平行四边形

两组对边分别平行的四边形称为平行四边形。平行四边形一般用图形名称加依次四个顶点名称来表示，如图平行四边形记为平行四边形ABCD。另外，平行四邊形的兩對角線互相平分「但不一定互相垂直，也不一定相等」。（对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形）

平行四边形
平行四边形
類型	四邊形
對偶	平行四边形(本身)
邊	4
頂點	4
對稱群	D1 (*)
面積	見下文
查 论 编

長方形、正方形、菱形都是平行四邊形。

性质

1. 兩组对边平行且分別相等；
2. 两組对角大小相等；
3. 相邻的两个角互补；
4. 对角线互相平分，且將平行四邊形面積分為四等分；
5. 對於平面上任意一點，都存在一條能將任意平行四邊形平分為兩個面積相等圖形、並穿過該點的線；
6. 四邊邊長的平方和等於兩條對角線的平方和。

分类

矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形。

判定

1. 兩組對邊分別相等的平面四邊形是平行四邊形；
2. 兩組對角分別相等的平面四邊形是平行四邊形；
3. 一角分別與兩鄰角互補的四邊形是平行四邊形；
4. 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
5. 兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；
6. 對角線相交且互相平分的四邊形是平行四邊形。

面积

 

图中蓝色区域为平行四边形的面积

公式一：

${\displaystyle S=BH}$ （參照右圖）

公式二：

${\displaystyle S=BC\sin \theta \ }$ （參照右圖，其中 ${\displaystyle B,C}$  为两条邻边長度，${\displaystyle C={\sqrt {A^{2}+H^{2}}}}$ ）

公式三：

${\displaystyle S={\frac {\tan \alpha }{2}}(B^{2}-C^{2})}$ （其中 ${\displaystyle \alpha }$  為对角线夹角，${\displaystyle B,C}$  为两条邻边長度）^[1]

公式四：

${\displaystyle S={\frac {\sin \alpha }{2}}XY}$ （其中 ${\displaystyle \alpha }$  為对角线夹角，${\displaystyle X,Y}$  为两条對角線長度）

参见

• 平行四邊形恆等式
• 平行多邊形
• 伐里農平行四邊形

參考文獻

1. Mitchell, Douglas W., "The area of a quadrilateral", Mathematical Gazette, July 2009.