歸一條件, 在量子力學裏, 表達粒子的量子態的波函數必須滿足, 歸一化, 英語, normalized, 也就是說, 在空間內, 找到粒子的機率必須等於, displaystyle, 這性質稱為歸一性, 用數學公式表達, displaystyle, infty, infty, 其中, displaystyle, 是粒子的位置, displaystyle, 是波函數, 目录, 歸一化導引, 實例, 薛丁格方程的形式不變, 歸一化恆定性, 參考文獻, 參閱, 外部連結歸一化導引, 编辑一般而言, 波函數, displa. 在量子力學裏 表達粒子的量子態的波函數必須滿足歸一條件 歸一化 英語 be normalized 也就是說 在空間內 找到粒子的機率必須等於 1 displaystyle 1 這性質稱為歸一性 用數學公式表達 ps x ps x d x 1 displaystyle int infty infty psi x psi x dx 1 其中 x displaystyle x 是粒子的位置 ps x displaystyle psi x 是波函數 目录 1 歸一化導引 2 實例 3 薛丁格方程的形式不變 4 歸一化恆定性 5 參考文獻 6 參閱 7 外部連結歸一化導引 编辑一般而言 波函數 ps displaystyle psi 是一個複函數 可是 ps ps ps 2 displaystyle psi psi mid psi mid 2 是一個實函數 大於或等於 0 displaystyle 0 稱為 機率密度函數 所以 在區域 x x D x displaystyle x x Delta x 內 找到粒子的機率 D P displaystyle Delta P 是 D P ps 2 D x displaystyle Delta P mid psi mid 2 Delta x 1 既然粒子存在於空間 機率是 1 displaystyle 1 所以 積分於整個一維空間 P ps 2 d x 1 displaystyle P int infty infty mid psi mid 2 dx 1 2 假若 從解析薛丁格方程而得到的波函數 ps displaystyle psi 其機率 P displaystyle P 是有限的 但不等於 1 displaystyle 1 則可以將波函數 ps displaystyle psi 乘以一個常數 使機率 P displaystyle P 等於 1 displaystyle 1 或者 假若波函數內 已經有一個任意常數 可以設定這任意常數的值 使機率 P displaystyle P 等於 1 displaystyle 1 實例 编辑在一維空間內 束縛於區域 0 ℓ displaystyle 0 ell 內的一個粒子 其波函數是 ps x t A e i k x w t 0 x ℓ 0 e l s e w h e r e displaystyle psi x t begin cases Ae i kx omega t amp 0 leq x leq ell 0 amp elsewhere end cases 其中 k displaystyle k 是波數 w displaystyle omega 是角頻率 A displaystyle A 是任意常數 計算能夠使波函數歸一化的常數值 A displaystyle A 將波函數代入 ps 2 A 2 e i k x w t e i k x w t A 2 displaystyle mid psi mid 2 A 2 e i kx omega t e i kx omega t A 2 積分於整個粒子存在的區域 0 ℓ A 2 d x 1 displaystyle int 0 ell A 2 dx 1 稍加運算 A 2 ℓ 1 A 1 ℓ displaystyle A 2 ell 1 qquad Rightarrow qquad A left frac 1 sqrt ell right 歸一化的波函數是 ps x t 1 ℓ e i k x w t 0 x ℓ 0 elsewhere displaystyle psi x t begin cases left frac 1 sqrt ell right e i kx omega t amp 0 leq x leq ell 0 amp text elsewhere end cases 薛丁格方程的形式不變 编辑薛丁格方程為 ℏ 2 2 m d 2 ps d x 2 V x ps x E ps x displaystyle frac hbar 2 2m frac d 2 psi dx 2 V x psi x E psi x 其中 ℏ displaystyle hbar 是約化普朗克常數 V x displaystyle V x 是位勢 E displaystyle E 是能量 將波函數 ps displaystyle psi 歸一化為 ps A ps displaystyle psi A psi 則薛丁格方程成為 ℏ 2 2 m A d 2 ps d x 2 V x A ps x E A ps x displaystyle frac hbar 2 2m A frac d 2 psi dx 2 V x A psi x EA psi x A ℏ 2 2 m d 2 ps d x 2 V x ps x A E ps x displaystyle Rightarrow A left frac hbar 2 2m frac d 2 psi dx 2 V x psi x right A left E psi x right ℏ 2 2 m d 2 ps d x 2 V x ps x E ps x displaystyle Rightarrow frac hbar 2 2m frac d 2 psi dx 2 V x psi x E psi x 薛丁格方程的形式不變 對於歸一化 薛丁格方程是個不變式 因為薛丁格方程是個線性微分方程式 一個表達粒子量子態的波函數 必須滿足粒子的薛丁格方程 既然 ps displaystyle psi 和 ps displaystyle psi 都能夠滿足同樣的薛丁格方程 它們必定都表達同樣的量子態 假若不使用歸一化的波函數 則只能知道機率的相對大小 否則 使用歸一化的波函數 可以知道絕對的機率 這對於量子問題的解析 會提供許多便利 歸一化恆定性 编辑給予一個歸一化的波函數 隨著時間的變化 波函數也會改變 假若 隨著時間改變的波函數不再滿足歸一條件 則勢必要重新將波函數歸一化 這樣 歸一常數 A displaystyle A 變得含時間 很幸運地 滿足薛丁格方程的波函數的歸一性是恆定的 設定波函數 ps x t displaystyle psi x t 滿足薛丁格方程與歸一條件 ℏ 2 2 m 2 ps x 2 V x ps i ℏ ps t displaystyle frac hbar 2 2m frac partial 2 psi partial x 2 V x psi i hbar frac partial psi partial t P ps ps d x 1 displaystyle P int infty infty psi psi dx 1 假若 歸一性是恆定的 則機率 P displaystyle P 不含時間 為了顯示這一點 先計算 d P d t displaystyle frac dP dt d P d t d d t ps x t ps x t d x t ps x t ps x t d x displaystyle frac dP dt frac d dt int infty infty psi x t psi x t dx int infty infty frac partial partial t psi x t psi x t dx 展開被積函數 t ps ps ps t ps ps ps t displaystyle frac partial partial t psi psi frac partial psi partial t psi psi frac partial psi partial t 編排薛丁格方程 可以得到波函數 ps displaystyle psi 對於時間的偏導數 ps t i ℏ 2 m 2 ps x 2 i ℏ V x ps displaystyle frac partial psi partial t frac i hbar 2m frac partial 2 psi partial x 2 frac i hbar V x psi 共軛波函數 ps displaystyle psi 對於時間的偏導數為 ps t i ℏ 2 m 2 ps x 2 i ℏ V x ps displaystyle frac partial psi partial t frac i hbar 2m frac partial 2 psi partial x 2 frac i hbar V x psi 將 ps displaystyle psi 與 ps displaystyle psi 代入被積函數 t ps ps i ℏ 2 m 2 ps x 2 i ℏ V x ps ps ps i ℏ 2 m 2 ps x 2 i ℏ V x ps i ℏ 2 m 2 ps x 2 ps ps i ℏ 2 m 2 ps x 2 i ℏ 2 m x ps ps x ps x ps displaystyle begin aligned frac partial partial t psi psi amp left frac i hbar 2m frac partial 2 psi partial x 2 frac i hbar V x psi right psi psi left frac i hbar 2m frac partial 2 psi partial x 2 frac i hbar V x psi right amp left frac i hbar 2m frac partial 2 psi partial x 2 right psi psi left frac i hbar 2m frac partial 2 psi partial x 2 right amp left frac i hbar 2m right frac partial partial x left psi frac partial psi partial x frac partial psi partial x psi right end aligned 代入 d P d t displaystyle frac dP dt 的方程式 d P d t i ℏ 2 m ps ps x ps x ps ps ps x ps x ps displaystyle frac dP dt left frac i hbar 2m right left left left psi frac partial psi partial x frac partial psi partial x psi right right infty left left psi frac partial psi partial x frac partial psi partial x psi right right infty right 可是 在 x displaystyle x pm infty ps displaystyle psi 與 ps displaystyle psi 都等於 0 所以 d P d t 0 displaystyle frac dP dt 0 機率 P 1 displaystyle P 1 不含時間 波函數的歸一化是恆定的 參考文獻 编辑Griffiths David J Introduction to Quantum Mechanics 2nd ed Prentice Hall 2004 pp 12 14 ISBN 0 13 111892 7 引文格式1维护 冗余文本 link 參閱 编辑正則變換 么正性外部連結 编辑Middlebury 大學講義 歸一化 取自 https zh wikipedia org w index php title 歸一條件 amp oldid 67916188, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,