卡西米爾不變量

在數學裏，卡西米爾不變量（又稱卡西米爾元或卡希米爾算子）是李代數的泛包絡代數中心的一個特別的元素。典型的例子是角動量算符的平方 J ², 一個三維旋轉群的卡西米爾不變量。

卡西米爾元以亨德里克·卡西米爾命名。1931年，他確立了這個概念，以用在他對刚体动力学的描述當中。^[1]

定義

最常用的卡西米爾元是二次的。其最易定義，因此先在下文給出。然而，也有更高次的卡西米爾不變量，其對應高次的對稱齊次多項式，這些不變量在最後定義。

二次卡西米爾元

設 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  為一個 ${\displaystyle n}$  維半單李代數。設 B 為 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  上非奇異的二次型，並要求 B 在 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  的伴隨作用下不變，即對 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  中的任意 X,Y,Z, 都有 ${\displaystyle B(ad_{X}Y,Z)+B(Y,ad_{X}Z)=0.}$  （例如，可取 B 為基灵型。） 設

${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{n}}$ 

為 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  的基，以及

${\displaystyle \{X^{i}\}_{i=1}^{n}}$ 

為 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  關於 B 的對偶基，則 B 的卡西米爾不變量 ${\displaystyle \Omega }$  是泛包絡代數 ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$  的元素

${\displaystyle \Omega =\sum _{i=1}^{n}X_{i}X^{i}.}$ 

儘管上述定義取決於選取的基，可以證明所得的 Ω 與所選的基無關。另一方面，不同的二次型 B 可以給出不同的 Ω. B 的不變性，說明卡西米爾元與李代數 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  的任何元素都可交換，因此是泛包絡代數 ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$  的中心的元素。^[2]

線性表示和光滑作用的卡西米爾元

給定 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  在向量空間 V 上的李代數表示（英语：Lie algebra representation） ρ （允許無窮維），將 ρ(Ω) 稱為 ρ 的卡西米爾不變量，其為 V 上的線性算子，且由下式給出：

${\displaystyle \rho (\Omega )=\sum _{i=1}^{n}\rho (X_{i})\rho (X^{i}).}$ 

此處假定了 B 為基靈型，否則必須指明 B.

該構造的特定形式，在微分幾何和大域分析（英语：Global Analysis）中有重要作用。假設連通李群 G 的李代數 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  作用在微分流形 M 上，則在 M 的連續函數空間上，有 G 相應的表示 ρ. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  的元素均由 M 上的一階微分算子表示，於是，上式給出 ρ 的卡西米爾元，其為 M 上的二階微分算子，且在 G 的作用下不變。

更進一步，若 M 有度量张量，使得 G 的元素作為 M 的保距變換，可遞地作用在 M 上，且一點的穩定子 G_x 不可約地作用在切空間 T_xM 上，則 ρ 的卡西米爾元是該度量的拉普拉斯算子的倍數。

也可定義更一般的卡西米爾不變量，其於弗雷德霍姆理論（英语：Fredholm theory）研究伪微分算子時用到。

一般情況

每個卡西米爾算子，都對應伴隨表示的對稱代數（英语：Symmetric algebra） ${\displaystyle {\mbox{ad}}_{\mathfrak {g}}.}$  的對稱齊次多項式。換言之，任何一個卡西米爾算子都具有下列形式：

${\displaystyle C_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}X_{i}\otimes X_{j}\otimes \cdots \otimes X_{k},}$ 

其中 m 是對稱張量 ${\displaystyle \kappa ^{ij\cdots k}}$  的階，且 ${\displaystyle X_{i}}$  組成 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  的基。域 K上的多项式环 ${\displaystyle K[t_{i},t_{j},\cdots ,t_{k}]}$  內，有 m 元對稱齊次多項式

${\displaystyle c_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}t_{i}t_{j}\cdots t_{k}}$ 

與該卡西米爾算子對應。龐卡萊–伯克霍夫–維特定理（英语：Poincaré–Birkhoff–Witt theorem）給出了泛包絡代數的顯式構造，由此可以證明上述的對應關係。

然而，並非每個對應張量（或對稱齊次多項式）都與一個卡西米爾算子對應。其必須與李括號顯見地可交換，即對每個基向量 ${\displaystyle X_{i}}$ , 都滿足

${\displaystyle [C_{(m)},X_{i}]=0}$ .

考慮结构常数 f_ij^k，其滿足

${\displaystyle [X_{i},X_{j}]=f_{ij}^{\;\;k}X_{k}.}$ 

於是對於滿足上述條件的對稱多項式，可得

${\displaystyle f_{ij}^{\;\;k}\kappa ^{jl\cdots m}+f_{ij}^{\;\;l}\kappa ^{kj\cdots m}+\cdots +f_{ij}^{\;\;m}\kappa ^{kl\cdots j}=0.}$ 

此為伊斯拉埃爾·蓋爾范德所得的結果。^[3] 由該交換關係，可知卡西米爾元與李代數中的任意元素都可交換，從而卡西米爾元是在泛包絡代數的中心裏內。得益於此，李代數表示（英语：Lie algebra representation）能以其卡西米爾元的特徵值來分類。

注意上述對稱多項式的線性和仍然是在中心裏。更甚者，諸卡西米爾元組成中心的一組基。若一個半單李代數的秩為 r, 即其嘉当子代数的維數為 r, 則其恰有 r 個卡西米爾元。

性質

唯一性

一個單李代數中，每個不變二次型皆為基灵型的倍數，所以對應的卡西米爾元唯一（允許相差一個常數的意義下）。對於一般的半單李代數，考慮其不變二次型組成的空間。半單李代數是若干單李代數的直和，因此該二次型空間中，對應每個單分量，恰有一個基向量。故卡西米爾元組成的空間中，也對應每個單分量，恰有一個基向量。

與 G 上拉普拉斯算子的關係

若 ${\displaystyle G}$  為李群，且其李代數為 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ , 則 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  上的不變二次型對應 ${\displaystyle G}$  上的雙不變黎曼度量。並且， ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  的泛包絡代數等同於 ${\displaystyle G}$  上的左不變微分算子空間。在此等同關係下，${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  上雙線性型的卡西米爾元，對應 ${\displaystyle G}$  關於雙不變度量的拉普拉斯－贝尔特拉米算子。

推廣

卡西米爾算子是李代數的泛包絡代數的中心的特殊二次元素。換言之，卡西米爾算子是一個微分算子，其與李代數的生成元皆可交換。泛包絡代數中心裏，每個二次元素均是某個二次型的卡西米爾元。然而，中心內可以有其他（非二次）的元素。

由拉卡定理^[4]，半單李代數的泛包絡代數中心的維數，等於該李代數的秩。在任意的半單李群（即其李代數為半單李代數）上，可以利用卡西米爾元，定義群上的拉普拉斯算子。然而，按照上述關於秩的結論，當秩大於 1 時，無法類比地定義唯一的拉普拉斯算子。

根據定義，泛包絡代數的中心內，任何元素都與整個代數的元素可交換。由舒尔引理，任何既約表示（英语：Irreducible representation）中，卡西米爾算子必為恆等映射的倍數。該比例常數適用於李代數表示的分類（也就適用於李群表示的分類）。物理上，質量和自旋均屬該種常數，並且量子力学中許多量子数亦然。

例：${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

考慮三維欧几里得空间的旋轉群 SO(3). 其李代數 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$  的秩為 1, 因此僅得一個獨立的卡西米爾元。旋轉群的基靈型為克羅內克δ, 故相應的卡西米爾不變量正是李代數的生成元 ${\displaystyle L_{x},\,L_{y},\,L_{z}}$  的平方和。換言之，卡西米爾元由等式

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}}$ 

給出。 考慮 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$  的一個不可約表示。記其中 ${\displaystyle L_{z}}$  的最大特徵值為 ${\displaystyle \ell }$ , 則 ${\displaystyle \ell }$  的可能取值為 ${\displaystyle 0,1/2,1,3/2,\ldots .}$  卡西米爾元的不變性可推出其為恆等算子 I 的倍數。該常數可以具體計算出，即：^[5]

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=\ell (\ell +1)I.}$ 

在量子力学中，常數 ${\displaystyle \ell }$  稱為總角動量量子數。對於旋轉群的有限維矩陣取值表示，${\displaystyle \ell }$  總為整數或半整數（奇數的一半）。倘為整數，則該表示稱為玻色子表示（英語：bosonic representation)，否則稱為费米子表示（英語：fermionic representation)。

給定 ${\displaystyle \ell }$ , 得到的矩陣表示是 ${\displaystyle (2\ell +1)}$  維的。例如 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$  的三維表示對應於 ${\displaystyle \ell \,=\,1}$ , 由下列的生成元給出：

${\displaystyle L_{x}=i{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}};\quad L_{y}=i{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}};\quad L_{z}=i{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},}$ 

其中照物理學常用的約定加入了 ${\displaystyle i}$  因子，使得諸生成元皆為自伴算子。

由此，可以手算二次卡西米爾元，結果為

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=2{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}$ 

當 ${\displaystyle \ell \,=\,1}$ 時，${\displaystyle \ell (\ell +1)\,=\,2}$ , 故此例子與前段的一般結果一致。類似地，二維的表示以泡利矩陣作基，對應物理上自旋為 1/2 的粒子。

特徵值

由於卡西米爾元 ${\displaystyle \Omega }$  在泛包絡代數的中心內，其在一個單模（該代數的直和分解的一個分量）上的作用是乘上一個常數。設 ${\displaystyle \langle ,\rangle }$  為 ${\displaystyle \Omega }$  定義採用的對稱非退化二次型。記 ${\displaystyle L(\lambda )}$  為具有最高權 ${\displaystyle \lambda }$  的元素組成的有限維模（稱為該表示的最高權模）。則卡西米爾元 ${\displaystyle \Omega }$  在 ${\displaystyle L(\lambda )}$  的作用為乘常數

${\displaystyle \langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle =\langle \lambda +\rho ,\lambda +\rho \rangle -\langle \rho ,\rho \rangle ,}$ 

其中 ${\displaystyle \rho }$  為所有正根之和之半。^[6]

若 ${\displaystyle L(\lambda )}$  非平凡（即 ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ), 則上述常數非零。原因是，由於 ${\displaystyle \lambda }$  是優控的（英語：dominant, 即與任意正根的內積皆非負），若 ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ，則 ${\displaystyle \langle \lambda ,\lambda \rangle >0}$ , 且 ${\displaystyle \langle \lambda ,\rho \rangle \geq 0}$ , 故 ${\displaystyle \langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle >0}$ . 此結果適用於魏爾完全可約性定理（英语：Weyl's theorem on complete reducibility）的證明。亦可不使用上述公式，而採用更抽象的嘉當判別法（英语：Cartan's criterion）證明該常數非零。^[7]

參見

• 哈里希·錢德拉同構（英语：Harish-Chandra isomorphism）
• 包立－魯班斯基偽向量（英语：Pauli–Lubanski pseudovector）

參考文獻

1. Oliver, David. The shaggy steed of physics: mathematical beauty in the physical world. Springer. 2004: 81. ISBN 978-0-387-40307-6. 
2. Hall 2015 Proposition 10.5
3. Xavier Bekaert, "Universal enveloping algebras and some applications in physics （页面存档备份，存于互联网档案馆）" (2005) Lecture, Modave Summer School in Mathematical Physics.
4. Racah, Giulio. Group theory and spectroscopy. Springer Berlin Heidelberg. 1965. 
5. Hall 2013 Proposition 17.8
6. Hall 2015 Proposition 10.6
7. Humphreys 1978 Sections 4.3 and 6.2

• Hall, Brian C., Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics 267, Springer, 2013 
• Hall, Brian C., Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics 222 2nd, Springer, 2015, ISBN 978-3319134666 
• Humphreys, James E., Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Graduate Texts in Mathematics 9 Second printing, revised, New York: Springer-Verlag, 1978, ISBN 0-387-90053-5 

延伸閱讀

• Jacobson, Nathan. Lie algebras. Dover Publications. 1979: 243–249. ISBN 0-486-63832-4.