龐加萊群

  关于拓撲空間的龐加萊群，请见「基本群」。

在物理學與數學上，龐加萊群（英語：Poincaré group）是狹義相對論中閔可夫斯基時空的等距同構群，由赫爾曼·閔可夫斯基引進^[1][2]，龐加萊群是以法國數學家亨利·龐加萊命名^[3]。它是一種有10個生成元的非阿貝爾群，在物理學上有着基礎級別的重要性。

群论
群
基本概念 子群 · 正规子群 · 商群 · 群同态 · 像 · (半)直积 · 直和 单群 · 有限群 · 无限群 · 拓扑群 · 群概形 · 循环群 · 冪零群 · 可解群 · 圈積 离散群 有限单群分类 循环群 Zn 交错群 An 散在群 马蒂厄群 M11..12,M22..24 康威群 Co1..3 扬科群 J1..4 费歇尔群 F22..24 子怪兽群 B 怪兽群 M 其他有限群 对称群, Sn 二面体群, Dn 无限群 整数, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 连续群 李群 一般线性群 GL(n) 特殊线性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 酉群 U(n) 特殊酉群 SU(n) 辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 勞侖茲群 庞加莱群 无限维群 共形群 微分同胚群 环路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代数群 椭圆曲线 线性代数群（英语：Linear algebraic group） 阿贝尔簇（英语：Abelian variety）
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基本解釋

等距同構是一種事物在事件間的時空軌跡上的移動方式，而這樣做是不會影響原時的。例如，所有事件被延後了兩小時，而這兩小時中包括了兩項事件，以及你從事件一到事件二的路徑，那麼你的計時器所量度出的，兩事件間的時間間距會是一樣的。又例如，所有事物被移到西邊五公里外的地方，那麼你所量度出的時間間距也不會改變。而這種移動的結果是不會影響棍子長度的。

如果我們無視重力效應的話，那麼一共有十種移動方式：在時間上的平移，在三維空間中任一維上的平移，在三條空間軸上任一條的（定角）旋轉，或三維任一方向上的直線性洛倫茲變換，因此是1 + 3 + 3 + 3 = 10。

如果將這種等距同構結合起來（即執行一個之後再執行另一個），那麼所得的結果也會是等距同構（然而，這一般來說只限於上述十種基本移動之間的線性組合）。這些等距同構因此形成了一個群。也就是說，它們當中存在單位元（即不移動，停留在原先的地方）及逆元（將事物移動回原先的位置），同時亦遵守結合律。這種特定群的名字叫做“龐加萊群”。

在古典物理學中，對應龐加萊群的群叫伽利略群，也是有十個生成元的，伽利略群作用於絕對時空。而在伽利略群中取代直線性洛倫茲變換的是，聯繫兩個共動慣性參考系的錯切變換。

專門解釋

龐加萊群是閔可夫斯基時空的等距同構群。它是一種十維的非緊李群。平移的阿貝爾群是一個正規子群，而洛倫茲群也是一個子群，原點的穩定子群。龐加萊群本身是仿射群（英语：Affine group）的最小子群，而仿射群就包括了所有的變換與洛倫茲變換。準確一點來說，龐加萊群是平移群與洛倫茲群的半直積

${\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \mathrm {SO} (1,3)\,.}$ 

另一種解釋方式是，把龐加萊群視為洛倫茲群的群擴張，而擴張的部份則是它的向量群表示；因此龐加萊群有一個不正式的稱呼，叫“非均勻洛倫茲群”（inhomogeneous Lorentz group）。另外，當德西特半徑趨向無限大時，德西特群（de Sitter group）${\displaystyle {\text{SO}}(4,1)\sim {\text{Sp}}(2,2)}$ 的群收縮（英语：Group contraction）就是龐加萊群。

它的正能量么正不可約表示是由質量（非負數）與自旋（整數或半整數）所標記的，並與量子力學的粒子有關。

與愛爾蘭根綱領一致，閔可夫斯基空間的幾何由龐加萊群所規定的：閔可夫斯基空間可被視為龐加萊群的齊性空間。

龐加萊代數是龐加萊群的李代數。更具體的來說，正式的(${\displaystyle {\text{det}}(\Lambda )=1}$ )，也就是洛倫茲子群（它的單位連通區（英语：Identity component））${\displaystyle {\text{SO}}^{+}(1,3)}$ 的正確時間（${\displaystyle \Lambda _{0}^{0}\geq 1}$ ）部份，是與單位元有關係的，因此可用矩陣指數${\displaystyle \exp(ia_{\mu }P^{\mu })}$ 與${\displaystyle \exp(i\omega _{\mu \nu }M^{\mu \nu }/2)}$ 表示。在分量形式中，龐加萊群可用以下的交換關係表示^[4][5]：

${\displaystyle ~[P_{\mu },P_{\nu }]=0\,}$  ${\displaystyle ~{\frac {1}{i}}~[M_{\mu \nu },P_{\rho }]=\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu }\,}$  ${\displaystyle ~{\frac {1}{i}}~[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho }\,,}$

其中P為平移生成元，M為洛倫茲變換生成元，η為閔可夫斯基度規。

以下的是與（均勻）洛倫茲群的交換關係，洛倫茲群由旋轉（${\displaystyle J_{i}=-\varepsilon _{imn}M^{mn}/2}$ ）及直線性洛倫茲變換（${\displaystyle K_{i}=M_{i0}}$ ）所組成。在這樣的標記下，可以用非協變形式（但較實用）來表示整個龐加萊代數

${\displaystyle [J_{m},P_{n}]=i\epsilon _{mnk}P_{k}~,}$ 

${\displaystyle [J_{i},P_{0}]=0~,}$ 

${\displaystyle [K_{i},P_{k}]=i\eta _{ik}P_{0}~,}$ 

${\displaystyle [K_{i},P_{0}]=-iP_{i}~,}$ 

${\displaystyle [J_{m},J_{n}]=i\epsilon _{mnk}J_{k}~,}$ 

${\displaystyle [J_{m},K_{n}]=i\epsilon _{mnk}K_{k}~,}$ 

${\displaystyle [K_{m},K_{n}]=-i\epsilon _{mnk}J_{k}~,}$ 

其中最下面的是兩個直線性洛倫茲變換的交換關係，很多時候會被稱作“維格納旋轉”。注意根據上述關係，${\displaystyle [J_{m}+iK_{m},J_{n}-iK_{n}]=0}$ ，這是一項重要的簡化，能使洛倫茲子代數約化至su(2)⊕su(2)，並且使應付洛倫茲群的表示論的方法有效得多。

這種代數的卡西米爾不變量為${\displaystyle P_{\mu }P^{\mu }}$ 與${\displaystyle W_{\mu }W^{\mu }}$ ，其中${\displaystyle W_{\mu }}$ 為包立-魯班斯基假向量（英语：Pauli-Lubanski pseudovector）；它們的作用是標記群表示。

龐加萊群是任何相對論性量子場的完全對稱群。因此，所有基本粒子都能成為這個群表示的一部份。這些表示一般是由兩種物件所指明的：每一粒子的四維動量平方（即質量平方），和內稟量子數${\displaystyle J^{PC}}$ ，其中J為自旋量子數，P為宇稱，C為電荷共軛量子數。實際上許多量子場會破壞宇稱與電荷共軛。在那些情況下就會棄用被破壞的P和C。由於每一套量子場論均需擁有CPT不變性，因此要從P和C構建時間反轉量子數T是件很容易的事。

作為拓撲空間，這個群共有四個連通區：單位區、時間反轉區、空間顛倒區、以及同時出現時間反轉與空間顛倒的區。

龐加萊對稱

龐加萊對稱是狹義相對論的完全對稱，當中包括：

• 在時間與空間中的平移（即位移），P。它們形成了描述時空中的平移的阿貝爾李群。
• 空間中的旋轉（它們形成了描述三維旋轉的非阿貝爾李群，其生成元為J）
• 直線性洛倫茲變換，即聯繫兩個均勻移動物體的變換，其生成元為K。

上述最後兩種對稱，J及K，組合起來就成了洛倫茲群（見洛倫茲不變性）。

它們都是一種叫龐加萊群的李群的生成元，而龐加萊群是平移群與洛倫茲群的半直積。在這個群下不變的物件，可被稱為擁有龐加萊不變性或相對論性不變性。

參考資料

1. Minkowski, Hermann, Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern, Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, 1907/8: 53–111  请检查|date=中的日期值 (帮助)
   • Wikisource translation: The Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies.
2. Minkowski, Hermann, Raum und Zeit, Physikalische Zeitschrift, 1908/9, 10: 75–88  请检查|date=中的日期值 (帮助)
3. *Poincaré, Henri, Sur la dynamique de l’électron, Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 1905/6, 21: 129–176  请检查|date=中的日期值 (帮助)
   • Wikisource translation: On the Dynamics of the Electron
4. N.N. Bogolubov. General Principles of Quantum Field Theory 2nd. Springer. 1989: 272 [2014-08-05]. ISBN 0-7923-0540-X. （原始内容于2013-10-21）. 
5. T. Ohlsson. Relativistic Quantum Physics: From Advanced Quantum Mechanics to Introductory Quantum Field Theory. Cambridge University Press. 2011: 10 [2014-08-05]. ISBN 1-13950-4320. （原始内容于2013-10-21）. 

參考文獻

• Wu-Ki Tung. Group Theory in Physics. World Scientific Publishing. 1985. ISBN 9971-966-57-3. 
• Weinberg, Steven. The Quantum Theory of Fields 1. Cambridge: Cambridge University press. 1995. ISBN 978-0-521-55001-7. 
• L.H. Ryder. Quantum Field Theory 2nd. Cambridge University Press. 1996: 62 [2014-08-05]. ISBN 0-52147-8146. （原始内容于2013-10-21）.