射模：

• 若 ${\displaystyle Q}$  是另一個左 ${\displaystyle R}$ -模 ${\displaystyle M}$  的子模，則存在另一個子模 ${\displaystyle R\subset M}$  使得 ${\displaystyle M=R\oplus Q}$ 。
• 若 ${\displaystyle f:X\to Y}$  是左 ${\displaystyle R}$ -模的單射，${\displaystyle g:X\to Q}$  為同態，則存在同態 ${\displaystyle h:Y\to Q}$  使得 ${\displaystyle h\circ f=g}$ 。圖示如下：

 

• 任何短正合序列 ${\displaystyle 0\to Q\to M\to K\to 0}$  都分裂。
• 函子 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(-,Q)}$  為正合函子。

右模的定義類此。抽象地說，內射模乃是模範疇中的內射對象。

例子

• 零模是內射模的平凡例子。
• 設 ${\displaystyle R}$  為域，則任何 ${\displaystyle R}$ -模（即 ${\displaystyle R}$ -向量空間）都是內射模，此點可由基的性質證明。
• 設 ${\displaystyle G}$  為緊群（例如有限群），${\displaystyle k}$  為特徵為零的域。根據緊群的表示理論，可知任何表示的子表示都是其直和項；若翻譯為模的語言，即是：群代數 ${\displaystyle kG}$  上的所有模都是內射模。
• 設 ${\displaystyle A}$  為域 ${\displaystyle k}$  上含單位元的有限維結合代數。則逆變函子 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{k}(-,k)}$  給出有限生成左 ${\displaystyle A}$ -模與有限生成右 ${\displaystyle k}$ -模的對偶性。因此，有限生成的左 ${\displaystyle A}$ -模在同構的意義下皆可寫作 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{k}(P,k)}$ ，其中 ${\displaystyle P}$  是某個有限生成的投射右 ${\displaystyle A}$ -模。
• 在一般的環上也存在充足的（在內射分解的意義下）投射模，以下將述及相關理論。初步的例子包括：${\displaystyle \mathbb {Q} }$  對加法形成內射 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -模。群 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$  （${\displaystyle n>1}$ ）是內射 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ -模，而非內射 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -模。
• 若一个环作为它自身的左模是内射的，就称为一个左自内射环（英語：left self-injective ring）。右自内射环可对称的定义。半单环，整数的剩余类环是自内射环。一个左自内射环不一定是右自内射的。

性質

內射模的直積（包括無窮直積）仍是內射模，內射模的有限直和仍為內射模。一般而言，內射模的子模、商模或無窮直和並不一定是內射模。

Baer 在其論文中證明了一個有用的結果，通常稱作 Baer 判準：一個左 ${\displaystyle R}$ -模 ${\displaystyle Q}$  是內射模若且唯若定義在任一理想 ${\displaystyle I}$  上的態射 ${\displaystyle I\to Q}$  都能延拓到整個 ${\displaystyle R}$  上。

利用此判準，可證明主理想域 ${\displaystyle R}$  上的模 ${\displaystyle Q}$  是內射模若且唯若 ${\displaystyle Q}$  可除，即：對任何 ${\displaystyle r\neq 0\in R.\;q\in Q}$ ，存在 ${\displaystyle q'\in Q}$  使得 ${\displaystyle rq'=q}$ ，由此可證 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  是內射 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -模，向量空間都是內射模。

最重要的內射模當屬 ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ：它是 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -模範疇中的內射上生成元，換言之，這是內射模，而且任何 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -模皆可嵌入某個 ${\displaystyle (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )^{a}}$  中，其中 ${\displaystyle a}$  是夠大的基數。由此可知任何 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -模皆可嵌入某個內射 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -模。此性質對任意環 ${\displaystyle R}$  上的左模都成立，要點在於利用 ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$  的特性構造左 ${\displaystyle R}$ -模範疇中的內射上生成元。

我們也可以定義模的內射包（基本上是包含一個模的最小內射模）。任意模 ${\displaystyle M}$  都有內射分解，這是形式如下的正合序列：

${\displaystyle 0\to M\to I^{0}\to I^{1}\to I^{2}\to \cdots I^{n}\to \cdots }$ 

其中每個 ${\displaystyle I^{j}}$  都是內射的。內射分解可以用以定義模的內射維度（基本上是內射分解的最短長度，可能是無限的）及導函子。

不可分解內射模的自同態環是局部環。

文獻

• F.W. Anderson and K.R. Fuller: Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 13, 2nd Ed., Springer-Verlag, New York, 1992.

参见

• 模论
• 投射模