^A. P. French, An Introduction to Quantum Phusics, W. W. Norton, Inc.: pp. 443–444, 1978, ISBN 978-0393091069(英语) 引文格式1维护:冗余文本 (link)
^Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall: pp. 15–18, 97–116, 2004, ISBN 0-13-111892-7 引文格式1维护:冗余文本 (link)
一月 01, 1970
動量算符, 在量子力學裏, 英語, momentum, operator, 是一種算符, 可以用來計算一個或多個粒子的動量, 對於一個不帶電荷, 沒有自旋的粒子, 作用於波函數, displaystyle, 的可以寫為, displaystyle, frac, hbar, frac, partial, partial, 其中, displaystyle, displaystyle, hbar, 是約化普朗克常數, displaystyle, 是虛數單位, displaystyle, 是位置, 給予一個粒子的波函數,. 在量子力學裏 動量算符 英語 momentum operator 是一種算符 可以用來計算一個或多個粒子的動量 對於一個不帶電荷 沒有自旋的粒子 作用於波函數 ps x displaystyle psi x 的動量算符可以寫為 p ℏ i x displaystyle hat p frac hbar i frac partial partial x 其中 p displaystyle hat p 是動量算符 ℏ displaystyle hbar 是約化普朗克常數 i displaystyle i 是虛數單位 x displaystyle x 是位置 給予一個粒子的波函數 ps x displaystyle psi x 這粒子的動量期望值為 p ps x p ps x d x ps x ℏ i x ps x d x displaystyle langle p rangle int infty infty psi x hat p psi x dx int infty infty psi x frac hbar i frac partial partial x psi x dx 其中 p displaystyle p 是動量 目录 1 導引 1 2 導引 2 3 厄米算符 4 本徵值與本徵函數 5 正則對易關係 6 參考文獻導引 1 编辑對於一個非相對論性的自由粒子 位勢 V x 0 displaystyle V x 0 nbsp 不含時薛丁格方程式表達為 ℏ 2 2 m 2 x 2 ps x E ps x displaystyle frac hbar 2 2m frac partial 2 partial x 2 psi x E psi x nbsp 其中 ℏ displaystyle hbar nbsp 是約化普朗克常數 m displaystyle m nbsp 是粒子的質量 ps x displaystyle psi x nbsp 是粒子的波函數 x displaystyle x nbsp 是粒子的位置 E displaystyle E nbsp 是粒子的能量 這薛丁格方程式的解答 ps k x displaystyle psi k x nbsp 是一個平面波 ps k x e i k x displaystyle psi k x e ikx nbsp 其中 k displaystyle k nbsp 是波數 k 2 2 m E ℏ 2 displaystyle k 2 2mE hbar 2 nbsp 根據德布羅意假說 自由粒子所表現的物質波 其波數與自由粒子動量的關係是 p ℏ k displaystyle p hbar k nbsp 自由粒子具有明確的動量 p displaystyle p nbsp 給予一個系綜許多相同的自由粒子系統 每一個自由粒子系統的量子態都一樣 標記粒子的動量算符為 p displaystyle hat p nbsp 假若 對於這系綜內 每一個自由粒子系統的動量所作的測量 都得到同樣的測量值 p displaystyle p nbsp 那麼 不確定性 s p 0 displaystyle sigma p 0 nbsp 這自由粒子的量子態是確定態 是 p displaystyle hat p nbsp 的本徵態 在位置空間 position space 裏 本徵函數為 ps k displaystyle psi k nbsp 本徵值為 p displaystyle p nbsp p ps k x p ps k x displaystyle hat p psi k x p psi k x nbsp 換句話說 在位置空間裏 動量算符的本徵函數必須是自由粒子的波函數 ps k x displaystyle psi k x nbsp 1 為了要達到此目標 勢必要令 p ps k x ℏ i x ps k x ℏ i x e i k x ℏ k e i k x p ps k x displaystyle hat p psi k x frac hbar i frac partial partial x psi k x frac hbar i frac partial partial x e ikx hbar ke ikx p psi k x nbsp 所以 可以認定動量算符的形式為 p ℏ i x displaystyle hat p frac hbar i frac partial partial x nbsp 導引 2 编辑在古典力學裏 動量是質量乘以速度 p m v m d x d t displaystyle p mv m frac dx dt nbsp 在量子力學裏 由於粒子的位置不是明確的 而是機率性的 所以 猜想這句話是以期望值的方式來實現 2 p m d d t x displaystyle langle p rangle m frac d dt langle x rangle nbsp 那麼 用積分方程式來表達 p m d d t PS x t x PS x t d x displaystyle langle p rangle m frac d dt int infty infty Psi x t x Psi x t dx nbsp 其中 PS x t displaystyle Psi x t nbsp 是波函數 取微分於積分號下 p m PS t x PS PS x t PS PS x PS t d x displaystyle langle p rangle m int infty infty left frac partial Psi partial t x Psi Psi frac partial x partial t Psi Psi x frac partial Psi partial t right dx nbsp 由於 x displaystyle x nbsp 只是一個位置的統計參數 不跟時間有關 p m PS t x PS PS x PS t d x displaystyle langle p rangle m int infty infty left frac partial Psi partial t x Psi Psi x frac partial Psi partial t right dx nbsp 1 含時薛丁格方程式為 i ℏ PS t ℏ 2 2 m 2 PS x 2 V PS displaystyle i hbar frac partial Psi partial t frac hbar 2 2m frac partial 2 Psi partial x 2 V Psi nbsp 其中 V displaystyle V nbsp 是位勢 其共軛複數為 i ℏ PS t ℏ 2 2 m 2 PS x 2 V PS displaystyle i hbar frac partial Psi partial t frac hbar 2 2m frac partial 2 Psi partial x 2 V Psi nbsp 將上述兩個方程式代入方程式 1 可以得到 p m i ℏ ℏ 2 2 m 2 PS x 2 x PS V PS x PS ℏ 2 2 m PS x 2 PS x 2 PS x V PS d x ℏ i 2 2 PS x 2 x PS PS x 2 PS x 2 d x displaystyle begin aligned langle p rangle amp frac m i hbar int infty infty left frac hbar 2 2m frac partial 2 Psi partial x 2 x Psi V Psi x Psi frac hbar 2 2m Psi x frac partial 2 Psi partial x 2 Psi xV Psi right dx amp frac hbar i2 int infty infty left frac partial 2 Psi partial x 2 x Psi Psi x frac partial 2 Psi partial x 2 right dx end aligned nbsp 使用分部積分法 并利用当x趋于无穷大时波函数PS displaystyle Psi nbsp 趋于零的特性 有 2 PS x 2 x PS d x PS x PS d x PS x x PS x d x displaystyle int infty infty frac partial 2 Psi partial x 2 x Psi dx int infty infty frac partial Psi partial x Psi dx int infty infty frac partial Psi partial x x frac partial Psi partial x dx nbsp 2 PS x 2 PS x 2 d x PS PS x d x PS x x PS x d x displaystyle int infty infty Psi x frac partial 2 Psi partial x 2 dx int infty infty Psi frac partial Psi partial x dx int infty infty frac partial Psi partial x x frac partial Psi partial x dx nbsp 3 方程式 2 與 3 的減差 使用分部積分法 并利用当x趋于无穷大时波函数PS displaystyle Psi nbsp 趋于零的特性 2 3 PS x PS PS PS x d x 2 PS PS x d x displaystyle 2 3 int infty infty left frac partial Psi partial x Psi Psi frac partial Psi partial x right dx 2 int infty infty Psi frac partial Psi partial x dx nbsp 所以 p PS ℏ i x PS d x displaystyle langle p rangle int infty infty Psi frac hbar i frac partial partial x Psi dx nbsp 對於任意波函數 PS displaystyle Psi nbsp 這方程式都成立 因此 可以認定動量算符 p displaystyle hat p nbsp 為 ℏ i x displaystyle frac hbar i frac partial partial x nbsp 厄米算符 编辑由於每一種經過測量而得到的物理量都是實值的 所以 可觀察量 O displaystyle O nbsp 的期望值是實值的 O O displaystyle langle O rangle langle O rangle nbsp 對於任意量子態 ps displaystyle psi rangle nbsp 這關係都成立 ps O ps ps O ps displaystyle langle psi hat O psi rangle langle psi hat O psi rangle nbsp 根據伴隨算符的定義 假設 O displaystyle hat O dagger nbsp 是 O displaystyle hat O nbsp 的伴隨算符 則 ps O ps ps O ps displaystyle langle psi hat O psi rangle langle psi hat O dagger psi rangle nbsp 因此 O O displaystyle hat O hat O dagger nbsp 這正是厄米算符的定義 所以 表示可觀察量的算符 O displaystyle hat O nbsp 都是厄米算符 動量是一個可觀察量 動量算符應該也是厄米算符 選擇位置空間 量子態 ps displaystyle psi rangle nbsp 的波函數為 ps x displaystyle psi x nbsp ps p ps ps ℏ i ps x d x ℏ i ps ps ℏ i ps x ps d x ps ℏ i x ps d x ps p ps ps p ps displaystyle begin aligned langle psi hat p psi rangle amp int infty infty psi frac hbar i frac partial psi partial x dx left frac hbar i psi psi right infty infty int infty infty left frac hbar i frac partial psi partial x right psi dx amp int infty infty psi left frac hbar i frac partial partial x psi right dx langle psi hat p psi rangle langle psi hat p dagger psi rangle end aligned nbsp 對於任意量子態 ps displaystyle psi rangle nbsp p p displaystyle hat p hat p dagger nbsp 所以 動量算符確實是一個厄米算符 本徵值與本徵函數 编辑假設 動量算符 p displaystyle hat p nbsp 的本徵值為 p displaystyle p nbsp 的本徵函數是 f p x displaystyle f p x nbsp p f p x ℏ i f p x x p f p x displaystyle hat p f p x frac hbar i frac partial f p x partial x pf p x nbsp 這方程式的一般解為 f p x f 0 e i p x ℏ displaystyle f p x f 0 e ipx hbar nbsp 其中 f 0 displaystyle f 0 nbsp 是常數 假設 f p x displaystyle f p x nbsp 的定義域是一個有限空間 從 x L displaystyle x L nbsp 到 x L displaystyle x L nbsp 那麼 可以將 f p x displaystyle f p x nbsp 歸一化 L L f p x f p x d x f 0 2 L L d x f 0 2 2 L 1 displaystyle int L L f p x f p x dx f 0 2 int L L dx f 0 2 2L 1 nbsp f 0 displaystyle f 0 nbsp 的值是 1 2 L displaystyle 1 sqrt 2L nbsp 動量算符的本徵函數歸一化為 f p x 1 2 L e i p x ℏ displaystyle f p x frac 1 sqrt 2L e ipx hbar nbsp 假設 f p x displaystyle f p x nbsp 的定義域是無窮大空間 則 f p x displaystyle f p x nbsp 不是一個平方可積函數 f p x f p x d x f 0 2 d x displaystyle int infty infty f p x f p x dx f 0 2 int infty infty dx infty nbsp 動量算符的本徵函數不存在於希爾伯特空間內 不能直接地積分 f p x 2 displaystyle f p x 2 nbsp 於無窮大空間 來使 f p x displaystyle f p x nbsp 歸一化 換另一種方法 設定 f 0 1 2 p ℏ displaystyle f 0 1 sqrt 2 pi hbar nbsp 那麼 f p 1 x f p 2 x d x 1 2 p ℏ e i p 1 p 2 x ℏ d x d p 1 p 2 displaystyle int infty infty f p1 x f p2 x dx frac 1 2 pi hbar int infty infty e i p1 p2 x hbar dx delta p1 p2 nbsp 其中 d p 1 p 2 displaystyle delta p1 p2 nbsp 是狄拉克d函數 這性質不是普通的正交歸一性 稱這性質為狄拉克正交歸一性 因為這性質 動量算符的本徵函數是完備的 也就是說 任意波函數 ps x displaystyle psi x nbsp 都可以表達為本徵函數的線性組合 ps x c p f p x d p 1 2 p ℏ c p e i p x ℏ d p displaystyle psi x int infty infty c p f p x dp frac 1 sqrt 2 pi hbar int infty infty c p e ipx hbar dp nbsp 其中 係數 c p displaystyle c p nbsp 是 c p f p x ps x d x 1 2 p ℏ ps x e i p x ℏ d x displaystyle c p int infty infty f p x psi x dx frac 1 sqrt 2 pi hbar int infty infty psi x e ipx hbar dx nbsp 正則對易關係 编辑位置算符與動量算符的交換算符 當作用於一個波函數時 有一個簡單的結果 x p ps x p p x ps x ℏ i ps x ℏ i x ps x i ℏ ps displaystyle hat x hat p psi hat x hat p hat p hat x psi x frac hbar i frac partial psi partial x frac hbar i frac partial x psi partial x i hbar psi nbsp 所以 x p i ℏ displaystyle hat x hat p i hbar nbsp 這關係稱為位置算符與動量算符的正則對易關係 由於兩者的正則對易關係不等於 0 位置與動量彼此是不相容可觀察量 x displaystyle hat x nbsp 與 p displaystyle hat p nbsp 絕對不會有共同的基底量子態 一般而言 x displaystyle hat x nbsp 的本徵態與 p displaystyle hat p nbsp 的本徵態不同 根據不確定性原理 D A D B A B 2 i displaystyle Delta A Delta B geq left frac langle A B rangle 2i right nbsp 由於 x displaystyle x nbsp 與 p displaystyle p nbsp 是兩個不相容可觀察量 x p 2 i ℏ 2 displaystyle left frac langle hat x hat p rangle 2i right hbar 2 nbsp 所以 x displaystyle x nbsp 的不確定性與 p displaystyle p nbsp 的不確定性的乘積 D x D p displaystyle Delta x Delta p nbsp 必定大於或等於 ℏ 2 displaystyle hbar 2 nbsp 參考文獻 编辑 A P French An Introduction to Quantum Phusics W W Norton Inc pp 443 444 1978 ISBN 978 0393091069 英语 引文格式1维护 冗余文本 link Griffiths David J Introduction to Quantum Mechanics 2nd ed Prentice Hall pp 15 18 97 116 2004 ISBN 0 13 111892 7 引文格式1维护 冗余文本 link 取自 https zh wikipedia org w 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