在幾何學 中，正六邊形鑲嵌 是一種平面 鑲嵌 ，由正六邊形 重覆組合 排列 而成，且填滿整個平面 ，而且沒有任何空隙或重疊 ，由於皆由正多邊形 組成，因此稱為正鑲嵌圖 。正六邊形鑲嵌是三维欧几里得空间中三个正密铺之一。另外两个分别是正三角形镶嵌 和正方形镶嵌 。
正六邊形鑲嵌 類別 正鑲嵌 對偶多面體 正三角形鑲嵌 識別 鮑爾斯縮寫 hexat 數學表示法 考克斯特符號 施萊夫利符號 {6,3}0,1 {3,6} 威佐夫符號 3 | 6 2 康威表示法 H 性質 二面角 180 度 (平角 )組成與佈局 頂點圖 6.6.6 (or 63 ) 頂點佈局 63 對稱性 對稱群 p6m, [6,3], (*632) 旋轉對稱群 p6, [6,3]+ , (632) 圖像
康威 將之稱為hextille。
由於正六邊形鑲嵌 是由正六邊形 組成，又因正六邊形內角 為120 ° ，因此每個頂點 周圍都有3個正六邊形 ，且剛好占滿360 °，才能填滿平面 。
在施萊夫利符號 中，正六邊形鑲嵌 可用{6,3}或t{3,6}表示。
圆堆砌 编辑 正六边形镶嵌可以被用来进行圆堆砌 直径 的圆。在这个堆砌里，每个圆都与3个相邻圆接触（接触数 正三角形镶嵌 式圆堆砌，这时接触数达到最大值6。
半正涂色 编辑 正六边形镶嵌共有3种不同的半正涂色 Wythoff
k阶半正 一阶半正 二阶半正 三阶半正 图像 颜色数 1 2 3 2 4 2 7 (h,k) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1) 施莱夫利符号 {6,3} t{3,6} t0,1,2 {3[3] } Wythoff符号 3 | 6 2 2 6 | 3 3 3 3 | 对称性 *632 *333[3] ] *632 632+ 考克斯特符号 康威多面体符号 H tH teH t6daH t6dateH t6dsH
其中三色正六边形镶嵌是一个由三阶全序多胞形
相关半正镶嵌 编辑 正六边形镶嵌可以通过截角操作得到一系列与之相关的半正镶嵌，其与正六边形镶嵌拥有相似的对称性：
正三角形镶嵌家族的半正镶嵌 对称性: [6,3], (*632) [6,3]+ , (632) [1+ ,6,3], (*333) [6,3+ ], (3*3) {6,3} t0,1 {6,3} t1 {6,3} t1,2 {6,3} t2 {6,3} t0,2 {6,3} t0,1,2 {6,3} s{6,3} h{6,3} h1,2 {6,3} 半正对偶 V6.6.6 V3.12.12 V3.6.3.6 V6.6.6 V3.3.3.3.3.3 V3.4.12.4 V.4.6.12 V3.3.3.3.6 V3.3.3.3.3.3
正六边形镶嵌在拓扑上与一系列一直延伸到双曲镶嵌的顶点图 为n 3 的（广义）多面体相关：
（三阶）正六边形镶嵌在拓扑上与一系列面为正六边形 的密铺相关联，这些镶嵌都可称之为“正六边形镶嵌”，所以我们以“n 阶”来区分，其施莱夫利符号 为{6,n}，考克斯特符号
这个镶嵌还是一系列有考克斯特对称群 [n,3]对称性的（半）截角菱形多面体或镶嵌的一员。立方体 可以被看作是“菱形六面体”，这里菱形就是正方形。它们的截角形在原顶点处有正的多边形，而原来的菱形面则被截成了非正六边形。这一系列多面体或镶嵌有两种顶点图：(n.6.6)和(6,6,6)。
延长菱形镶嵌 ，菱形镶嵌的每一个顶点都被延长成了新的棱。这类似于三维空间中的菱形十二面体 堆砌和菱形六角化十二面体 堆砌之间的关系。
基于正六边形镶嵌和正三角形镶嵌的Wythoff构建 编辑 就像半正多面体 一样，这里也有8个基于正六边形镶嵌（和正三角形镶嵌 ）的半正镶嵌 。在以下的图片中，原有面对应的面被涂成了红色，原有顶点所对应的面被涂成了黄色，原有棱对应的面被涂成了蓝色。这8个半正镶嵌中，只有7个是拓扑上相异的。（截顶正三角形镶嵌与正六边形镶嵌在拓扑上相同）
正六边形镶嵌/正三角形镶嵌 对称性 : [6,3], (*632) [6,3]+ [1+ ,6,3] [6,3+ ] {6,3} t{6,3} r{6,3} [3] } t{3,6} [3] } {3,6} [3] } rr{6,3}2 {6,3} tr{6,3} sr{6,3} h{6,3} [3] } h2 {6,3} [3] } s{3,6} [3] } 半正对偶 V63 V3.122 V(3.6)2 V63 V36 V3.4.12.4 V.4.6.12 V34 .6 V36 V(3.6)2 V36
三角形 拓展对称性 拓展 拓展 堆砌符号 a1 [3[3] ] ×1 (None) i2 <[3[3] ]> ×2 1 2 r6 [3[3[3] ]] ×6 3 (1)
拓扑相同的镶嵌 编辑 正六边形镶嵌是有着{6,3}拓扑的一种特殊的正的镶嵌，而实际上，这里有12种类型的非正但是面全同 顶点全同
正六边形镶嵌也可被变形为一种手征性 的四填充色三向同性的编织图案。其中部分正六边形被扭曲成了平行四边形 。这一图案有着旋转632 (p6) 对称性
四色正六边形镶嵌 正六边形 六边形编织 p6m (*632) p6 (632)
應用 编辑 參考文獻 编辑 ^ Weisstein, Eric W. Honeycomb Conjecture. MathWorld . [27 Dec 2010] . （原始内容于2020-03-19）. ^ Hales, Thomas C. The Honeycomb Conjecture. Discrete and Computational Geometry. 8 Jun 1999, 25 : 1–22 (2001). arXiv:math/9906042 Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes , (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Table II: Regular honeycombsGrünbaum, Branko ; and Shephard, G. C. Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. 1987. ISBN 0-7167-1193-1 Regular and uniform tilings , p. 58-65)埃里克·韦斯坦因 . Hexagonal Grid. MathWorld . Klitzing, Richard. 2D Euclidean tilings o3o6x - hexat - O3. bendwavy.org. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979: 35. ISBN 0-486-23729-X John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5
正六邊形鑲嵌, 在幾何學中, 是一種平面鑲嵌, 由正六邊形重覆組合排列而成, 且填滿整個平面, 而且沒有任何空隙或重疊, 由於皆由正多邊形組成, 因此稱為正鑲嵌圖, 是三维欧几里得空间中三个正密铺之一, 另外两个分别是正三角形镶嵌和正方形镶嵌, 類別正鑲嵌對偶多面體正三角形鑲嵌識別鮑爾斯縮寫, verse, dimensions的wikia, bowers, acronym, hexat數學表示法考克斯特符號, 英语, coxeter, dynkin, diagram, 施萊夫利符號, 威佐夫符號, 英语, wyt. 在幾何學中 正六邊形鑲嵌是一種平面鑲嵌 由正六邊形重覆組合排列而成 且填滿整個平面 而且沒有任何空隙或重疊 由於皆由正多邊形組成 因此稱為正鑲嵌圖 正六邊形鑲嵌是三维欧几里得空间中三个正密铺之一 另外两个分别是正三角形镶嵌和正方形镶嵌 正六邊形鑲嵌類別正鑲嵌對偶多面體正三角形鑲嵌識別鮑爾斯縮寫 verse and dimensions的wikia Bowers acronym hexat數學表示法考克斯特符號 英语 Coxeter Dynkin diagram 施萊夫利符號 6 3 t0 1 3 6 威佐夫符號 英语 Wythoff symbol 3 6 22 6 33 3 3 康威表示法H性質二面角180度 平角 組成與佈局頂點圖6 6 6 or 63 頂點佈局 英语 Vertex configuration 63對稱性對稱群p6m 6 3 632 旋轉對稱群 英語 Rotation groups p6 6 3 632 圖像6 6 6 or 63 頂點圖 正三角形鑲嵌 對偶多面體 查论编康威將之稱為hextille 由於正六邊形鑲嵌是由正六邊形組成 又因正六邊形內角為120 因此每個頂點周圍都有3個正六邊形 且剛好占滿360 才能填滿平面 在施萊夫利符號中 正六邊形鑲嵌可用 6 3 或t 3 6 表示 目录 1 圆堆砌 2 半正涂色 3 相关半正镶嵌 4 基于正六边形镶嵌和正三角形镶嵌的Wythoff构建 5 拓扑相同的镶嵌 6 應用 7 參考文獻圆堆砌 编辑正六边形镶嵌可以被用来进行圆堆砌 英语 Circle packing 以其每个顶点为圆心放置等直径的圆 在这个堆砌里 每个圆都与3个相邻圆接触 接触数 英语 Kissing number problem 每个正六边形中间的部分实际上还可以再放入一个圆 这样我们就会得到二维最密圆堆砌 正三角形镶嵌式圆堆砌 这时接触数达到最大值6 nbsp 半正涂色 编辑正六边形镶嵌共有3种不同的半正涂色 英语 Uniform coloring 都可以由Wythoff 英语 Wythoff constructions 镜面对称构造出来 h k 表示一种涂色的面周期性重复 以正六边形距离h k计数 h在先 k在后 k阶半正 一阶半正 二阶半正 三阶半正图像 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 颜色数 1 2 3 2 4 2 7 h k 1 0 1 1 2 0 2 1 施莱夫利符号 6 3 t 3 6 t0 1 2 3 3 Wythoff符号 英语 Wythoff symbol 3 6 2 2 6 3 3 3 3 对称性 632 p6m 6 3 333 p3 3 3 632 p6m 6 3 632 p6 6 3 考克斯特符号 英语 Coxeter Dynkin diagram nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 康威多面体符号 H tH teH t6daH t6dateH t6dsH其中三色正六边形镶嵌是一个由三阶全序多胞形 英语 permutohedron 产生的镶嵌 相关半正镶嵌 编辑正六边形镶嵌可以通过截角操作得到一系列与之相关的半正镶嵌 其与正六边形镶嵌拥有相似的对称性 正三角形镶嵌家族的半正镶嵌 对称性 6 3 632 6 3 632 1 6 3 333 6 3 3 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 6 3 t0 1 6 3 t1 6 3 t1 2 6 3 t2 6 3 t0 2 6 3 t0 1 2 6 3 s 6 3 h 6 3 h1 2 6 3 半正对偶 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp V6 6 6 V3 12 12 V3 6 3 6 V6 6 6 V3 3 3 3 3 3 V3 4 12 4 V 4 6 12 V3 3 3 3 6 V3 3 3 3 3 3正六边形镶嵌在拓扑上与一系列一直延伸到双曲镶嵌的顶点图为n3的 广义 多面体相关 多面体 欧式镶嵌 双曲镶嵌 nbsp 2 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 3 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 4 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 5 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 6 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 7 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 8 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 三阶 正六边形镶嵌在拓扑上与一系列面为正六边形的密铺相关联 这些镶嵌都可称之为 正六边形镶嵌 所以我们以 n 阶 来区分 其施莱夫利符号为 6 n 考克斯特符号 英语 Coxeter diagram nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 一直到n 球面 欧氏 双曲镶嵌 nbsp 6 2 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 6 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 6 4 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 6 5 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 6 6 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 6 7 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 6 8 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 6 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 这个镶嵌还是一系列有考克斯特对称群 n 3 对称性的 半 截角菱形多面体或镶嵌的一员 立方体可以被看作是 菱形六面体 这里菱形就是正方形 它们的截角形在原顶点处有正的多边形 而原来的菱形面则被截成了非正六边形 这一系列多面体或镶嵌有两种顶点图 n 6 6 和 6 6 6 多面体 欧氏镶嵌 双曲镶嵌 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 3 nbsp 立方体 nbsp 菱形十二面体 nbsp 菱形三十面体 nbsp 菱形镶嵌 nbsp nbsp nbsp 倒角四面體 nbsp 倒角立方體 nbsp 倒角十二面體 nbsp 正六邊形鑲嵌正六边形镶嵌亦可被看作延长菱形镶嵌 菱形镶嵌的每一个顶点都被延长成了新的棱 这类似于三维空间中的菱形十二面体堆砌和菱形六角化十二面体堆砌之间的关系 nbsp 菱形镶嵌 nbsp 正六边形镶嵌 nbsp 利用这一关系的栅栏基于正六边形镶嵌和正三角形镶嵌的Wythoff构建 编辑就像半正多面体一样 这里也有8个基于正六边形镶嵌 和正三角形镶嵌 的半正镶嵌 在以下的图片中 原有面对应的面被涂成了红色 原有顶点所对应的面被涂成了黄色 原有棱对应的面被涂成了蓝色 这8个半正镶嵌中 只有7个是拓扑上相异的 截顶正三角形镶嵌与正六边形镶嵌在拓扑上相同 正六边形镶嵌 正三角形镶嵌 对称性 6 3 632 6 3 632 1 6 3 333 6 3 3 3 6 3 t 6 3 r 6 3 r 3 3 t 3 6 t 3 3 3 6 3 3 rr 6 3 s2 6 3 tr 6 3 sr 6 3 h 6 3 3 3 h2 6 3 r 3 3 s 3 6 s 3 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp or nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp or nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 半正对偶V63 V3 122 V 3 6 2 V63 V36 V3 4 12 4 V 4 6 12 V34 6 V36 V 3 6 2 V36 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 三角形对称性 拓展对称性 英语 Coxeter notation 拓展符号 拓展阶 堆砌符号a1 3 3 nbsp nbsp nbsp 1 None i2 lt 3 3 gt 6 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 2 nbsp nbsp nbsp 1 nbsp nbsp nbsp 2r6 3 3 3 6 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 6 nbsp nbsp nbsp 3 nbsp nbsp nbsp 1 Wythoff 英语 Wythoff symbol 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3考克斯特 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 图像顶点图 nbsp 3 3 3 nbsp 3 6 3 6 nbsp 3 3 3 nbsp 3 6 3 6 nbsp 3 3 3 nbsp 3 6 3 6 nbsp 6 6 6 nbsp 3 3 3 3 3 3拓扑相同的镶嵌 编辑正六边形镶嵌是有着 6 3 拓扑的一种特殊的正的镶嵌 而实际上 这里有12种类型的非正但是面全同 英语 face transitivity 且顶点全同 英语 vertex transitivity 的六边形镶嵌 前7种可以被认为是没有边对边正好对上的四边形镶嵌 也可被认为是有两对共线边的六边形镶嵌 这里的 对称性 假定所有的面都是相同的 nbsp 平行四边形p2对称 nbsp 平行四边形pmg对称 nbsp 平行四边形pgg对称 nbsp 矩形pgg对称 nbsp 梯形pmg对称 nbsp 矩形pgg对称 nbsp 矩形cmm对称 nbsp 六边形p2对称 nbsp 六边形pgg对称 nbsp 六边形pmg对称 nbsp 展长六边形cmm对称 nbsp 正六边形p6m对称正六边形镶嵌也可被变形为一种手征性的四填充色三向同性的编织图案 其中部分正六边形被扭曲成了平行四边形 这一图案有着旋转632 p6 对称性 英语 List of planar symmetry groups Wallpaper groups 四色正六边形镶嵌 正六边形 六边形编织p6m 632 p6 632 nbsp nbsp 應用 编辑正六邊形鑲嵌是二維空間最密的排列方式 在蜂窩猜想中 正六邊形鑲嵌是使用最少的總周長將該表面劃分成面積相等的區域的最佳方法 1 2 最佳的三維結構由開爾文勳爵 Lord Kelvin 提出 他認為 開爾文結構 體心立方晶格 是最佳的結構 最佳結構可能出現於肥皂泡 然而 一个更加不对称的韋爾 費倫結構要比它好一些 维基共享资源中相关的多媒体资源 正六邊形鑲嵌參考文獻 编辑 Weisstein Eric W Honeycomb Conjecture MathWorld 27 Dec 2010 原始内容存档于2020 03 19 Hales Thomas C The Honeycomb Conjecture Discrete and Computational Geometry 8 Jun 1999 25 1 22 2001 arXiv math 9906042 nbsp Coxeter H S M Regular Polytopes 3rd edition 1973 Dover edition ISBN 0 486 61480 8 p 296 Table II Regular honeycombs Grunbaum Branko and Shephard G C Tilings and Patterns New York W H Freeman 1987 ISBN 0 7167 1193 1 Chapter 2 1 Regular and uniform tilings p 58 65 埃里克 韦斯坦因 Hexagonal Grid MathWorld 埃里克 韦斯坦因 Regular tessellation MathWorld 埃里克 韦斯坦因 Uniform tessellation MathWorld Klitzing Richard 2D Euclidean tilings o3o6x hexat O3 bendwavy org Williams Robert The Geometrical Foundation of Natural Structure A Source Book of Design Dover Publications Inc 1979 35 ISBN 0 486 23729 X John H Conway Heidi Burgiel Chaim Goodman Strass The Symmetries of Things 2008 ISBN 978 1 56881 220 5 1 取自 https zh wikipedia org w index php title 正六邊形鑲嵌 amp oldid 75151728, 维基百科，wiki ，书籍，书籍，图书馆，
文章 ，阅读，下载，免费，免费下载，mp3，视频，mp4，3gp， jpg，jpeg，gif，png，图片，音乐，歌曲，电影，书籍，游戏，游戏。