射影线性群

射影线性群是代数学里群论中的一类群的称呼。射影线性群也叫射影一般线性群（一般记作 PGL），是某个系数域为${\displaystyle \mathbb {K} }$的向量空间V上的一般线性群在射影空间 P(V) 上诱导的群作用。具体来说，射影线性群是商群：

群论
群
基本概念 子群 · 正规子群 · 商群 · 群同態 · 像 · (半)直积 · 直和 单群 · 有限群 · 无限群 · 拓扑群 · 群概形 · 循環群 · 冪零群 · 可解群 · 圈積 离散群 有限單群分類 循環群 Zn 交错群 An 李型群 散在群 马蒂厄群 M11..12,M22..24 康威群 Co1..3 扬科群 J1..4 费歇尔群 F22..24 子怪兽群 B 怪兽群 M 其他有限群 对称群, Sn 二面体群, Dn 无限群 整数, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 连续群 李群 一般线性群 GL(n) 特殊线性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 酉群 U(n) 特殊酉群 SU(n) 辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 勞侖茲群 庞加莱群 无限维群 共形群 微分同胚群 环路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代数群 椭圆曲线 线性代数群（英语：Linear algebraic group） 阿贝尔簇（英语：Abelian variety）
查 论 编

${\displaystyle \mathbb {P} {\mathcal {GL}}(V)={\mathcal {GL}}(V){\bigg /}\mathbb {K} (V)}$

其中的${\displaystyle {\mathcal {GL}}(V)}$是V上的一般线性群，而${\displaystyle \mathbb {K} (V)}$是由V上的所有数乘变换构成的${\displaystyle {\mathcal {GL}}(V)}$的子群^[1]。之所以在${\displaystyle {\mathcal {GL}}(V)}$中约去${\displaystyle \mathbb {K} (V)}$，是因为它们在射影空间上的作用是平凡的（所以构成群作用的核）。${\displaystyle \mathbb {K} (V)}$ 有时也被记作 ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(V)}$，因为它是一般线性群的中心。

与射影线性群类似的还有射影特殊线性群，一般记作PSL。它的定义与射影线性群相似，只不过不是在一般线性群而是在特殊线性群上。

${\displaystyle \mathbb {P} {\mathcal {SL}}(V)={\mathcal {SL}}(V){\bigg /}{\mathcal {SZ}}(V)}$

其中的${\displaystyle {\mathcal {SL}}(V)}$是V上的特殊线性群，而${\displaystyle {\mathcal {SZ}}(V)}$是${\displaystyle \mathbb {K} (V)}$在${\displaystyle {\mathcal {SL}}(V)}$中的子群（即行列式等于1的数乘变换构成的子群）^[1]。显然 ${\displaystyle {\mathcal {SZ}}(V)}$ 是 ${\displaystyle {\mathcal {SL}}(V)}$ 的中心。若${\displaystyle V=\mathbb {K} ^{n}}$（n 维空间），则 ${\displaystyle {\mathcal {SZ}}(V)}$ 同构于由n 次单位根构成的群。

射影线性群与射影特殊线性群都是群论和几何中最常研究的群，即所谓的“经典群”。射影线性群中的元素称为射影线性变换。${\displaystyle V=\mathbb {K} ^{n}}$（n 维空间），那么这个射影线性群也记作${\displaystyle \mathbb {P} {\mathcal {GL}}(n,\mathbb {K} )}$ 或 ${\displaystyle \mathbb {P} {\mathcal {GL}}_{n}(\mathbb {K} )}$。

当且仅当 ${\displaystyle \mathbb {K} }$ 中每一个元素的n 次根都在 ${\displaystyle \mathbb {K} }$ 中，例如在 ${\displaystyle \mathbb {K} }$ 代数封闭（比如是复数域 ${\displaystyle \mathbb {C} }$）的时候，射影线性群与射影特殊线性群等同。${\displaystyle \mathbb {P} {\mathcal {GL}}(2,\mathbb {C} )=\mathbb {P} {\mathcal {SL}}(2,\mathbb {C} )}$。但是系数域为实数的时候，就有${\displaystyle \mathbb {P} {\mathcal {GL}}(2,\mathbb {R} )>\mathbb {P} {\mathcal {SL}}(2,\mathbb {R} )}$^[2]。几何的解释是：实射影直线是有向的，而实射影特殊线性群只包括保持定向的变换。

射影线性群与射影特殊线性群也可以在环上定义，一个重要的例子是模群${\displaystyle \mathbb {P} {\mathcal {GL}}(2,\mathbb {Z} )}$。

参考来源

1. Onorato Timothy O'Meara, Conference Board of the Mathematical Sciences. Lectures on linear groups. American Mathematical Soc. 1974. ISBN 9780821816721. 
2. Gareth A. Jones and David Silverman. (1987) Complex functions: an algebraic and geometric viewpoint. Cambridge UP. Discussion of PSL and PGL on page 20 in google books （页面存档备份，存于互联网档案馆）