自伴算子

在數學裏，作用於一個有限維的内积空間，一個自伴算子（self-adjoint operator）等於自己的伴隨算子；等價地說，在一组单位酉正交基下，表達自伴算子的矩陣是埃爾米特矩陣。埃爾米特矩陣等於自己的共軛轉置。根據有限維的譜定理，必定存在著一個正交歸一基，可以表達自伴算子為一個實值的對角矩陣。

量子力學

在量子力學裏，自伴算子，又稱為自伴算符，或厄米算符（Hermitian operator），是一種等於自己的厄米共軛的算符。給予算符${\displaystyle {\hat {O}}\,\!}$ 和其伴隨算符${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }\,\!}$ ，假設${\displaystyle {\hat {O}}={\hat {O}}^{\dagger }\,\!}$  ，則稱${\displaystyle {\hat {O}}\,\!}$ 為厄米算符。厄米算符的期望值可以表示量子力学中的物理量。

可觀察量

由於每一種經過測量而得到的物理量都是實值的。所以，可觀察量${\displaystyle O\,\!}$ 的期望值是實值的：

${\displaystyle \langle O\rangle =\langle O\rangle ^{*}\,\!}$ 。

對於任意量子態${\displaystyle |\psi \rangle \,\!}$ ，這關係都成立；

${\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}\,\!}$ 。

根據伴隨算符的定義，假設${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }\,\!}$ 是${\displaystyle {\hat {O}}\,\!}$ 的伴隨算符，則${\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {O}}^{\dagger }|\psi \rangle \,\!}$ 。因此，

${\displaystyle {\hat {O}}={\hat {O}}^{\dagger }\,\!}$ 。

這正是厄米算符的定義。所以，表示可觀察量的算符${\displaystyle {\hat {O}}\,\!}$ ，都是厄米算符。

可觀察量，像位置，動量，角動量，和自旋，都是用作用於希爾伯特空間的自伴算符來代表。哈密頓算符${\displaystyle {\hat {H}}\,\!}$ 是一個很重要的自伴算符，表達為

${\displaystyle {\hat {H}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi \,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \psi \,\!}$ 是粒子的波函數，${\displaystyle \hbar \,\!}$ 是約化普朗克常數，${\displaystyle m\,\!}$ 是質量，${\displaystyle V\,\!}$ 是位勢。

哈密頓算符所代表的哈密頓量是粒子的總能量，一個可觀察量。

動量是一個可觀察量，動量算符應該也是厄米算符：選擇位置空間，量子態${\displaystyle |\psi \rangle \,\!}$ 的波函數為${\displaystyle \psi (x)\,\!}$ ，

${\displaystyle \langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\ dx=\left.{\frac {\hbar }{i}}\psi ^{*}\psi \right|_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }\ {\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\psi \ dx=\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right)^{*}\psi \ dx=\langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {p}}^{\dagger }|\psi \rangle \,\!}$ 。

對於任意量子態${\displaystyle |\psi \rangle \,\!}$ ，${\displaystyle {\hat {p}}={\hat {p}}^{\dagger }\,\!}$ 。所以，動量算符確實是一個厄米算符。

參考文獻

Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 96–106. ISBN 0-13-111892-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)