怪獸群的存在性最早在1973年為貝恩德‧費雪(Bernd Fischer，他未出版相關想法)與羅伯特‧格里斯所預測，他們當時認為存在一個單群，該單群包含子怪獸群中做為某個對合的中心化子的某個雙覆蓋。數月後，M的階被格里斯以湯普森階公式(Thompson order formula)計算出，而費雪(Fischer)、康威(Conway)、諾頓(Norton)與湯普森(Thompson)等人則發現此群包含了其他的群做為其子商，被包含的群包括了許多已知的散單群，此外他們還發現了兩個新的單群：湯普森群和原田-諾頓群。格里斯將怪獸群建構為格里斯代數(一個196884維的交換非結合代數)的自同構群。約翰‧康威(John Horton Conway)和雅魁‧提次(Jacques Tits)隨後簡化了其建構。
格里斯的建構證明了怪獸群的存在。約翰‧湯普森(John G. Thompson)則說明了其做為階為此數的單群的唯一性可由一個196883維忠實表示法的存在得出。該表示法的存在性在1982年為西蒙‧諾頓(Simon P. Norton)提出，然而他從未發表此證明的細節。第一個關於怪獸群唯一性的證明則由格里斯、麥爾法蘭肯菲爾德(Meierfrankenfeld)和塞格夫(Segev)給出。
怪獸群的子群包括了26個散在群中的多數，但非全部的散在群都是它的子群。一旁所示之圖是基於馬克‧羅南(Mark Ronan)所撰的書《Symmetry and the Monster》的，表明這些散在單群是如何與彼此產生關係的。線段表示下方的群被其上的群所包含，並為其上的群的子商。圈起來的符號，表示該符號所代表的群不被包含於其他更大的散在單群中。為了清楚表明，多餘的包含關係在此圖中未表示。
^Arithmetic groups and the affine E8 Dynkin diagram Archive.is的存檔，存档日期2012-07-13, by John F. Duncan, in Groups and symmetries: from Neolithic Scots to John McKay
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魔群, 此條目翻譯品質不佳, 2011年10月1日, 翻譯者可能不熟悉中文或原文語言, 也可能使用了機器翻譯, 請協助翻譯本條目或重新編寫, 并注意避免翻译腔的问题, 明顯拙劣的翻譯請改掛, href, template, html, class, redirect, title, template, href, wikipedia, html, class, redirect, title, wikipedia, 提交刪除, 英語, monster, group, 或怪獸群, 或友善巨人, friendly, g. 此條目翻譯品質不佳 2011年10月1日 翻譯者可能不熟悉中文或原文語言 也可能使用了機器翻譯 請協助翻譯本條目或重新編寫 并注意避免翻译腔的问题 明顯拙劣的翻譯請改掛 a href Template D html class mw redirect title Template D d a a href Wikipedia CSD html G13 class mw redirect title Wikipedia CSD G13 a 提交刪除 魔群 英語 Monster group 或怪獸群 或友善巨人 the Friendly Giant 或費雪 格里斯怪獸 Fischer Griess Monster 是一個有限單群 是26個散在群的其中之一 一般常將之記作M或F1 群论群基本概念子群 正规子群 商群 群同态 像 半 直积 直和单群 有限群 无限群 拓扑群 群概形 循环群 冪零群 可解群 圈積离散群有限单群分类 循环群 Zn 交错群 An 李型群散在群马蒂厄群 M11 12 M22 24康威群 Co1 3 扬科群 J1 4 费歇尔群 F22 24子怪兽群 B怪兽群 M其他有限群对称群 Sn二面体群 Dn无限群整数 Z模群 PSL 2 Z 和 SL 2 Z 连续群李群一般线性群 GL n 特殊线性群 SL n 正交群 O n 特殊正交群 SO n 酉群 U n 特殊酉群 SU n 辛群 Sp n G2 F4 E6 E7 E8勞侖茲群庞加莱群无限维群共形群微分同胚群 环路群 量子群 O SU Sp 代数群椭圆曲线线性代数群 英语 Linear algebraic group 阿贝尔簇 英语 Abelian variety 查论编怪獸群的階是26個散在群中最大的 其階為 246 320 59 76 112 133 17 19 23 29 31 41 47 59 71 808017424794512875886459904961710757005754368000000000 8 1053有限單群的分類已完成 見有限單群分類一文 每個有限單群都屬於當中有的18類可數無限族中 或不包含於那些可系統化模式的18類可數無限族中 那26個的 散單群 中 而怪獸群是那26個散單群中階數最大的群 而二十六個散單群除了六個 其餘的散單群均是怪獸群的子集合 羅伯特 格里斯 Robert Griess 將那六個不為魔群子集的群稱為 低群 pariahs 並以 快樂大家族 the happy family 一詞稱呼其他的散單群 或許對怪獸群最好的定義方式 就是將之定義為同時包含康威群 Conway group 和費歇爾群 英语 Fischer group 的的有限單群中階最小者 怪獸群雖為散在群中階最大的 但這不表示它是所有有限單群中階最大的 其他類的有限單群中有階比其更大者存在 目录 1 存在性與唯一性 2 月光猜想 3 表示與維度 4 麥凱的E8觀察 5 子群結構 6 相關條目 7 腳註 8 參照 9 外部連結存在性與唯一性 编辑怪獸群的存在性最早在1973年為貝恩德 費雪 Bernd Fischer 他未出版相關想法 與羅伯特 格里斯所預測 他們當時認為存在一個單群 該單群包含子怪獸群中做為某個對合的中心化子的某個雙覆蓋 數月後 M的階被格里斯以湯普森階公式 Thompson order formula 計算出 而費雪 Fischer 康威 Conway 諾頓 Norton 與湯普森 Thompson 等人則發現此群包含了其他的群做為其子商 被包含的群包括了許多已知的散單群 此外他們還發現了兩個新的單群 湯普森群和原田 諾頓群 格里斯將怪獸群建構為格里斯代數 一個196884維的交換非結合代數 的自同構群 約翰 康威 John Horton Conway 和雅魁 提次 Jacques Tits 隨後簡化了其建構 格里斯的建構證明了怪獸群的存在 約翰 湯普森 John G Thompson 則說明了其做為階為此數的單群的唯一性可由一個196883維忠實表示法的存在得出 該表示法的存在性在1982年為西蒙 諾頓 Simon P Norton 提出 然而他從未發表此證明的細節 第一個關於怪獸群唯一性的證明則由格里斯 麥爾法蘭肯菲爾德 Meierfrankenfeld 和塞格夫 Segev 給出 月光猜想 编辑怪獸群是康威 Conway 和諾頓 Norton 所提出的怪兽月光理论的兩個主要成份之一 此猜想與離散和非離散數學相關 並在1992年為理查 伯切德斯 Richard Borcherds 所證明 在此設定下 怪獸群可由怪獸群模組的自同構群示現 亦即由一作用在怪獸李代數上 屬廣義Kac Moody代數 且包含Griess代數的無窮維代數的頂點算子代數示現而出 表示與維度 编辑 一個忠實的複數表示的最小度數是196 883 它是怪獸群階數可分得3個因子乘積的分割 當中怪獸群的最小忠實排列表示是 24 37 53 74 11 132 29 41 59 71 約 1020 點 他可被視為有理數上的一個伽罗瓦群 Thompson 1984 p 443 而實現 並視為一個胡爾維茲群 Hurwitz group Wilson 2004 怪獸群在單群中並不平常 因並沒有已知的簡單規則或方法可表示他的元素 而這並非起因於他大小的表示因素 例如 單群 A 100和SL20 2 相對是大 但容易計算 因為它們是具已知的置換或線性表示 交錯群具有與之的大小相較下的置換表示 且所有有限單李型式群有線性表示 除了怪物群之外的所有散單群體也具有足夠小的線性表示 以至於它們易於在計算機上工作 而難度僅次於怪物群的 為可分割成維度4370的小怪獸群 baby Monster 表示 麥凱的E8觀察 编辑怪獸群和擴張登金圖 Dynkin diagram E 8 displaystyle tilde E 8 亦存在著關係 其關聯在圖結點與怪獸群同餘類之間表現得更明顯 此關聯又被稱作 麥凱的E8觀察 McKay s E8 observation 1 2 子群結構 编辑 Sporadic Finite Groups Showing Sporadic Subgroups 怪獸群包含了至少44個共軛類的極大子群 六十數種同構類型的非交換單群 亦包含在怪獸群中 做為怪獸群的子群或子群的商群 怪獸群的子群包括了26個散在群中的多數 但非全部的散在群都是它的子群 一旁所示之圖是基於馬克 羅南 Mark Ronan 所撰的書 Symmetry and the Monster 的 表明這些散在單群是如何與彼此產生關係的 線段表示下方的群被其上的群所包含 並為其上的群的子商 圈起來的符號 表示該符號所代表的群不被包含於其他更大的散在單群中 為了清楚表明 多餘的包含關係在此圖中未表示 2 B 對合 involution 的中心化子 Centralizer 包含一Sylow 47 子群的正規化子 normalizer 47 23 2 21 24 Co1 對合的中心化子 3 Fi24 階數3子群的正規化子 包含一Sylow 29 子群的正規化子 29 14 3 2 22 2E6 22 S3 一Klein 4 群的正規化子 210 16 O10 2 22 11 22 M24 S3 一Klein 4 群的正規化子 含一Sylow 23 子群的正規化子 23 11 S4 31 12 2Suz 2 階數3子群的正規化子 25 10 20 S3 L5 2 S3 Th 階數3子群的正規化子 含一Sylow 31 子群的正規化子 31 15 S3 23 6 12 18 L3 2 3S6 38 O8 3 23 D10 HN 2 階數5子群的正規化子 32 2 O8 3 S4 32 5 10 M11 2S4 33 2 6 6 L3 3 SD16 51 6 2J2 4 階數5子群的正規化子 7 3 He 2 階數7子群的正規化子 A5 A12 2 53 3 2 L3 5 A6 A6 A6 2 S4 A5 U3 8 31 2 含一Sylow 19 子群的正規化子 19 9 A5 2 52 2 4 S3 GL2 5 L3 2 S4 4 2 2 含一Sylow 17 子群的正規化子 17 8 L3 2 2 71 4 3 2S7 階數7子群的正規化子 52 4 22 U3 5 S3 L2 11 M12 2 包含階數11子群的正規化子 11 5 M12 2 A7 A5 A5 22 2 54 3 2L2 25 22 72 1 2 GL2 7 M11 A6 22 S5 S5 S5 S3 L2 11 L2 11 4 132 2L2 13 4 72 3 2A4 L2 7 2 13 6 L3 3 2 階數13子群的正規化子 131 2 3 4S4 階數13子群的正規化子 一Sylow 13 子群的正規化子 L2 71 Holmes amp Wilson 2008 含一Sylow 71 子群的正規化子71 35 L2 59 Holmes amp Wilson 2004 含一Sylow 59 子群的正規化子59 29 112 5 2A5 Sylow 11 子群的正規化子 L2 41 Norton amp Wilson 2013 找到此形式的極大子群 此是由於Zavarnitsine指出一些先前的的沒有這樣的極大子群存在 L2 29 2 Holmes amp Wilson 2002 72 SL2 7 一些過去7 局部子群的表中此被意外地忽略了 L2 19 2 Holmes amp Wilson 2008 41 40 一Sylow 41 子群的正規化子 相關條目 编辑超級單獨質數 魔群階數的質因數腳註 编辑 Arithmetic groups and the affine E8 Dynkin diagram Archive is的存檔 存档日期2012 07 13 by John F Duncan in Groups and symmetries from Neolithic Scots to John McKay le Bruyn Lieven the monster graph and McKay s observation 22 April 2009 原始内容存档于2010 08 14 參照 编辑約翰 何頓 康威 and S P Norton 英语 Simon P Norton Monstrous Moonshine Bull London Math Soc 11 1979 no 3 308 339 約翰 何頓 康威 Curtis R T Norton S P 英语 Simon P Norton Parker R A 英语 Richard A Parker and Wilson R A 英语 Robert Arnott Wilson Atlas of Finite Groups Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups Oxford England 1985 Griess Robert L The structure of the monster simple group Scott W Richard 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