組合

此条目的主題是一个数学概念。

• 關於音樂表演的編制單位，請見「樂團」。
• 關於一種可解釋為「組合」的組織型態，請見「辛迪加」。

在組合數學，一個集的元素的組合是一個子集。S的一個k-組合是S的一個有k個元素的子集。若兩個子集的元素完全相同並順序相異，它仍視為同一個組合，這是組合和排列不同之處。

表示方式

从 n 个不同元素中取出 k 个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 k 个元素的组合数，记做：${\displaystyle C(n,k)}$ 、${\displaystyle {}_{n}C_{k}}$ 、${\displaystyle {}^{n}C_{k}}$ 、${\displaystyle C_{k}^{n}}$ （英语）、${\displaystyle C_{n}^{k}}$ （法语、罗马尼亚语、俄语、汉语^[1]、波兰语）。

理論與公式

从${\displaystyle n}$ 个元素中取出${\displaystyle k}$ 个元素，${\displaystyle k}$ 个元素的组合數量为：

${\displaystyle C_{k}^{n}={n \choose k}={\frac {P_{k}^{n}}{k!}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$ 

以六合彩為例。在六合彩中从49顆球中取出6顆球的组合數量为：

${\displaystyle C_{6}^{49}={49 \choose 6}={\frac {49!}{6!43!}}=13983816}$ 

在集合中取出k項元素

 

在有五個元素中的集合中，取出3個元素，形成的子集合

主条目：二項式係數

重複組合理論與公式

从${\displaystyle n}$ 个元素中取出${\displaystyle k}$ 个元素，${\displaystyle k}$ 個元素可以重複出現，這组合數量为：

${\displaystyle H_{k}^{n}=C_{n-1}^{n+k-1}}$ 

以取色球為例，每種顏色的球有無限多顆，從8種色球中取出5顆球，好比是在5顆球間畫上分隔號“|”代表球色的分布情形。例如第1種色球取1顆，第2種色球取2顆，第3種色球取2顆可以表示成：

球|球球|球球| | | | |

可以理解为8类球每类取多少个，一起构成5个球。我们把5个球排成一排，用7个分隔线去隔开。如上图，表示含义：第1根线前表示第一类球取的个数，第1根和第2根线表示第二类球取的个数...第6第7根线前表示第七类球的个数，第7根后表示第八类球的个数。亦即問題是從(5+8-1)個位置中挑選出(8-1)個位置擺分隔號，這組合數量為：

${\displaystyle H_{5}^{8}=C_{8-1}^{5+8-1}=C_{7}^{12}={\frac {12!}{7!5!}}=792}$ 

因為組合數量公式特性，重複組合轉換成組合有另一種公式為：

${\displaystyle H_{k}^{n}=C_{n-1}^{n+k-1}={\frac {(n+k-1)!}{k!(n-1)!}}=C_{k}^{n+k-1}}$ 

另外${\displaystyle H_{k}^{n}}$ 也可以記為${\displaystyle F_{k}^{n}}$ ^[2]或${\displaystyle \left(\!\!{\binom {n}{k}}\!\!\right)}$ 

${\displaystyle F_{k}^{n}=H_{k}^{n}}$ 

${\displaystyle \left(\!\!{\binom {n}{k}}\!\!\right)=H_{k}^{n}}$ 

取值範圍的擴充^[3]

在${\displaystyle C_{k}^{n}}$ 的定義中，由於它有意義的範圍必須是滿足條件${\displaystyle n\geq k\geq 1}$ ，所以其他範圍必須另外定義，我們有:

${\displaystyle C_{k}^{n}={\begin{cases}1,&k=0\\0,&(0\leq n<k)\lor (k<0\leq n)\\(-1)^{k}C_{k}^{|n|+k-1},&(n<0)\land (k>0)\\(-1)^{n+k}C_{|n|-1}^{|k|-1},&(n<0)\land (k<0)\end{cases}}}$ ^[3]

演算範例

組合 C

迴圈法

/***********************/ /** This is C++ code. **/ /** Comb Example **/ /***********************/ #include <iostream> using namespace std; bool next_comb(int* comb, const int n, const int k) {  int i = k - 1;  const int e = n - k;  do  comb[i]++;  while (comb[i] > e + i && i--);  if (comb[0] > e)  return 0;  while (++i < k)  comb[i] = comb[i - 1] + 1;  return 1; } int main() {  int n, k;  cout << "comb(n,k):" << endl;  cin >> n >> k;  if (n < k || k <= 0)  return 0;  int* comb = new int[k];  for (int i = 0; i < k; i++)  comb[i] = i;  do  for (int i = 0; i < k; cout << ((++i < k) ? ',' : '\n'))  cout << comb[i] + 1;  while (next_comb(comb, n, k));  delete[] comb;  return 0; } 

遞迴法

#include <iostream> #include <cstdio> using namespace std; namespace comb { int n, k; int arr[12]; int count; bool arrsame(int site) {  if (site > 0 && arr[site - 1] >= arr[site])  return 0;  return 1; } inline void arrprint() {  for (int i = 0; i < k; i++)  printf("%3d", arr[i]);  puts("");  count++; } void calculate(int now) {  if (now == k) {  arrprint();  return;  }  for (int i = 0; i < n; i++) {  arr[now] = i;  if (arrsame(now)) {  calculate(now + 1);  }  } } inline void run(int nn, int kk) {  n = nn, k = kk;  count = 0;  if (k < 12 && n >= k && k > 0)  calculate(0);  if (count)  printf("\n%d combination.\n\n", count);  else  puts("Input error!"); } } int main() {  int n, k;  while (scanf("%d%d", &n, &k) != EOF) {  comb::run(n, k);  fflush(stdout);  }  return 0; } 

重複組合 H

迴圈法

/***********************/ /** This is C++ code. **/ /** ReComb Example **/ /***********************/ #include <iostream> using namespace std; bool next_re_comb(int* recomb, const int n, const int k) {  int i = k - 1;  do  recomb[i]++;  while (recomb[i] > n - 1 && i--);  if (recomb[0] > n - 1)  return 0;  while (++i < k)  recomb[i] = recomb[i - 1];  return 1; } int main() {  int n, k;  cout << "recomb(n,k):" << endl;  cin >> n >> k;  if (n <= 0 || k <= 0)  return 0;  int* recomb = new int[k];  for (int i = 0; i < k; i++)  recomb[i] = 0;  do  for (int i = 0; i < k; cout << ((++i < k) ? ',' : '\n'))  cout << recomb[i] + 1;  while (next_re_comb(recomb, n, k));  delete[] recomb;  return 0; } 

遞迴法

#include <iostream> #include <cstdio> using namespace std; namespace re_comb { int n, k; int arr[12]; int count; bool arrsame(int site) {  if (site > 0 && arr[site - 1] > arr[site])  return 0;  return 1; } inline void arrprint() {  for (int i = 0; i < k; i++)  printf("%3d", arr[i]);  puts("");  count++; } void calculate(int now) {  if (now == k) {  arrprint();  return;  }  for (int i = 0; i < n; i++) {  arr[now] = i;  if (arrsame(now)) {  calculate(now + 1);  }  } } inline void run(int nn, int kk) {  n = nn, k = kk;  count = 0;  if (k < 12 && k > 0)  calculate(0);  if (count)  printf("\n%d combination.\n\n", count);  else  puts("Input error!"); } } int main() {  int n, k;  while (scanf("%d%d", &n, &k) != EOF) {  re_comb::run(n, k);  fflush(stdout);  }  return 0; } 

推广

组合数可以推广到多分类的情形 ，我们将n个物品分为m份，每份的个数分别为:${\displaystyle k_{1},k_{2}\cdots k_{m}}$ 个，那么，总的分类数为

${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\cdots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m}!}}}$ 

参见

•  数学主题

• 概率论
• 组合数学

參考文獻

1. 人教版高中数学选修2-3. 人民教育出版社. : 21 [2021-08-25]. （原始内容于2021-08-25）. 
2. 組合數學 ─算法與分析─. 九章出版社. : 33.  OCLC:44527392
3. 組合數學 ─算法與分析─. 九章出版社. : 33.  OCLC:44527392

外部链接

• 组合数公式的直观理解及其推广 （页面存档备份，存于互联网档案馆）