嘉当子代数

在数学中，嘉当子代数（Cartan subalgebra，缩写为 CSA），是一个李代数 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 的自正规化（如果 ${\displaystyle [X,Y]\in {\mathfrak {h}}}$ 对所有 ${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$，那么${\displaystyle Y\in {\mathfrak {h}}}$）、幂零子代数，通常用 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ 表示。

存在性和唯一性

当基域是无限域时，有限维李代数的嘉当子代数总是存在的。如果基域是代数闭的且特征为零，那么对给定的有限维李代数，所有嘉当子代数通过李代数的自同构都是共轭的，因此也是同构的。

半单李代数的嘉当子代数

对基域是代数闭的且特征为零的半单李代数，它的嘉当子代数是交换的并有下面的性质：${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  的伴随表示限定到 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$  上是 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  的一个对角化表示，并且特征值为零的特征空间正是 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$  。非零的权称为根，对应的特征空间称为根空间；所有的根空间都是一维的。

例子

• 任何幂零李代数是它自己的嘉当子代数。
• n×n 矩阵 李代数的嘉当子代数是所有对角阵形成的子代数。
• 迹为0的二阶矩阵李代数${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {R} )}$ 有两个不共轭的嘉当子代数。

参考文献

• Borel, Armand, Linear algebraic groups, Graduate Texts in Mathematics 126 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1991, ISBN 978-0-387-97370-8, MR 1102012 
• Jacobson, Nathan, Lie algebras, New York: Dover Publications, 1979, ISBN 978-0-486-63832-4, MR 0559927 
• Humphreys, James E., Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1972, ISBN 978-0-387-90053-7 
• Hazewinkel, Michiel (编), 嘉当子代数, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4