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一月 28, 2023
在数学中, 特殊线性群, 是行列式为, 实矩阵组成的群, 群论群基本概念子群, 正规子群, 商群, 群同态, 直积, 直和单群, 有限群, 无限群, 拓扑群, 群概形, 循环群, 冪零群, 可解群, 圈積离散群有限单群分类, 循环群, 交错群, 李型群散在群马蒂厄群, 24康威群, 扬科群, 费歇尔群, 24子怪兽群, b怪兽群, m其他有限群对称群, sn二面体群, dn无限群整数, z模群, 连续群李群一般线性群, 特殊线性群, 正交群, 特殊正交群, 酉群, 特殊酉群, 辛群, e8勞侖茲群庞加莱群无限维群共. 在数学中 特殊线性群 SL ℝ 是行列式为 1 的 2 2 实矩阵组成的群 群论群基本概念子群 正规子群 商群 群同态 像 半 直积 直和单群 有限群 无限群 拓扑群 群概形 循环群 冪零群 可解群 圈積离散群有限单群分类 循环群 Zn 交错群 An 李型群散在群马蒂厄群 M11 12 M22 24康威群 Co1 3 扬科群 J1 4 费歇尔群 F22 24子怪兽群 B怪兽群 M其他有限群对称群 Sn二面体群 Dn无限群整数 Z模群 PSL 2 Z 和 SL 2 Z 连续群李群一般线性群 GL n 特殊线性群 SL n 正交群 O n 特殊正交群 SO n 酉群 U n 特殊酉群 SU n 辛群 Sp n G2 F4 E6 E7 E8勞侖茲群庞加莱群无限维群共形群微分同胚群 环路群 量子群 O SU Sp 代数群椭圆曲线线性代数群 英语 Linear algebraic group 阿贝尔簇 英语 Abelian variety 查论编 SL 2 R a b c d a b c d R displaystyle mbox SL 2 mathbb R left begin bmatrix a amp b c amp d end bmatrix a b c d in mathbb R right 且 a d b c 1 displaystyle ad bc 1 Bigg 它是一个三维李群 在几何 拓扑 表示论及物理中有重要应用 与 SL ℝ 密切相关的是射影线性群 PSL ℝ 这是将 SL ℝ 中每个元素与它的负元素等同得到的商 PSL 2 R SL 2 R 1 1 displaystyle mbox PSL 2 mathbb R mbox SL 2 mathbb R 1 1 一些作者将这个群记做 SL 2 ℝ 这是一个单李群 包含模群 PSL ℤ 目录 1 描述 1 1 线性分式变换 1 2 莫比乌斯变换 1 3 伴随表示 2 元素的分类 2 1 椭圆型元素 2 2 抛物型元素 2 3 双曲型元素 3 拓扑和万有覆盖 4 代数结构 5 表示理论 6 另见 7 参考文献描述 编辑SL2 ℝ 是 ℝ 2 上所有保持定向面积的线性变换群 它同构于辛群 Sp2 ℝ 以及广义特殊酉群 SU 1 1 它也同构于单位长共四元数群 商 PSL2 ℝ 有多个有趣的描述 它是实射影直线 R displaystyle mathbb R cup infty 上保持定向的射影变换群 它是单位圆盘的共形自同构群 它是双曲平面保持定向的等距群 它是三维闵可夫斯基空间的限制洛伦兹群 等价地 它同构于不定正交群 SO 1 2 从而 SL2 ℝ 同构于旋量群 Spin 2 1 线性分式变换 编辑 PSL2 ℝ 的元素做为线性分式变换作用在实射影直线 R displaystyle mathbb R cup infty 上 x a x b c x d displaystyle x mapsto frac ax b cx d 这类似于 PSL2 ℂ 通过莫比乌斯变换在黎曼球面上的作用 这是 PSL2 ℝ 在双曲平面上的作用限制到无穷远边界 莫比乌斯变换 编辑 PSL2 ℝ 中的元素通过莫比乌斯变换作用在复平面上 z a z b c z d displaystyle z mapsto frac az b cz d 这里 a b c d R displaystyle a b c d in mathbb R mbox 这正好是保持上半平面的莫比乌斯变换集合 从而 PSL2 ℝ 是上半平面的共形自同构群 由黎曼映射定理 它也是单位圆盘的共形自同构群 这些莫比乌斯变换是双曲空间上半平面模型的等距 而圆盘相应的莫比乌斯变换是庞加莱圆盘模型的双曲等距 伴随表示 编辑 群 SL2 ℝ 通过共轭作用在它的李代数 SL2 ℝ 上 导致 PSL2 ℝ 的一个忠实 3 维线性表示 这也可以描述为 PSL ℝ 作用在 ℝ 上的二次型上 结果是如下表示 a b c d a 2 2 a c c 2 a b a d b c c d b 2 2 b d d 2 displaystyle begin bmatrix a amp b c amp d end bmatrix mapsto begin bmatrix a 2 amp 2ac amp c 2 ab amp ad bc amp cd b 2 amp 2bd amp d 2 end bmatrix sl2 ℝ 上的基灵型有符号 2 1 诱导了 PSL2 ℝ 与洛伦兹群 SO 2 1 之间一个同构 PSL2 ℝ 在闵可夫斯基空间上的作用限制成 PSL2 ℝ 在双曲空间的双曲面模型上的等距 元素的分类 编辑SL2 ℝ 中一个元素 A 的本征值满足特征多项式 l 2 t r A l 1 0 displaystyle lambda 2 mathrm tr A lambda 1 0 从而 l t r A t r A 2 4 2 displaystyle lambda frac mathrm tr A pm sqrt mathrm tr A 2 4 2 这导致了如下元素分类 如果 tr A lt 2 则 A 称为椭圆型 如果 tr A 2 则 A 称为抛物型 如果 tr A gt 2 则 A 称为双曲型 椭圆型元素 编辑 椭圆型元素的本征值都是复数 是单位圆周上的共轭值 这样的元素的作用是欧几里得空间中的旋转 相应的 PSL2 ℝ 元素之作用是双曲平面与闵可夫斯基空间的旋转 模群的椭圆型元素的本征值一定为 w 1 w 形式 其中 w 是一个本原3次 4次 或6次单位根 他们是模群中所有有限阶元素 他们作用在环面上是周期性微分同胚 抛物型元素 编辑 抛物型元素只有一个本征值 1 或者 1 这样的元素作用在欧几里得平面上是错切映射 相应 PSL2 ℝ 中元素作用在双曲平面上是极限旋转 limit rotation 在闵可夫斯基空间上的作用是零旋转 模群的抛物型元素作用在环面上是德恩扭转 Dehn twist 英语 Dehn twist 双曲型元素 编辑 双曲型元素的本征值都是实数 互为倒数 这样一个元素作用在欧几里得空间上是挤压映射 squeeze mapping 英语 squeeze mapping 相应的 PSL2 ℝ 元素作用在双曲平面是平移 在闵可夫斯基空间上的作用是洛伦兹递升 模群的双曲型元素作用在环面上是阿诺索夫微分同胚 Anosov diffeomorphism 英语 Anosov diffeomorphism 拓扑和万有覆盖 编辑做为一个拓扑空间 PSL2 R 可以描述为双曲平面的单位切丛 这是一个圆丛 有由双曲平面上辛结构诱导的自然切触结构 SL2 R 是 PSL2 R 的二重覆盖 可以认为是双曲平面上的旋量丛 SL2 R 的基本群是无限循环群 ℤ 其万有覆盖群记做 SL 2 R displaystyle overline mbox SL 2 mathbb R 是一个有限维李群但不是矩阵群 即 SL 2 R displaystyle overline mbox SL 2 mathbb R 没有忠实有限维表示 做为一个拓扑空间 SL 2 R displaystyle overline mbox SL 2 mathbb R 是双曲平面上一个线丛 若赋予一个左不变度量 3 流形 SL 2 R displaystyle overline mbox SL 2 mathbb R 成为瑟斯顿八几何之一 例如 SL 2 R displaystyle overline mbox SL 2 mathbb R 是任何双曲曲面的单位切丛的万有覆盖 任何以 SL 2 R displaystyle overline mbox SL 2 mathbb R 为模型的流形是可定向的 也是一个二维双曲轨形上的圆丛 一个塞弗特纤维空间 Seifert fiber space 英语 Seifert fiber space 代数结构 编辑SL2 ℝ 的中心是两个元素的群 1 1 商 PSL2 ℝ 是单群 PSL2 ℝ 的离散子群称为富克斯群 Fuchsian group 英语 Fuchsian group 他们是欧几里得壁纸群 wallpaper group 英语 wallpaper group 和饰带群 Frieze group 英语 Frieze group 的双曲类比 最有名的是模群 PSL2 ℤ 它作用在双曲平面由理想三角形形成的嵌图上 圆群SO 2 是 SL2 ℝ 的一个极大紧子群 圆 SO 2 1 1 是 PSL2 ℝ 的一个极大紧子群 PSL2 ℝ 的舒尔乘子 Schur multiplier 英语 Schur multiplier 是 ℤ 万有中心扩张与万有覆盖群相同 表示理论 编辑主条目 SL2 R 的表示理论 SL2 ℝ 是一个实非紧单李群 也是复李群 SL2 ℂ 的分裂实形式 SL2 ℝ 的李代数记做 sl2 ℝ 是所有迹为零的 2 2 实矩阵 它是 VIII 型比安基代数 SL2 ℝ 的有限维表示理论等价于SU 2 的表示理论 这是 SL2 ℂ 的紧实形式 特别地 SL2 ℝ 没有非平凡有限维酉表示 SL2 ℝ 的无限维表示理论相当有意思 这个群有多类酉表示 这被盖尔范德 奈马克 1946 巴格曼 1947 Harish Chandra 1952 详细地解决了 另见 编辑线性群 特殊线性群 射影线性群 projective linear group 双曲等距 hyperbolic isometry 模群 modular group 英语 modular group 莫比乌斯变换 射影变换 富克斯群 Fuchsian group 英语 Fuchsian group 李群列表 Table of Lie groups 英语 Table of Lie groups 参考文献 编辑V Bargmann Irreducible Unitary Representations of the Lorentz Group The Annals of Mathematics 2nd Ser Vol 48 No 3 Jul 1947 pp 568 640 Gelfand I Neumark M Unitary representations of the Lorentz group Acad Sci USSR J Phys 10 1946 pp 93 94 Harish Chandra Plancherel formula for the 2 2 real unimodular group Proc Nat Acad Sci U S A 38 1952 pp 337 342 Serge Lang SL2 R Graduate Texts in Mathematics 105 Springer Verlag New York 1985 ISBN 0 387 96198 4 William Thurston Three dimensional geometry and topology Vol 1 Edited by Silvio Levy Princeton Mathematical Series 35 Princeton University Press Princeton NJ 1997 x 311 pp ISBN 0 691 08304 5 取自 https zh wikipedia org w index php title SL ℝ amp oldid 51008297, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，
