根資料

在數學的代數群領域中，根資料（原文為法文donnée radicielle）是一個連通、分裂、可簡約代數群的不變量。對於可簡約代數群，根資料是比根系更精細的不變量，若假設連通性，則它決定了代數群的結構（至多差一個同構）。根資料的定義首見於M. Demazure在SGA III中的闡述，於1970年出版。

定義

根資料是一組資料${\displaystyle (X,\Phi ,X^{\vee },\Phi ^{\vee })}$ ，其中：

• ${\displaystyle X,X^{\vee }}$ 是有限秩自由阿貝爾群，其間有一個配對${\displaystyle \langle ,\rangle :X\times X^{\vee }\rightarrow \mathbf {Z} }$ 使兩者互為對偶。
• ${\displaystyle \Phi }$ 是${\displaystyle X}$ 的有限子集，${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$ 是${\displaystyle X^{\vee }}$ 的有限子集，並存在其間的雙射${\displaystyle \alpha \mapsto \alpha ^{\vee }}$ 。
• 對任意${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ，有${\displaystyle \langle \alpha ,\alpha ^{\vee }\rangle =2}$ 。
• 對任意${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ，根鏡射${\displaystyle x\mapsto x-\langle x,\alpha ^{\vee }\rangle \alpha }$ 導出根資料的自同構（換言之：它將${\displaystyle \Phi }$ 一一映至${\displaystyle \Phi }$ ，而在${\displaystyle X^{\vee }}$ 上導出的對偶映射則將${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$ 一一映至${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$ ）。
• 類似地，對任意${\displaystyle \alpha ^{\vee }\in \Phi ^{\vee }}$ ，餘根鏡射${\displaystyle u\mapsto u-\langle \alpha ,u\rangle \alpha ^{\vee }}$ 導出根資料的自同構。

${\displaystyle \Phi }$ 的元素稱作該根資料的根，${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$ 的元素稱為餘根。

若${\displaystyle \Phi }$ 不包含任意根的兩倍，則稱此根資料為既約的。

設${\displaystyle X_{0}:=(\Phi ^{\vee })^{\perp }}$ 。若${\displaystyle X_{0}=\{0\}}$ ，稱此根資料為半單的，

從根資料到根系

對於根資料${\displaystyle (X,\Phi ,X^{\vee },\Phi ^{\vee })}$ ，取${\displaystyle Q}$ 為${\displaystyle \Phi }$ 在${\displaystyle X}$ 中生成的子群，並設${\displaystyle V:=Q\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }$ ；利用對偶性，同樣可定義${\displaystyle V^{\vee }}$ 。可證明${\displaystyle X_{0}\cap Q=\{0\}}$ ，${\displaystyle X_{0}+Q}$ 在${\displaystyle X}$ 中的指數為有限的；因此${\displaystyle V^{\vee }}$ 可視為${\displaystyle V}$ 的對偶空間。可證明${\displaystyle (V,\Phi )}$ 成為一個根系。

與約化代數群的關係

設${\displaystyle G}$ 是域${\displaystyle K}$ 上的約化代數群，並具有在${\displaystyle K}$ 上分裂的極大環面${\displaystyle T}$ 。定義相應的根資料${\displaystyle \Phi (T,B)=(X,\Delta ,X_{*},\Delta ^{\vee })}$ 為

• ${\displaystyle X^{*}:=\mathrm {Hom} (T,\mathbb {G} _{m})}$ （極大環面的特徵標）
• ${\displaystyle X_{*}:=\mathrm {Hom} (\mathbb {G} _{m},T)}$ （極大環面的餘特徵標，或者說是其中的單參數子群）
• ${\displaystyle \Delta }$ 是資料${\displaystyle (G,T)}$ 的根。
• ${\displaystyle \Delta ^{\vee }}$ 是相應的餘根。

代數封閉域上的連通、約化代數群由其根資料決定。反之，給定任一組根資料，存在與之匹配的連通、約化代數群。根資料比根系及丹金圖精確，因為它不僅刻劃了群的李代數結構，還刻劃了群的中心。

對偶性

給定任一根資料${\displaystyle (X,\Psi ,X^{\vee },\Psi ^{\vee })}$ ，藉著將${\displaystyle X,X^{\vee }}$ 對換，將${\displaystyle \Psi ,\Psi ^{\vee }}$ 對換，可以得到新的根資料，稱為其對偶。

若${\displaystyle G}$ 是代數封閉域${\displaystyle K}$ 上的連通、約化代數群，則根資料的對偶決定了複數域 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 上唯一的連通、約化、分裂代數群^LG，稱為${\displaystyle G}$ 的郎蘭茲對偶群。

文獻

• M. Demazure, Exp. XXI in SGA 3 vol 3 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• T. A. Springer, Reductive groups （页面存档备份，存于互联网档案馆），in Automorphic forms, representations, and L-functions vol 1 （页面存档备份，存于互联网档案馆） ISBN 0-8218-3347-2