五角化二十四面體

在礦物學中，這種形狀又稱為五角三八面體、螺旋二十四面體（gyroid）^[4]^[5]^[6]、五角偏方三八面體或偏菱五角二十四面體^[7]，部分的礦石可以結晶成這種形狀^[8]，例如赤銅礦——化學成份為氧化亞銅（Cu₂O）的氧化物礦物可以結晶成五角化二十四面體^[9]。

性質编辑

五角化二十四面體是一個手性多面體（英语：Chirality (mathematics)）^[10]，也就是說，該多面體鏡射之後會跟原本的型形狀不同，無法藉由旋轉半周再回到原本的形狀^[11]^[12]^[13]。這兩種形式互為鏡像（或“對映體”），又稱為手性鏡像，且其面、頂點、邊數皆相同，共有24個面、60個邊、38個頂點^[3]。

五角化二十四面體的旋轉透視圖	五角化二十四面體的另一個手性鏡像的旋轉透視圖

五角化二十四面體的對偶多面體為扭棱立方體，換句話說即這個多面體的頂點可以對應到扭棱立方體每個面的幾何中心、扭棱立方體的每個頂點可以對應到五角化二十四面體的幾何中心。^[14]

面的組成编辑

構成五角化二十四面體的五邊形。

五角化二十四面體由24個全等的具有鏡像對稱性之不等邊五邊形組成^[13]^[12]。這種不等邊五邊形有兩種邊長，有三個邊為短邊（下圖中以b表示）、兩個邊為長邊（下圖中以a表示）。長邊的邊長為短邊的一半再加上短邊的三波那契常數（英语：tribonacci constant）倍^[15]，即：

短邊

:

長邊

=1:{\frac {1}{2}}+{\frac {t}{2}}

其中， $t$ 為三波那契常數（英语：tribonacci constant），即：

{\frac {1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}{3}}={\frac {1+4\cosh \left({\frac {1}{3}}\cosh ^{-1}\left(2+{\frac {3}{8}}\right)\right)}{3}}\approx 1.839286755214161,

（OEIS數列A058265）

這個數為 $x^{3}-x^{2}-x-1=0$ 的實根^[16]。

這個不等邊五邊形兩個長邊相鄰，其夾角為二減去三波那契常數的反餘弦值（ $\arccos {\left(2-t\right)}$ 約為80.75度）；其餘4個角皆為二分之一減去一半的三波那契常數之反餘弦值（ $\arccos {\left({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {t}{2}}\right)}$ 約為114.81度）^[15]。

若對應的對偶多面體——扭棱立方體邊長為單位長，則相應的五角化二十四面體面的短邊邊長為^[13]^[12]：

b={\frac {\sqrt {6\left(4-{\sqrt[{3}]{2\left(13+3{\sqrt {33}}\right)}}-{\sqrt[{3}]{2\left(13-3{\sqrt {33}}\right)}}\right)}}{6}}\approx 0.593465355971987310502

相應的五角化二十四面體面的長邊邊長為^[13]^[12]：

a={\frac {\sqrt {3\left(4+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}\right)}}{6}}\approx 0.8425091624448604672504

體積與表面積编辑

若對應的對偶多面體——扭棱立方體邊長為單位長，則相應的五角化二十四面體的體積與表面積為^[10]：

{\begin{aligned}A&=3{\sqrt {\frac {22(5t-1)}{4t-3}}}&&\approx 19.299\,94\\V&={\sqrt {\frac {11(t-4)}{2(20t-37)}}}&&\approx 7.4474\end{aligned}}

而根據相應的邊長關係^[13]^[12]，可以得到以邊長表示的體積與表面積：

A={\frac {24a^{2}(2+3t)}{1+2t}}{\sqrt {\frac {1-t}{1+t}}}={\frac {12b^{2}(2+3t)}{(1-2t^{2})}}{\sqrt {1-t^{2}}}\approx 27.19a^{2}\approx 54.8b^{3}

V={\frac {4a^{3}(2+3t){\sqrt {1-2t}}}{(1+t)(1-4t^{2})}}={\frac {2b^{3}(1+t)(2+3t)}{(1-2t^{2}){\sqrt {1-2t}}}}\approx 12.45a^{3}\approx 35.63b^{3}

正交投影编辑

五角化二十四面體有三種具有特殊對稱性的正交投影，分別是以度為三的頂點為中心、以度為四的頂點為中心以及以與側邊中點為中心的正交投影。前兩者對稱性對分別應於A₂和B₂的考克斯特平面^[17]^[18]。

正交投影
投影位置	度為三的頂點	度為四的頂點	側邊中點
投影對稱性	[3]	[4]⁺	[2]
圖像
對偶多面體

變體编辑

五角化二十四面體有另外一種同樣所有面全等的變體。這種變體具有八面體群的對稱性，且具有3種不同的邊長。這種變體可以透過在扭棱立方體的6個正方形與8個三角形的面上加上角錐至與鄰面共面來構造^[19]。

扭棱立方體的面上加上角錐至與鄰面共面	五角化二十四面體變體	該變體地展開圖