根系 (数学)

在數學中，根系是歐幾里得空間中滿足某些公理的向量配置。根系在李群、李代數與代數群理論中格外重要；而根系分類的主要工具──鄧肯圖，也見諸奇异性理论等與李群並無顯著關係的學科。

定義

設 ${\displaystyle V}$  為有限維實向量空間，並賦予標準的內積 ${\displaystyle (,)}$ 。${\displaystyle V}$  中的根系是有限個向量（稱為根）構成的集合 ${\displaystyle \Phi }$ ，滿足下述條件：

 

<α, β> 的整性條件使得 β 必然落在所示各條垂直線上。再配合 <β, α> 的整性條件，在每條線上，其間交角只有兩種可能。

1. ${\displaystyle \Phi }$  的元素張出 ${\displaystyle V}$ 。
2. 對任一 ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ，其屬於 ${\displaystyle \Phi }$  的純量倍數只有 ${\displaystyle \pm \alpha }$ 。
3. 對任意 ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ，集合 ${\displaystyle \Phi }$  在對 ${\displaystyle \alpha }$  的反射之下不變。在此的反射是指

   ${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )=\beta -2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}\alpha \in \Phi .}$ 

4. （整性）若 ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$ ，則 ${\displaystyle \beta }$  在 ${\displaystyle \alpha }$  方向的投影乘以2是 ${\displaystyle \alpha }$  的整數倍，即：

   ${\displaystyle \langle \beta ,\alpha \rangle :=2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}\in \mathbb {Z} ,}$ 

根據性質三，整性等價於：對任意 ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$ ，${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )}$  與 ${\displaystyle \beta }$  僅差 ${\displaystyle \alpha }$  的整數倍。此外，注意到性質四定義的尖積

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb {Z} }$ 

並非一個內積，它未必對稱，而且只對第一個參數是線性的。

根系 ${\displaystyle \Phi }$  的秩定義為 ${\displaystyle V}$  的維度。

給定兩個根系 ${\displaystyle (V,\Phi ),(W,\Psi )}$ ，可考慮其正交直和 ${\displaystyle V\oplus W}$ ，則 ${\displaystyle \Phi \sqcup \Psi }$  自然地構成其中的根系。若一個根系無法表成如此的組合（當然，假設 ${\displaystyle V,W\neq \{0\}}$ ），則稱之為不可約的。

對兩個根系 ${\displaystyle (E_{1},\Phi _{1}),(E_{2},\Phi _{2})}$ ，若存在其間的線性同構，使得 ${\displaystyle \Phi _{1}}$  映至 ${\displaystyle \Phi _{2}}$ ，則稱它們為同構的根系。

對於根系 ${\displaystyle (V,\Phi )}$ ，對根的反射生成一個群，稱為該根系的外爾群。可證明此群在 ${\displaystyle \Phi }$  上忠實地作用，因此必為有限群。

秩一與秩二的例子

秩为1的例子

在同構的意義下，秩一的根系僅有一種，由兩個非零向量 ${\displaystyle \{\alpha ,-\alpha \}}$  組成。此根系記作 ${\displaystyle A_{1}}$ 。

秩为2的例子

秩二的根系有四種可能，对应于${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )=\beta +n\alpha }$ ，其中${\displaystyle n=0,1,2,3}$ 的情况^[1]。注意根系并不由它生成的格所决定：${\displaystyle A_{1}\times A_{1}}$  和${\displaystyle B_{2}}$ 均生成正方形格，而 ${\displaystyle A_{2}}$ 和${\displaystyle G_{2}}$  生成六边形格。这仅仅是五种可能的二维格中的两种。 圖解如下：

秩二之根系

根系 A1×A1	根系 A2
根系 B2	根系 G2

當 ${\displaystyle \Phi }$  是 ${\displaystyle V}$  中的根系，而 ${\displaystyle W}$  是 ${\displaystyle \Psi =\Phi \cap W}$  在 ${\displaystyle W}$  中生成的子空間，則 ${\displaystyle \Psi }$  是 ${\displaystyle W}$  中的根系。因此上述列表限制了任意秩根系中兩根的幾何關係，例如：任意兩根的交角僅可能是 ${\displaystyle 0,30,45,60,90,120,135,150}$  或 ${\displaystyle 180}$  度。

正根與單根

對於根系 ${\displaystyle \Phi }$ ，可以取定滿足下述條件的正根子集 ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ ：

• 對每個根 ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ，${\displaystyle \alpha ,-\alpha }$  中恰有一者屬於 ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ 。
• 對任意 ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi ^{+}}$ ，若 ${\displaystyle \alpha +\beta \in \Phi }$ ，則 ${\displaystyle \alpha +\beta \in \Phi ^{+}}$ 。

正根的取法並不唯一。取定一組正根後，${\displaystyle -\Phi ^{+}}$  的元素被稱為負根。

正根的選取等價於單根的選取。單根集是 ${\displaystyle \Phi }$  中滿足下述條件的子集 ${\displaystyle \Delta }$ ：

任意 ${\displaystyle \Phi }$  中的元素皆可唯一地表成 ${\displaystyle \Delta }$  中元素的整係數線性組合，而且其係數或者全大於等於零，或者全小於等於零。

選定一組單根後，可定義相應的正根為展開式中係數大於等於零的根。如此可得到單根與正根選取法的一一對應。

以鄧肯圖分類根系

不可約根系與某類被稱為鄧肯圖的圖間有一一對應關係。鄧肯圖的分類是簡單的組合學問題，由此可導出不可約根系的分類定理。其構造方式如下：

給定一個不可約根系，選取一組單根。相應的鄧肯圖以這些單根為頂點。兩個單根 ${\displaystyle \alpha ,\beta }$  若不垂直，則有 ${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle \cdot \langle \beta ,\alpha \rangle }$  個邊相連：若只有一個邊，則不取定向，否則則取自長度 ${\displaystyle (\alpha ,\alpha )}$  長者（稱為長根）指向短者（稱為短根）的有向邊。

一個根系可以取多種不同的單根。然而，由於外爾群在這些選取上的作用是傳遞的，鄧肯圖的構造與單根的選取無關，它是根系內在的不變量。反之，給定具有相同鄧肯圖的兩個不可約根系，可以按圖配對單根及其間的內積，從而得到根系的同構。鄧肯圖給出的內積未必唯一，但至多差一個正常數倍，因而得到的根系是同構的 。

藉此，可將不可約根系的分類問題化約到連通鄧肯圖的分類。若某個鄧肯圖來自於根系，則從其頂點與邊定義的雙線性形式必然是鄧肯的；配上這個條件後，即可解決根系的分類。

鄧肯圖的分類列表詳如下圖。下標表示圖中的頂點數，亦即相應根系的秩。

 

不可約根系的性質

${\displaystyle \Phi }$	${\displaystyle |\Phi |}$	${\displaystyle |\Phi ^{<}|}$	I	${\displaystyle |W|}$
An (n≥1)	n(n+1)		n+1	(n+1)!
Bn (n≥2)	2n^2	2n	2	2^n n!
Cn (n≥3)	2n^2	2n(n−1)	2	2^n n!
Dn (n≥4)	2n(n−1)		4	2^n−1 n!
E6	72		3	51840
E7	126		2	2903040
E8	240		1	696729600
F4	48	24	1	1152
G2	12	6	1	12

不可約根系依其鄧肯圖的種類命名。有四族根系：${\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n},D_{n}}$ ，其下標分別取遍 ${\displaystyle n\geq 1,2,3,4}$  的正整數，稱為典型根系；剩下五種情形稱為例外根系。下標表示根系之秩。在上表中， ${\displaystyle |\Phi ^{<}|}$  表示短根的個數（若諸根同長，則皆視為長根），${\displaystyle I}$  表示其嘉當矩陣的行列式，而 ${\displaystyle |W|}$  表示外爾群之階。

不可約根系的構造方法及描述

A_n

取 ${\displaystyle V}$  為 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$  中滿足 ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}=0}$  的點 ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$  所成之子空間。令 ${\displaystyle \Phi }$  為 ${\displaystyle V}$  中長度為 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  的格子點。取 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$  的標準基 ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n+1}}$ ，則根具有 ${\displaystyle e_{i}-e_{j}\;(i\neq j)}$  的形式，共有 ${\displaystyle n(n+1)}$  個根。通常取單根為 ${\displaystyle \alpha _{i}:=e_{i}-e_{i+1}}$ 。

對垂直於 ${\displaystyle \alpha _{i}}$  的超平面的鏡射在 ${\displaystyle \Phi }$  上的作用是交換第 ${\displaystyle i,i+1}$  個座標。因此 ${\displaystyle A_{n}}$  的外爾群不外就是對稱群 ${\displaystyle S_{n+1}}$ 。

${\displaystyle A_{n}}$  是李代數 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n+1,\mathbb {C} )}$  的根系。

B_n

B₄

1	-1	0	0
0	1	-1	0
0	0	1	-1
0	0	0	1

取 ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$ ，並令 ${\displaystyle \Phi }$  為 ${\displaystyle V}$  中長度為 ${\displaystyle 1,{\sqrt {2}}}$  的格子點。共有 ${\displaystyle 2n^{2}}$  個根。通常取單根為 ${\displaystyle \alpha _{i}=e_{i}-e_{i+1}\;(1\leq i<n)}$  及 ${\displaystyle \alpha _{n}:=e_{n}}$ （短根）。

對短根 ${\displaystyle \alpha _{n}}$  的反射即 ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto (x_{1},\ldots ,-x_{n})}$ 。

${\displaystyle B_{1}}$  跟 ${\displaystyle A_{1}}$  僅差一個縮放，因此通常僅考慮 ${\displaystyle n\geq 2}$  的情形。${\displaystyle B_{n}}$  是李代數 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n+1,\mathbb {C} )}$  的根系。

C_n

C₄

1	-1	0	0
0	1	-1	0
0	0	1	-1
0	0	0	2

取 ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$ ，${\displaystyle \Phi }$  為 ${\displaystyle V}$  中所有長度 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  的格子點與形如 ${\displaystyle 2\lambda }$ 的點，其中 ${\displaystyle \lambda }$  是長度為一的格子點。共有 ${\displaystyle 2n^{2}}$  個根。通常取單根為 ${\displaystyle \alpha _{i}:=e_{i}-e_{i+1}\;(1\leq i<n)}$ 及 ${\displaystyle \alpha _{n}:=2e_{n}}$ （長根）。

${\displaystyle C_{2}}$  與 ${\displaystyle B_{2}}$  僅差一個縮放加上旋轉 45 度，因此通常僅考慮 ${\displaystyle n\geq 3}$  的情形。${\displaystyle C_{n}}$  是李代數 ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {C} )}$  的根系。

D_n

D₄

1	-1	0	0
0	1	-1	0
0	0	1	-1
0	0	1	1

取 ${\displaystyle V:=\mathbb {R} ^{n}}$ ，${\displaystyle \Phi }$  為 ${\displaystyle V}$  中長度 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  的格子點。共有 ${\displaystyle 2n(n-1)}$  個根。通常取單根為 ${\displaystyle \alpha _{i}=e_{i}-e_{i+1},\;(1\leq i<n)}$  及 ${\displaystyle \alpha _{n}=e_{n}+e_{n-1}}$ 。

${\displaystyle D_{3}}$  同構於 ${\displaystyle A_{3}}$ ，故通常僅考慮 ${\displaystyle n\geq 4}$  的情形。${\displaystyle D_{n}}$  是李代數 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n,\mathbb {C} )}$  的根系。

E₈, E₇, E₆

${\displaystyle E_{8}}$  是較為特殊的根系。首先定義 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$  中滿足下述條件的點集 ${\displaystyle \Gamma _{8}}$ ：

• 各座標均為整數，或均為半整數（不容相混）。
• 八個座標的和為偶數。

定義 ${\displaystyle E_{8}}$  為 ${\displaystyle \Gamma _{8}}$  中長度為 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  的向量，即：

${\displaystyle \left\{\alpha \in \mathbb {Z} ^{8}\sqcup \left(\mathbb {Z} +{\frac {1}{2}}\right)^{8}:|\alpha |^{2}=2,\;\sum \alpha _{i}\in 2\mathbb {Z} \right\}}$ 

定義 ${\displaystyle E_{7}}$  為 ${\displaystyle E_{8}}$  與超平面 ${\displaystyle \{x:(x,\alpha )=0\}}$  之交， 其中 ${\displaystyle \alpha \in E_{8}}$  是任取的根。同樣步驟施於 ${\displaystyle E_{7}}$ ，得到更小的根系 ${\displaystyle E_{6}}$ 。根系 ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8}}$  分別有 72, 126 與 240 個根。若續行此化約步驟，則會得到典型根系 ${\displaystyle D_{5},A_{4}}$ 。

E₈：偶坐標

1	-1	0	0	0	0	0	0
0	1	-1	0	0	0	0	0
0	0	1	-1	0	0	0	0
0	0	0	1	-1	0	0	0
0	0	0	0	1	-1	0	0
0	0	0	0	0	1	-1	0
0	0	0	0	0	1	1	0
½	½	½	½	½	½	½	½

另一種等價的描述是取 ${\displaystyle \Gamma '_{8}}$  為：

• 各坐標均為整數，而且其和為偶數；或
• 各坐標均為半整數，而且其和為奇數。

${\displaystyle \Gamma _{8}}$  與 ${\displaystyle \Gamma '_{8}}$  同構。將任意偶數個座標乘以負一，便可在兩者間轉換。${\displaystyle \Gamma _{8}}$  稱為 ${\displaystyle E_{8}}$  的偶坐標系，${\displaystyle \Gamma '_{8}}$  稱為奇坐標系。

在偶坐標下，通常取單根為

${\displaystyle \alpha _{i}:=e_{i}-e_{i+1}\quad (1\leq i\leq 6)}$ 

${\displaystyle \alpha _{7}:=e_{7}+e_{6}}$ 

${\displaystyle \alpha _{8}=\beta _{0}={\frac {\sum _{i=1}^{8}e_{i}}{2}}}$ 

E₈：奇坐標

1	-1	0	0	0	0	0	0
0	1	-1	0	0	0	0	0
0	0	1	-1	0	0	0	0
0	0	0	1	-1	0	0	0
0	0	0	0	1	-1	0	0
0	0	0	0	0	1	-1	0
0	0	0	0	0	0	1	-1
-½	-½	-½	-½	-½	½	½	½

在奇坐標下，通常取單根為

${\displaystyle \alpha _{i}:=e_{i}-e_{i+1}\quad (1\leq i\leq 7)}$ 

${\displaystyle \alpha _{8}:=\beta _{5}}$ ，其中

${\displaystyle \beta _{j}:={\frac {-\sum _{i=1}^{j}e_{i}+\sum _{i=j+1}^{8}e_{i}}{2}}}$ 

（在上述定義中，若改取 ${\displaystyle \beta _{3}}$ ，將得到同構的結果。若改取 ${\displaystyle \beta _{1},\beta _{7},\beta _{2},\beta _{6}}$ ，將得到 ${\displaystyle A_{8}}$  或 ${\displaystyle D_{8}}$ 。至於 ${\displaystyle \beta _{4}}$ ，其坐標和為零，而 ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{7}}$  亦然，所以張出的向量空間維度不合所求。

刪去 ${\displaystyle \alpha _{1}}$  可得到 ${\displaystyle E_{7}}$  的一組單根；再刪去 ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ，可得 ${\displaystyle E_{6}}$  的單根。

由於對 ${\displaystyle \alpha _{1}}$  垂直等價於前兩個坐標相等，而對 ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}}$  垂直等價於前三個座標相等，不難導出 ${\displaystyle E_{7},E_{6}}$  的明確定義：

E₇ = (α ∈ Z⁷ ∪ (Z+½)⁷: ∑α_i² + α₁² = 2，∑α_i + α₁ ∈ 2Z),

E₆ = (α ∈ Z⁶ ∪ (Z+½)⁶: ∑α_i² + 2α₁² = 2，∑α_i + 2α₁ ∈ 2Z)

F₄

F₄

1	-1	0	0
0	1	-1	0
0	0	1	0
-½	-½	-½	-½

對於 ${\displaystyle F_{4}}$ ，取 ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{4}}$ ，並令 ${\displaystyle \Phi }$  為滿足下述條件的向量：

• ${\displaystyle |\alpha |=1,{\sqrt {2}}}$ 
• ${\displaystyle 2\alpha }$  各坐標皆為奇數或皆為偶數。

此根系有 ${\displaystyle 48}$  個根。通常取單根為 ${\displaystyle B_{3}}$  的單根再加上 ${\displaystyle \alpha _{4}=-\left(\sum _{i=1}^{4}e_{i}\right)/2}$ 。

G₂

G₂

1	-1	0
-1	2	-1

${\displaystyle G_{2}}$  有 12 個根，構成一個六邊形的頂點，詳如秩二的例子一節所示。通常取單根為

• ${\displaystyle \alpha _{1}}$ 
• ${\displaystyle \beta :=\alpha _{2}-\alpha _{1}}$ 

在此沿用了之前的符號： ${\displaystyle \alpha _{i}:=e_{i}-e_{i+1},\;(i=1,2)}$ 。

根系與李群、李代數

不可約根系的分類可用於研究下述對象：

• 單複李代數
• 單複李群
• 模掉中心後為單李群的單連通複李群
• 緊單李群

参考文献

引用

1. Hall 2015 Proposition 8.8

来源

• Serre, J.-P., Jones, G. A., Complex Semisimple Lie Algebras (2001), Springer-Verlag, ISBN 3540678271
• Serre, J.-P. Lie Algebras and Lie Groups (2005), Lecture Notes in Mathematics, no. 1500, Springer-Verlag, ISBN 3540550089 .
• Dynkin, E. B. The structure of semi-simple algebras. (Russian) Uspehi Matem. Nauk (N.S.) 2, (1947). no. 4(20), 59–127.
• Hall, Brian C., Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction, Graduate Texts in Mathematics 222 2nd, Springer, 2015, ISBN 978-3319134666 

參見

• ADE分類
• 外爾群
• 考克斯特群
• 考克斯特矩陣
• 根資料
• 考克斯特-鄧肯圖