伽利略变换

伽利略變換是经典力学中用以在兩個只以匀速相對移動的參考系之間變換的方法，屬於一種被動態變換。在相對論效應下，伽利略变换在物體以接近光速運動时不成立^[1]，在電磁系統中也不会成立。^[2]

伽利略·伽利莱在解釋匀速運動時制定了這一套概念。^[3]他用其解釋球體滾下斜面這一力學問題，並測量出地球表面引力加速度的數值。

在狭义相对论中，伽利略变换被庞加莱变换所取代；相反，庞加莱变换的经典极限c →∞中的群收缩产生了伽利略变换。

平移

 

伽利略變換示意圖

伽利略變換建基於人們加減物體速度的直覺。在其核心，伽利略變換假設時間和空間是絕對的。

這項假設在洛伦兹变换中被捨棄，因此就算在相對論性速度下，洛伦兹变换也是成立的；而伽利略變換則是洛伦兹变换的低速近似值。

以下為伽利略變換的數學表達式，其中${\displaystyle (x,y,z,t)}$ 和${\displaystyle (x',y',z',t')}$ 分別為同一個事件在兩個坐標系${\displaystyle S}$ 和${\displaystyle S'}$ 中的坐標。兩個坐標系以相對匀速運行（速度為${\displaystyle v}$ ），運行方向為${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle x'}$ ，原點在時間${\displaystyle t=t'=0}$ 時重合。 ^[4][5][6][7]

${\displaystyle x'=x-vt\,}$ 

${\displaystyle y'=y\,}$ 

${\displaystyle z'=z\,}$ 

${\displaystyle t'=t\,}$ 

最後一條方程式意味著時間是不受觀測者的相對運動影響的。

利用線性代數的術語來說，這種變換是個錯切，是矩陣對向量進行變換的一個過程。當參考系只沿著x軸移動時，伽利略變換只作用於兩個分量：

${\displaystyle (x',t')=(x,t){\begin{pmatrix}1&0\\-v&1\end{pmatrix}}.}$ 

雖然在伽利略變換中沒有必要用到矩陣表達法，但是用了矩陣就可以和狹義相對論中的變換法進行比較。

三種伽利略變換

 

沿著一個加速中觀測者的世界線所看到的時空。

縱軸為時間，橫軸為距離，虛線為觀測者在時空中的軌跡。圖的下半部是已經發生了的事件，上半部則是未來的事件。圖中小點為時空中的事件。

世界線的斜率為觀測者的相對速率。注意觀測者在加速時所看到的時空會進行錯切。

伽利略變換可以唯一寫成由時空的旋轉、平移和匀速運動複合而成的函數。^[8]設x為三維空間中的一點，t為一維時間中的一點。時空當中的任何一點可以表達為有序對(x,t)。速度為v的匀速運動表達為${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +t\mathbf {v} ,t)}$ ，其中v在R³內。平移表達為${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +\mathbf {a} ,t+b)}$ ，其中a在R³內，b在R內。旋轉表達為${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (G\mathbf {x} ,t)}$ ，其中G : R³ → R³為某正交變換。^[8]作為一個李群，伽利略變換的維度為10。^[8]

伽利略群的中心擴張

這裡我們只考慮伽利略群的李代數。結果能夠輕易延伸到李群。L的李代數由H、P_i、C_i和L_ij張成（反對稱張量），並能夠受交換子的作用，其中

${\displaystyle [H,P_{i}]=0\,\!}$ 

${\displaystyle [P_{i},P_{j}]=0\,\!}$ 

${\displaystyle [L_{ij},H]=0\,\!}$ 

${\displaystyle [C_{i},C_{j}]=0\,\!}$ 

${\displaystyle [L_{ij},L_{kl}]=i[\delta _{ik}L_{jl}-\delta _{il}L_{jk}-\delta _{jk}L_{il}+\delta _{jl}L_{ik}]\,\!}$ 

${\displaystyle [L_{ij},P_{k}]=i[\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]\,\!}$ 

${\displaystyle [L_{ij},C_{k}]=i[\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]\,\!}$ 

${\displaystyle [C_{i},H]=iP_{i}\,\!}$ 

${\displaystyle [C_{i},P_{j}]=0\,\!.}$ 

H為時間平移的生成元（哈密顿算符），P_i為平移的生成元（動量算符），C_i為伽利略變換的生成元，而L_ij為旋轉的生成元（角動量算符）。

現在我們可以對H'、P'_i、C'_i、L'_ij（反對稱張量）、M所張成的李群進行中心擴張，使得M與一切都可交換（位於中心，「中心擴張」因此得名）：

${\displaystyle [H',P'_{i}]=0\,\!}$ 

${\displaystyle [P'_{i},P'_{j}]=0\,\!}$ 

${\displaystyle [L'_{ij},H']=0\,\!}$ 

${\displaystyle [C'_{i},C'_{j}]=0\,\!}$ 

${\displaystyle [L'_{ij},L'_{kl}]=i[\delta _{ik}L'_{jl}-\delta _{il}L'_{jk}-\delta _{jk}L'_{il}+\delta _{jl}L'_{ik}]\,\!}$ 

${\displaystyle [L'_{ij},P'_{k}]=i[\delta _{ik}P'_{j}-\delta _{jk}P'_{i}]\,\!}$ 

${\displaystyle [L'_{ij},C'_{k}]=i[\delta _{ik}C'_{j}-\delta _{jk}C'_{i}]\,\!}$ 

${\displaystyle [C'_{i},H']=iP'_{i}\,\!}$ 

${\displaystyle [C'_{i},P'_{j}]=iM\delta _{ij}\,\!}$ 

參見

• 洛伦兹群
• 龐加萊群

備註

1. 伽利略變換. [2021-06-26]. （原始内容于2021-06-28）. 
2. Arthur Beiser; Kok Wai Cheah. Concepts of modern physics. McGraw-Hill. 2015: 第6頁. ISBN 9789814595261. 
3. Galileo 1638 Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, intorno á due nuoue scienze 191 - 196, published by Lowys Elzevir (Louis Elsevier), Leiden, or Two New Sciences, English translation by Henry Crew and Alfonso de Salvio 1914, reprinted on pages 515-520 of On the Shoulders of Giants: The Great Works of Physics and Astronomy. Stephen Hawking, ed. 2002 ISBN 978-0-7624-1348-5
4. Mould, Richard A., Basic relativity, Springer-Verla, 2002, ISBN 0-387-95210-1 , Chapter 2 §2.6, p. 42 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
5. Lerner, Lawrence S., Physics for Scientists and Engineers, Volume 2, Jones and Bertlett Publishers, Inc, 1996, ISBN 0-7637-0460-1 , Chapter 38 §38.2, p. 1046,1047 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
6. Serway, Raymond A.; Jewett, John W., Principles of Physics: A Calculus-based Text, Fourth Edition, Brooks/Cole - Thomson Learning, 2006, ISBN 0-534-49143-X , Chapter 9 §9.1, p. 261 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
7. Hoffmann, Banesh, Relativity and Its Roots, Scientific American Books, 1983, ISBN 0-486-40676-8 , Chapter 5, p. 83 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
8. Arnold, V. I. Mathematical Methods of Classical Mechanics 2. Springer-Verlag. 1989: 6 [2013-01-30]. ISBN 0-387-96890-3. （原始内容于2013-03-12）.