極大環面

在數學的緊李群及約化代數群理論中，極大子環是其中一類特別的子群，在這些群的分類及表示理論中扮演要角。

緊李群

李群${\displaystyle G}$ 中的子環（面）是一個連通緊阿貝爾李子群，這類子群必然同構於環面${\displaystyle T^{n}}$ 。極大環面是其中維度最大者。非緊子群未必有極大環面（例如${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ）。

對於緊李群，極大子環對應到李代數中的極大阿貝爾子代數。任意子環皆包含於某個極大子環，任兩個極大子環彼此共軛。極大子環的維度稱為該群的秩。

約化群

設${\displaystyle G}$ 為${\displaystyle S}$ 上的群概形，若存在平展拓撲中的覆蓋${\displaystyle S'\to S}$ ，使得${\displaystyle G_{S'}:=G\times _{S}S'}$ 同構於${\displaystyle \mathbb {G} _{m,S'}:=\mathbb {G} _{m}\times S'}$ ，其中${\displaystyle \mathbb {G} _{m}:=\mathrm {Spec} \mathbb {Z} [T,T^{-1}]}$ 配上自然的群結構，則稱${\displaystyle G}$ 是環面。若${\displaystyle G\simeq \mathbb {G} _{m,S}}$ ，稱${\displaystyle G}$ 為可對角化或子環（面）。

今設${\displaystyle G\to S}$ 為平滑仿射態射。較常見的情形是${\displaystyle S=\mathrm {Spec} K}$ ，其中${\displaystyle K}$ 是域。此時極大子環的定義同於李群。對於一般的基${\displaystyle S}$ ，子群概形${\displaystyle T\subset G}$ 是極大子環意謂著：對每個幾何點${\displaystyle {\bar {s}}\to S}$ ，其幾何纖維${\displaystyle T_{\bar {s}}\to G_{\bar {s}}}$ 是前述意義下的極大子環。在平展拓撲下，極大子環「局部上」兩兩共軛。

對於可簡約${\displaystyle S}$ -代數群${\displaystyle G}$ ，極大子環對${\displaystyle S}$ 局部上存在。透過極大子環，可以定義根資料，繼而開展約化群的分類理論。

文獻

• Anthony W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction（2004）, Birkhäuser. ISBN 0817642595 .
• Demazure, Michel; Alexandre Grothendieck, eds.（1970）. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962-64 - Schémas en groupes -（SGA 3） - vol. 1 (Lecture notes in mathematics 151) (in French). Berlin; New York: Springer-Verlag, xv+564.
• Demazure, Michel; Alexandre Grothendieck, eds.（1970）. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962-64 - Schémas en groupes -（SGA 3） - vol. 2 (Lecture notes in mathematics 152) (in French). Berlin; New York: Springer-Verlag, ix+654.
• Demazure, Michel; Alexandre Grothendieck, eds.（1970）. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962-64 - Schémas en groupes -（SGA 3） - vol. 3 (Lecture notes in mathematics 153) (in French). Berlin; New York: Springer-Verlag, vii+529.