泛包絡代數

在數學中，我們可以構造任意李代數 ${\displaystyle L}$ 的泛包絡代數 ${\displaystyle U(L)}$。李代數一般並非結合代數，但泛包絡代數則是帶乘法單位元的結合代數。李代數的表示理論可以理解為其泛包絡代數的表示理論。在幾何上，泛包絡代數可以解釋為李群上的左不變微分算子。

泛性質

以下固定域 ${\displaystyle K}$ 。首先注意到：對任意帶乘法單位元的 ${\displaystyle K}$ -結合代數 ${\displaystyle U}$ ，定義括積 ${\displaystyle [a,b]:=ab-ba}$ ，可視 ${\displaystyle U}$  為李代數。

泛包絡代數係指帶單位元的結合代數 ${\displaystyle U(L)}$  及一個指定的李代數同態 ${\displaystyle i:L\to L(U)}$ 。這對資料由下述泛性質刻劃：

對任意帶乘法單位元的 ${\displaystyle K}$ -結合代數 ${\displaystyle A}$ ， 若存在李代數同態

${\displaystyle h:L\to A}$ 。

則存在唯一的代數同態

${\displaystyle g:U(L)\to A}$ 

使之滿足

${\displaystyle g\circ i=h}$ 

換言之，函子 ${\displaystyle L\mapsto U(L)}$  滿足下述關係：

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mbox{Alg.}}(U(L),A){\stackrel {\sim }{\to }}\mathrm {Hom} _{\mbox{Lie alg.}}(L,A)}$ 

${\displaystyle g\mapsto g\circ i}$ 

藉此，可視 ${\displaystyle U(-)}$  為 ${\displaystyle U}$ （單位結合代數）${\displaystyle \mapsto U}$ （李代數）的左伴隨函子。

構造方式

首先考慮張量代數 ${\displaystyle T(L)}$ ，此時有自然的包含映射 ${\displaystyle i_{0}:L\to T(L)}$ 。取 ${\displaystyle I\subset T(L)}$  為下列元素生成的雙邊理想

${\displaystyle a\otimes b-b\otimes a-[a,b]\quad (a,b\in L)}$ 

定義

${\displaystyle U(L):=T(L)/I}$ 

所求的映射 ${\displaystyle i:L\to U(L)}$  為 ${\displaystyle i_{0}:L\to T(L)}$  與商映射的合成。容易驗證 ${\displaystyle i}$  保存李括積。

根據上述構造，可直接驗證所求的泛性質。

基本性質

• 若 ${\displaystyle L}$  可交換，則 ${\displaystyle U(L)}$  亦然；此時 ${\displaystyle U(L)}$  同構於多項式代數。
• 若 ${\displaystyle L}$  來自李群 ${\displaystyle G}$ ，則 ${\displaystyle U(L)}$  可理解為 ${\displaystyle G}$  上的左不變微分算子。
• ${\displaystyle U(L)}$  的中心 ${\displaystyle Z(U(L))}$  顯然包含 ${\displaystyle i(Z(L))}$ ，但不僅如此，通常還包括更高階的元素，例如喀希米爾元素；這種元素給出李群上的拉普拉斯算子。

庞加莱-伯克霍夫-维特定理

主条目：庞加莱-伯克霍夫-维特定理

庞加莱-伯克霍夫-维特定理是泛包絡代數的根本定理之一。取定有限維李代數 ${\displaystyle L}$  的基 ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ ，此定理斷言

${\displaystyle X_{1}^{e_{1}}\cdots X_{n}^{e_{n}}\quad (e_{1},\ldots ,e_{n}\in \mathbb {Z} _{\geq 0})}$ 

是 ${\displaystyle U(L)}$  的基。此定理的直接推論是：${\displaystyle i:L\to U(L)}$  為單射。

表示理論

在泛性質中取 ${\displaystyle A=\mathrm {End} (V)}$ ，其中 ${\displaystyle V}$  為任意向量空間，遂可等同 ${\displaystyle L}$  的表示與 ${\displaystyle U(L)}$  的表示，後者不外是 ${\displaystyle U(L)}$ -模。藉此觀點，李代數表示理論可視為模論的一支。

群代數之於群表示一如泛包絡代數之於李代數的表示。兩者都具有霍普夫代數結構。

文獻

• Dixmier, Jacques, Enveloping algebras. Revised reprint of the 1977 translation. Graduate Studies in Mathematics, 11. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996. xx+379 pp. ISBN 0-8218-0560-6