在數學上，群範疇（表記為Grp或Gp[1]）指的是以群為物件、以同態映射為態射，也因此這是個具體範疇，而研究這範疇的理論即是群論。
| 群论 |
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| 群 |
| 无限维群 |
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共形群
微分同胚群
环路群
量子群
O(∞) SU(∞) Sp(∞)
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與其他範疇的關係 编辑
群範疇有兩個以群範疇為定義域的遺忘函子，其中一個是映射至幺半群的函子M: Grp → Mon；另一個是映射至集合範疇的函子U: Grp → Set。在這其中，M有兩個伴隨函子，其中一個I: Mon→Grp是右伴隨函子；而另一個K: Mon→Grp則是左伴隨函子；其中I: Mon→Grp是將所有的幺半群映射至其可逆元素的子幺半群的函子；而K: Mon→Grp則是將所有的幺半群映射至格羅滕迪克群的函子；此外，遺忘函子U: Grp → Set則有一個以合成函子形式出現的左伴隨函子KF: Set→Mon→Grp，其中F是自由函子，這自由函子會將每個集合S映射至由S產生的自由群。
範疇性質 编辑
群範疇當中的單態射即是同態單射；而其滿態射即是同態满射；而其同構映射即是同態雙射。
群範疇是完全範疇，也同時是餘完全範疇。其範疇─理論積即是群的直積；而其餘積則是群的自由積。這個範疇的零對象則是當然群，也就是只包含單位元的群。
非可加性故非交換性 编辑
阿貝爾群範疇Ab是群範疇的完全子範疇。Ab是一個交換範疇，但群範疇本身不是交換範疇；事實上，群範疇甚至不是可加範疇，而這是因為在兩個群同態之間，通常沒有可自然定義的「和」之故。以下為其證明：
三階對稱群S3映至自己的映射 有十個元素，其中z是一個 中的任一元素與之相乘都會得到z的元素（也就是將群中每個元素都映至單位元的映射）；此外，有三個元素是一個固定邊的乘積總與自己相等的元素（也就是將這個群映至其二階子群的映射）；另外還有六個是自同態映射。假定群範疇是個可加範疇，那這個有十個元素的集合 就會是一個環；而在任何的環當中，都會有一個零元素0，使得對環中所有的元素x而言，都有0x=x0=0，因此z會是 中的零元素；然而，在 ，沒有任何兩個非零元素的乘積會是z，因此這會是一個無零因子的環；而一個無零因子的有限環會是一個域，但沒有一個域會有十個元素，而這是因為每個有限域的元素個數都會是質數的幂之故。
正合序列 编辑
在群範疇中，正合序列是有意義的，而一些在阿貝爾範疇中成立的定理及其結果，像是九引理以及五引理等，在群範疇中也成立。群範疇是一個正則範疇。
參考資料 编辑
- ^ Borceux, Francis; Bourn, Dominique. . Springer. 2004: 20 [2022-06-22]. ISBN 1-4020-1961-0. （原始内容存档于2022-06-22）.
- Goldblatt, Robert. Revised. Dover Publications. 2006 [1984] [2009-11-25]. ISBN 978-0-486-45026-1. （原始内容存档于2020-03-21）.
群範疇, 在數學上, 表記為grp或gp, 指的是以群為物件, 以同態映射為態射, 也因此這是個具體範疇, 而研究這範疇的理論即是群論, 群论群基本概念子群, 正规子群, 商群, 群同態, 直积, 直和单群, 有限群, 无限群, 拓扑群, 群概形, 循環群, 冪零群, 可解群, 圈積离散群有限單群分類, 循環群, 交错群, 李型群散在群马蒂厄群, 24康威群, 扬科群, 费歇尔群, 24子怪兽群, b怪兽群, m其他有限群对称群, sn二面体群, dn无限群整数, z模群, 连续群李群一般线性群, 特殊线性群, 正. 在數學上 群範疇 表記為Grp或Gp 1 指的是以群為物件 以同態映射為態射 也因此這是個具體範疇 而研究這範疇的理論即是群論 群论群基本概念子群 正规子群 商群 群同態 像 半 直积 直和单群 有限群 无限群 拓扑群 群概形 循環群 冪零群 可解群 圈積离散群有限單群分類 循環群 Zn 交错群 An 李型群散在群马蒂厄群 M11 12 M22 24康威群 Co1 3 扬科群 J1 4 费歇尔群 F22 24子怪兽群 B怪兽群 M其他有限群对称群 Sn二面体群 Dn无限群整数 Z模群 PSL 2 Z 和 SL 2 Z 连续群李群一般线性群 GL n 特殊线性群 SL n 正交群 O n 特殊正交群 SO n 酉群 U n 特殊酉群 SU n 辛群 Sp n G2 F4 E6 E7 E8勞侖茲群庞加莱群无限维群共形群微分同胚群 环路群 量子群 O SU Sp 代数群椭圆曲线线性代数群 英语 Linear algebraic group 阿贝尔簇 英语 Abelian variety 查论编 目录 1 與其他範疇的關係 2 範疇性質 2 1 非可加性故非交換性 2 2 正合序列 3 參考資料與其他範疇的關係 编辑群範疇有兩個以群範疇為定義域的遺忘函子 其中一個是映射至幺半群的函子M Grp Mon 另一個是映射至集合範疇的函子U Grp Set 在這其中 M有兩個伴隨函子 其中一個I Mon Grp是右伴隨函子 而另一個K Mon Grp則是左伴隨函子 其中I Mon Grp是將所有的幺半群映射至其可逆元素的子幺半群的函子 而K Mon Grp則是將所有的幺半群映射至格羅滕迪克群 英语 Grothendieck group 的函子 此外 遺忘函子U Grp Set則有一個以合成函子形式出現的左伴隨函子KF Set Mon Grp 其中F是自由函子 這自由函子會將每個集合S映射至由S產生的自由群 範疇性質 编辑群範疇當中的單態射即是同態單射 而其滿態射 英语 Epimorphism 即是同態满射 而其同構映射即是同態雙射 群範疇是完全範疇 英语 Complete category 也同時是餘完全範疇 英语 Cocomplete category 其範疇 理論積即是群的直積 而其餘積 英语 Coproduct 則是群的自由積 這個範疇的零對象則是當然群 也就是只包含單位元的群 非可加性故非交換性 编辑 阿貝爾群範疇 英语 Category of abelian groups Ab是群範疇的完全子範疇 Ab是一個交換範疇 但群範疇本身不是交換範疇 事實上 群範疇甚至不是可加範疇 而這是因為在兩個群同態之間 通常沒有可自然定義的 和 之故 以下為其證明 三階對稱群S3映至自己的映射E Hom S 3 S 3 displaystyle E operatorname Hom S 3 S 3 nbsp 有十個元素 其中z是一個E displaystyle E nbsp 中的任一元素與之相乘都會得到z的元素 也就是將群中每個元素都映至單位元的映射 此外 有三個元素是一個固定邊的乘積總與自己相等的元素 也就是將這個群映至其二階子群的映射 另外還有六個是自同態映射 假定群範疇是個可加範疇 那這個有十個元素的集合E displaystyle E nbsp 就會是一個環 而在任何的環當中 都會有一個零元素0 使得對環中所有的元素x而言 都有0x x0 0 因此z會是E displaystyle E nbsp 中的零元素 然而 在E displaystyle E nbsp 沒有任何兩個非零元素的乘積會是z 因此這會是一個無零因子的環 而一個無零因子的有限環會是一個域 但沒有一個域會有十個元素 而這是因為每個有限域的元素個數都會是質數的幂之故 正合序列 编辑 在群範疇中 正合序列是有意義的 而一些在阿貝爾範疇中成立的定理及其結果 像是九引理以及五引理等 在群範疇中也成立 群範疇是一個正則範疇 英语 Regular category 參考資料 编辑 Borceux Francis Bourn Dominique Mal cev protomodular homological and semi abelian categories Springer 2004 20 2022 06 22 ISBN 1 4020 1961 0 原始内容存档于2022 06 22 Goldblatt Robert Topoi the Categorial Analysis of Logic Revised Dover Publications 2006 1984 2009 11 25 ISBN 978 0 486 45026 1 原始内容存档于2020 03 21 取自 https zh wikipedia org w index php title 群範疇 amp oldid 74732954, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，
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