在幾何學 中，扭棱十二面体 是一種半正多面體 ，由正三角形 和正五邊形 組成[2] 阿基米德立體 [3] 阿基米德立體 [4] 對偶多面體 為五角化六十面體 [5] [6] [7]
扭棱十二面體 類別 阿基米德立體 、半正多面體 對偶多面體 五角化六十面體 識別 名稱 扭棱十二面體 參考索引 U29 , C 32 , W18 鮑爾斯縮寫 snid 數學表示法 考克斯特符號 施萊夫利符號 sr{5,3} 或 s { 5 3 } {\displaystyle s{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}} |- !style="background-color:#e7dcc3"|
|| ht0,1,2 {5,3} 威佐夫符號 | 2 3 5 康威表示法 sD 性質 面 92 邊 150 頂點 60 歐拉特徵數 F=92, E=150, V=60 （χ=2） 二面角 3-3: 164°10′31″ (164.18°) 組成與佈局 面的種類 正三角形 面的佈局 (20+60){3}+12{5} [1] 頂點圖 3.3.3.3.5 對稱性 對稱群 I, 1 / 2 3 , [5,3]+ , (532), order 60 旋轉對稱群 I, [5,3]+ , (532), order 60 特性 半正、凸 、手性 圖像
命名 這個形狀最早是由克普勒 以拉丁文命名的，當時克普勒給出的名稱為dodecahedron simum [8] [9] 世界的和諧 》。考克斯特利用扭棱十二面體不僅可以由正十二面體扭棱而成，同時也可以用正二十面體扭棱而成，因此稱其為扭棱十二・二十面體 （snub icosidodecahedron ）或扭棱截十二面體 [10] [11] [5]
性質 扭棱十二面體是一種阿基米德立體 ，為正十二面體 （或正二十面體 ）透過扭稜變換後的結果，在施萊夫利符號 中可以用 s { 5 3 } {\displaystyle s\scriptstyle {\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}} [12] 手性 幾何結構，兩者互為鏡像[13] 二複合扭棱十二面體 大斜方截半二十面体 [14]
構成元素 扭棱十二面體由92個面[15] [16] [17] [18] 頂點圖 中可以用5.3.3.3.3來表示[19]
體積與表面積 若扭棱十二面體邊長為1，則其表面積 為：
A = 20 3 + 3 25 + 10 5 ≈ 55.286 744 958 445 15 {\displaystyle A=20{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\approx 55.286\,744\,958\,445\,15} 體積為：
V = 12 ξ 2 ( 3 φ + 1 ) − ξ ( 36 φ + 7 ) − ( 53 φ + 6 ) 6 3 − ξ 2 3 ≈ 37.616 649 962 733 36 {\displaystyle V={\frac {12\xi ^{2}(3\varphi +1)-\xi (36\varphi +7)-(53\varphi +6)}{6{\sqrt {3-\xi ^{2}}}^{3}}}\approx 37.616\,649\,962\,733\,36} 其中 φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} 黄金分割率 ，而 ξ {\displaystyle \xi } x 3 + 2 x 2 − φ 2 = 0 {\displaystyle x^{3}+2x^{2}-\varphi ^{2}=0} ξ = φ + φ − 5 27 2 3 + φ − φ − 5 27 2 3 {\displaystyle \xi ={\sqrt[{3}]{\frac {\varphi +{\sqrt {\varphi -{\frac {5}{27}}}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {\varphi -{\sqrt {\varphi -{\frac {5}{27}}}}}{2}}}} ξ ≈ 0.94315125924 {\displaystyle \xi \approx 0.94315125924}
二面角 扭棱十二面體有2種二面角 ，一種是正三角形與正三角形交角，另一種是正三角形與正五邊形交角。其中正三角形與正三角形交角角度約為164.175度[11] [16]
arccos ( − 2 ξ 2 − 3 3 ) ≈ 2.865400688 ≈ 164.175366 ∘ {\displaystyle \arccos \left(-{\frac {2\xi ^{2}-3}{3}}\right)\approx 2.865400688\approx 164.175366^{\circ }} 而正三角形與正五邊形交角的角度約為152.9299度[11] [16]
arccos ( − 15 ( 4 ( 1 ξ − ξ ) ( 3 φ + 1 ) + ( 12 φ + 19 ) ) 15 ) ≈ 2.66913 ≈ 152.9299 ∘ {\displaystyle \arccos \left({\frac {-{\sqrt {15\left(4\left({\frac {1}{\xi }}-\xi \right)\left(3\varphi +1\right)+\left(12\varphi +19\right)\right)}}}{15}}\right)\approx 2.66913\approx 152.9299^{\circ }} 其中 φ {\displaystyle \varphi } ξ {\displaystyle \xi }
頂點座標 座標值 其中， x {\displaystyle x} φ {\displaystyle \varphi } #二面角 章節 C 0 = φ 3 − x 2 2 {\displaystyle C_{0}={\frac {\varphi {\sqrt {3-x^{2}}}}{2}}} C 1 = x φ 3 − x 2 2 {\displaystyle C_{1}={\frac {x\varphi {\sqrt {3-x^{2}}}}{2}}} C 2 = φ ( x − 1 − 1 x ) φ 2 {\displaystyle C_{2}={\frac {\varphi {\sqrt {\left(x-1-{\frac {1}{x}}\right)\varphi }}}{2}}} C 3 = x 2 φ 3 − x 2 2 {\displaystyle C_{3}={\frac {x^{2}\varphi {\sqrt {3-x^{2}}}}{2}}} C 4 = x φ ( x − 1 − 1 x ) φ 2 {\displaystyle C_{4}={\frac {x\varphi {\sqrt {\left(x-1-{\frac {1}{x}}\right)\varphi }}}{2}}} C 5 = φ 1 − x + φ + 1 x 2 {\displaystyle C_{5}={\frac {\varphi {\sqrt {1-x+{\frac {\varphi +1}{x}}}}}{2}}} C 6 = φ x − φ + 1 2 {\displaystyle C_{6}={\frac {\varphi {\sqrt {x-\varphi +1}}}{2}}} C 7 = x 2 φ ( x − 1 − 1 x ) φ 2 {\displaystyle C_{7}={\frac {x^{2}\varphi {\sqrt {\left(x-1-{\frac {1}{x}}\right)\varphi }}}{2}}} C 8 = x φ 1 − x + φ + 1 x 2 {\displaystyle C_{8}={\frac {x\varphi {\sqrt {1-x+{\frac {\varphi +1}{x}}}}}{2}}} C 9 = ( x + 2 ) φ + 2 2 {\displaystyle C_{9}={\frac {\sqrt {\left(x+2\right)\varphi +2}}{2}}} C 10 = x x ( φ + 1 ) − φ 2 {\displaystyle C_{10}={\frac {x{\sqrt {x\left(\varphi +1\right)-\varphi }}}{2}}} C 11 = x 2 ( 2 φ + 1 ) − φ 2 {\displaystyle C_{11}={\frac {\sqrt {x^{2}\left(2\varphi +1\right)-\varphi }}{2}}} C 12 = φ x 2 + x 2 {\displaystyle C_{12}={\frac {\varphi {\sqrt {x^{2}+x}}}{2}}} C 13 = φ 2 x ( x + φ ) + 1 2 x {\displaystyle C_{13}={\frac {\varphi ^{2}{\sqrt {x\left(x+\varphi \right)+1}}}{2x}}} C 14 = φ x ( x + φ ) + 1 2 {\displaystyle C_{14}={\frac {\varphi {\sqrt {x\left(x+\varphi \right)+1}}}{2}}}
若一扭棱十二面體邊長為一，且質心位於原點，則其頂點座標為下列式子的偶置換 ：
( c 2 , c 1 , c 14 ) , ( c 0 , c 8 , c 12 ) , ( c 7 , c 6 , c 11 ) {\displaystyle \left(c_{2},c_{1},c_{14}\right),\left(c_{0},c_{8},c_{12}\right),\left(c_{7},c_{6},c_{11}\right)} ( c 3 , c 4 , c 13 ) , ( c 9 , c 5 , c 10 ) {\displaystyle \left(c_{3},c_{4},c_{13}\right),\left(c_{9},c_{5},c_{10}\right)} [20] [21]
正交投影 扭棱十二面體有3個特殊的正交投影[2] 2 和 H2 的考克斯特平面[22]
正交投影 投影於 正三角形面 正五邊形面 稜 立體圖 骨架圖 投影對稱性 [3] [5]+ [2] 對偶投影
幾何關聯 扭棱十二面體可以透過將正十二面體的正五邊形 面往外拉，直到完全不接觸後，原本的頂點位置填入三角形，剩下的部分用三角形補滿來構造。而將正十二面體往外拉時，在某個適當的位置時，原本正五邊形與正五邊形的公共稜的位置則可以擺上正方形，此時則會構成小斜方截半二十面体[23]
而要產生扭棱的形式則需要在將正五邊形面往外拉時稍微有一點旋轉，並只用三角形填滿空隙，而五邊形旋轉的方向不同可以產生手性鏡像[24]
扭棱十二面體也可以經由大斜方截半二十面体透過交錯變換來構造，但構造出的扭棱十二面体並非所有面都是正多邊形，其結果稱為截角大斜方截半二十面體，其與扭棱十二面體有著相同的拓樸結構。
相關多面體與鑲嵌 扭棱十二面體 是正十二面體 （或正二十面體）經過扭棱變換後的結果，其他也是由正二十面體透過康威變換 得到的多面體有：
正二十面体家族半正多面体 對稱群 : [5,3] [5,3]+ , (532) {5,3} t0,1 {5,3} t1 {5,3} t0,1 {3,5} {3,5} t0,2 {5,3} t0,1,2 {5,3} s{5,3} 半正多面体对偶 V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5
扭棱十二面體的頂點為4個正三角形與1個正五邊形的公共頂點，頂點圖計為3.3.3.3.5，在考克斯特符號中可以用 半正平面鑲嵌 [25] [26] 三角形二面體 ，而n為1或更低時，則該形狀不存在。
扭稜立體 原像 正四面體 立方體 正八面體 正十二面體 正二十面體 扭稜 扭棱四面體 扭棱立方体 扭棱八面體 扭棱十二面体 扭棱二十面体 完全扭稜 二複合二十面體 完全扭稜二十面體
扭棱十二面體圖 在圖論的數學領域中，與扭棱十二面體相關的圖為扭棱十二面體圖 ，是扭棱十二面體之邊與頂點的圖 阿基米德圖 [27] 哈密顿图 。
参见
參考文獻 Jayatilake, Udaya. Calculations on face and vertex regular polyhedra. Mathematical Gazette. March 2005, 89 (514): 76–81. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X Cromwell, P. Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. 1997: 79–86 Archimedean solids . ISBN 0-521-55432-2 ^ 中華民國第54屆中小學科學展覽會 第三名 滾動奇跡 (PDF) . 高雄市立五福國民中學. [2018-09-18 ] . （原始内容 (PDF) 于2018-09-17）. ^ 2.0 2.1 The Snub Dodecahedron. eusebeia.dyndns.org. 2018-02-06 [2018-09-16 ] . （原始内容于2018-09-16）. ^ Cromwell, P. Polyhedra , CUP hbk (1997), pbk. (1999). Ch.2 p.79-86 Archimedean solids ^ ミラーボール2をつくる. d.hatena.ne.jp. [2018-10-17 ] . （原始内容于2018-10-17）. 面の数は多そうだが（正五角形と正三角形の合計92） ^ 5.0 5.1 Weisstein, Eric W. (编). Snub dodecahedron. at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） . ^ Weisstein, Eric W. (编). Pentagonal hexecontahedron. at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） . ^ いくろ こたろ . ねじれ立方体，ねじれ１２面体の双対多面体 . geocities.jp. 2009-03-14 [2018-09-17 ] . （原始内容于2018-10-08） （日语） . ^ Johannes Kepler . Harmonices Mundi. Tampachius, Linz. 1969. ^ Weissbach, B. and Martini, H. "On the Chiral Archimedean Solids." Contrib. Algebra and Geometry 43, 121-133, 2002. ^ 何永安. 阿基米德多面體的視覺化 (PDF) . 中華大學 應用數學學系(所). [2018-09-18 ] . （原始内容 (PDF) 于2021-08-30）. ^ 11.0 11.1 11.2 Archimedean Solids: Snub Dodecahedron (laevo). dmccooey.com. [2018-10-17 ] . （原始内容于2018-04-01）. ^ Wenninger, M.J. Spherical Models. Dover Publications. 2014: p.53 [2018-09-16 ] . ISBN 9780486143651 ^ Snub Dodecahedron Calculator. rechneronline.de. [2018-09-16 ] . （原始内容于2018-09-16）. ^ Skilling, John, Uniform Compounds of Uniform Polyhedra, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1976, 79 : 447–457, MR 0397554 , doi:10.1017/S0305004100052440 ^ 捩れ十二面体 [3,3,3,3,5] Snub Dodecahedron. biglobe.ne.jp. [2018-09-18 ] . （原始内容于2015-10-10）. ^ 16.0 16.1 16.2 Archimedean Solids: Snub Dodecahedron (dextro). dmccooey.com. [2018-10-17 ] . （原始内容于2018-03-12）. ^ Gijs Korthals Altes. Paper Snub Dodecahedron. korthalsaltes.com. [2018-09-16 ] . （原始内容于2018-09-16）. ^ 多面体の模型. ds.cc.yamaguchi-u.ac.jp. [2018-09-16 ] . （原始内容于2018-03-19）. ^ Robert Webb. Snub Dodecahedron. software3d.com. [2018-09-16 ] . （原始内容于2018-09-16）. ^ Data of Snub Dodecahedron (dextro). dmccooey.com. [2018-10-17 ] . （原始内容于2017-10-31）. ^ Data of Snub Dodecahedron (laevo). dmccooey.com. [2018-10-17 ] . （原始内容于2016-07-30）. ^ Coxeter Planes （页面存档备份，存于互联网档案馆 ） and More Coxeter Planes （页面存档备份，存于互联网档案馆 ） 約翰·史坦布里奇 ^ Lambert M. Surhone, Miriam T. Timpledon, Susan F. Marseken. Snub Dodecahedron ISBN 978-613-1-19412-2 ^ Popko, E.S. Divided Spheres: Geodesics and the Orderly Subdivision of the Sphere. CRC Press. 2012: 183 [2018-10-17 ] . ISBN 9781466504301LCCN 2011048704 . （原始内容于2018-10-17）. ^ Laughlin, D.E. and Hono, K. Physical Metallurgy. Elsevier Science. 2014: 17 [2018-10-17 ] . ISBN 9780444537713 ^ Klitzing, Richard. s3s7s, hyperbolic snub triheptagonal tiling. bendwavy.org. [2018-10-17 ] . （原始内容于2016-03-25）. ^ Read, R. C.; Wilson, R. J., An Atlas of Graphs, Oxford University Press : 269, 1998
外部連結 埃里克·韦斯坦因 , 扭棱十二面体 （參閱阿基米德立體） 於MathWorld （英文） Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra s3s5s - snid. bendwavy.org. Editable printable net of a Snub Dodecahedron with interactive 3D view （页面存档备份，存于互联网档案馆 ） The Uniform Polyhedra （页面存档备份，存于互联网档案馆 ） Virtual Reality Polyhedra （页面存档备份，存于互联网档案馆 ） The Encyclopedia of Polyhedra
扭棱十二面体, 在幾何學中, 是一種半正多面體, 由正三角形和正五邊形組成, 由於其具有點可遞的性質, 因此屬於阿基米德立體, 也是面數最多的阿基米德立體, 其對偶多面體為五角化六十面體, 扭棱十二面體, 单击查看旋转模型, 類別阿基米德立體, 半正多面體對偶多面體五角化六十面體識別名稱扭棱十二面體參考索引u29, w18鮑爾斯縮寫, verse, dimensions的wikia, bowers, acronym, snid數學表示法考克斯特符號, 英语, coxeter, dynkin, diagram, 施萊. 在幾何學中 扭棱十二面体是一種半正多面體 由正三角形和正五邊形組成 2 由於其具有點可遞的性質 因此屬於阿基米德立體 3 也是面數最多的阿基米德立體 4 其對偶多面體為五角化六十面體 5 6 7 扭棱十二面體 单击查看旋转模型 類別阿基米德立體 半正多面體對偶多面體五角化六十面體識別名稱扭棱十二面體參考索引U29 C32 W18鮑爾斯縮寫 verse and dimensions的wikia Bowers acronym snid數學表示法考克斯特符號 英语 Coxeter Dynkin diagram 施萊夫利符號sr 5 3 或 s 5 3 displaystyle s begin Bmatrix 5 3 end Bmatrix style background color e7dcc3 ht0 1 2 5 3 威佐夫符號 英语 Wythoff symbol 2 3 5康威表示法sD性質面92邊150頂點60歐拉特徵數F 92 E 150 V 60 x 2 二面角3 3 164 10 31 164 18 3 5 152 55 53 152 93 組成與佈局面的種類正三角形正五邊形面的佈局 英语 Face configuration 20 60 3 12 5 1 頂點圖3 3 3 3 5對稱性對稱群I 1 2 H3 5 3 532 order 60旋轉對稱群 英語 Rotation groups I 5 3 532 order 60特性半正 凸 手性 英语 Chirality mathematics 圖像扭棱十二面體及其手性鏡像 3 3 3 3 5 頂點圖 五角化六十面體 對偶多面體 展開圖 查论编 目录 1 命名 2 性質 2 1 構成元素 2 2 體積與表面積 2 3 二面角 2 4 頂點座標 3 正交投影 4 幾何關聯 5 相關多面體與鑲嵌 6 扭棱十二面體圖 7 参见 8 參考文獻 9 外部連結命名 编辑這個形狀最早是由克普勒以拉丁文命名的 當時克普勒給出的名稱為dodecahedron simum 8 9 該名稱記載於1619的 世界的和諧 考克斯特利用扭棱十二面體不僅可以由正十二面體扭棱而成 同時也可以用正二十面體扭棱而成 因此稱其為扭棱十二 二十面體 snub icosidodecahedron 或扭棱截十二面體 10 其兩種手性鏡像中 左旋稱為laevo 11 右旋稱為dextro 5 性質 编辑扭棱十二面體是一種阿基米德立體 為正十二面體 或正二十面體 透過扭稜變換後的結果 在施萊夫利符號中可以用s 5 3 displaystyle s scriptstyle begin Bmatrix 5 3 end Bmatrix 12 或sr 5 3 表示 其具有兩個不同的手性幾何結構 兩者互為鏡像 13 互相組合後可以形成均勻複合體稱為二複合扭棱十二面體 英语 Compound of two snub dodecahedra 其凸包為大斜方截半二十面体 14 構成元素 编辑 扭棱十二面體的展開動畫 扭棱十二面體由92個面 15 60個頂點和150條邊組成 16 在其92個面中有80個正三角形和12個正五邊形 17 18 60個頂點中 每個頂點都是4個正三角形和1個正五邊形的公共頂點 在頂點圖中可以用5 3 3 3 3來表示 19 150條稜中有60條稜是三角形和五邊形的公共稜 90條稜是三角形和三角形的公共稜 體積與表面積 编辑 若扭棱十二面體邊長為1 則其表面積為 A 20 3 3 25 10 5 55 286 744 958 445 15 displaystyle A 20 sqrt 3 3 sqrt 25 10 sqrt 5 approx 55 286 744 958 445 15 體積為 V 12 3 2 3 f 1 3 36 f 7 53 f 6 6 3 3 2 3 37 616 649 962 733 36 displaystyle V frac 12 xi 2 3 varphi 1 xi 36 varphi 7 53 varphi 6 6 sqrt 3 xi 2 3 approx 37 616 649 962 733 36 其中 f 1 5 2 displaystyle varphi frac 1 sqrt 5 2 為黄金分割率 而 3 displaystyle xi 是三次方程式 x 3 2 x 2 f 2 0 displaystyle x 3 2x 2 varphi 2 0 的唯一實數解 換言之 3 f f 5 27 2 3 f f 5 27 2 3 displaystyle xi sqrt 3 frac varphi sqrt varphi frac 5 27 2 sqrt 3 frac varphi sqrt varphi frac 5 27 2 其值約為 3 0 94315125924 displaystyle xi approx 0 94315125924 二面角 编辑 扭棱十二面體有2種二面角 一種是正三角形與正三角形交角 另一種是正三角形與正五邊形交角 其中正三角形與正三角形交角角度約為164 175度 11 16 arccos 2 3 2 3 3 2 865400688 164 175366 displaystyle arccos left frac 2 xi 2 3 3 right approx 2 865400688 approx 164 175366 circ 而正三角形與正五邊形交角的角度約為152 9299度 11 16 arccos 15 4 1 3 3 3 f 1 12 f 19 15 2 66913 152 9299 displaystyle arccos left frac sqrt 15 left 4 left frac 1 xi xi right left 3 varphi 1 right left 12 varphi 19 right right 15 right approx 2 66913 approx 152 9299 circ 其中 f displaystyle varphi 3 displaystyle xi 定義如上 頂點座標 编辑 座標值其中 x displaystyle x 與f displaystyle varphi 的定義同 二面角章節 C 0 f 3 x 2 2 displaystyle C 0 frac varphi sqrt 3 x 2 2 C 1 x f 3 x 2 2 displaystyle C 1 frac x varphi sqrt 3 x 2 2 C 2 f x 1 1 x f 2 displaystyle C 2 frac varphi sqrt left x 1 frac 1 x right varphi 2 C 3 x 2 f 3 x 2 2 displaystyle C 3 frac x 2 varphi sqrt 3 x 2 2 C 4 x f x 1 1 x f 2 displaystyle C 4 frac x varphi sqrt left x 1 frac 1 x right varphi 2 C 5 f 1 x f 1 x 2 displaystyle C 5 frac varphi sqrt 1 x frac varphi 1 x 2 C 6 f x f 1 2 displaystyle C 6 frac varphi sqrt x varphi 1 2 C 7 x 2 f x 1 1 x f 2 displaystyle C 7 frac x 2 varphi sqrt left x 1 frac 1 x right varphi 2 C 8 x f 1 x f 1 x 2 displaystyle C 8 frac x varphi sqrt 1 x frac varphi 1 x 2 C 9 x 2 f 2 2 displaystyle C 9 frac sqrt left x 2 right varphi 2 2 C 10 x x f 1 f 2 displaystyle C 10 frac x sqrt x left varphi 1 right varphi 2 C 11 x 2 2 f 1 f 2 displaystyle C 11 frac sqrt x 2 left 2 varphi 1 right varphi 2 C 12 f x 2 x 2 displaystyle C 12 frac varphi sqrt x 2 x 2 C 13 f 2 x x f 1 2 x displaystyle C 13 frac varphi 2 sqrt x left x varphi right 1 2x C 14 f x x f 1 2 displaystyle C 14 frac varphi sqrt x left x varphi right 1 2 若一扭棱十二面體邊長為一 且質心位於原點 則其頂點座標為下列式子的偶置換 c 2 c 1 c 14 c 0 c 8 c 12 c 7 c 6 c 11 displaystyle left c 2 c 1 c 14 right left c 0 c 8 c 12 right left c 7 c 6 c 11 right 且偶數加上正號 c 3 c 4 c 13 c 9 c 5 c 10 displaystyle left c 3 c 4 c 13 right left c 9 c 5 c 10 right 且奇數加上正號 左旋與右旋則為y座標相反 20 21 正交投影 编辑扭棱十二面體有3個特殊的正交投影 2 分別為於面上投影 兩種 和於稜上投影 一種 其中 在正三角形面上投影 以及 在正五邊形面上投影 其對稱性對應於A2 和 H2的考克斯特平面 22 正交投影 投影於 正三角形面 正五邊形面 稜立體圖 骨架圖 投影對稱性 3 5 2 對偶投影 幾何關聯 编辑 正十二面體 小斜方截半二十面体以及扭棱十二面體 扭棱十二面體可以透過將正十二面體的正五邊形面往外拉 直到完全不接觸後 原本的頂點位置填入三角形 剩下的部分用三角形補滿來構造 而將正十二面體往外拉時 在某個適當的位置時 原本正五邊形與正五邊形的公共稜的位置則可以擺上正方形 此時則會構成小斜方截半二十面体 23 均勻交錯變換的大斜方截半二十面体 而要產生扭棱的形式則需要在將正五邊形面往外拉時稍微有一點旋轉 並只用三角形填滿空隙 而五邊形旋轉的方向不同可以產生手性鏡像 24 扭棱十二面體也可以經由大斜方截半二十面体透過交錯變換來構造 但構造出的扭棱十二面体並非所有面都是正多邊形 其結果稱為截角大斜方截半二十面體 其與扭棱十二面體有著相同的拓樸結構 相關多面體與鑲嵌 编辑扭棱十二面體是正十二面體 或正二十面體 經過扭棱變換後的結果 其他也是由正二十面體透過康威變換得到的多面體有 正二十面体家族半正多面体 對稱群 5 3 英语 Icosahedral symmetry 532 5 3 532 5 3 t0 1 5 3 t1 5 3 t0 1 3 5 3 5 t0 2 5 3 t0 1 2 5 3 s 5 3 半正多面体对偶 V5 5 5 V3 10 10 V3 5 3 5 V5 6 6 V3 3 3 3 3 V3 4 5 4 V4 6 10 V3 3 3 3 5扭棱十二面體的頂點為4個正三角形與1個正五邊形的公共頂點 頂點圖計為3 3 3 3 5 在考克斯特符號中可以用 來表示 其中 正五邊形可以替換為其他多邊形 而構成一個無窮序列 其他頂點圖也為4個正三角形與1個正n邊形的公共頂點 頂點圖 3 3 3 3 n 考克斯特符號計為 的多面體如下表所示 特別地 這些幾何形狀都具有 n32 的旋轉對稱性 當n為6時 幾何體退化成平面的無限面體 為一種半正平面鑲嵌 25 n達到7或以上時 幾何結構則成為雙曲鑲嵌圖 26 而n為2時 其原像退化為三角形二面體 而n為1或更低時 則該形狀不存在 扭棱鑲嵌對稱性 n32 的變種 3 3 3 3 n對稱性n32 英语 Orbifold notation 球面鑲嵌 英语 List of spherical symmetry groups 歐氏鑲嵌 英语 List of planar symmetry groups 緊湊雙曲 仿緊雙曲232 332 432 532 632 732 832 32考克斯特記號 扭稜圖 頂點圖 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 5 3 3 3 3 6 3 3 3 3 7 英语 Snub triheptagonal tiling 3 3 3 3 8 英语 Snub trioctagonal tiling 3 3 3 3 英语 Snub triapeirogonal tiling 扭稜對偶 頂點佈局 英语 Vertex configuration V3 3 3 3 2 V3 3 3 3 3 V3 3 3 3 4 V3 3 3 3 5 V3 3 3 3 6 V3 3 3 3 7 英语 Order 7 3 floret pentagonal tiling V3 3 3 3 8 英语 Order 8 3 floret pentagonal tiling V3 3 3 3 扭稜立體 原像 正四面體 立方體 正八面體 正十二面體 正二十面體扭稜 扭棱四面體sr 3 3 扭棱立方体sr 4 3 扭棱八面體sr 3 4 扭棱十二面体sr 5 3 扭棱二十面体sr 3 5 完全扭稜 完全扭稜四面體b 3 3 完全扭稜立方體b 4 3 二複合二十面體b 3 4 完全扭稜十二面體b 5 3 完全扭稜二十面體b 3 5 扭棱十二面體圖 编辑扭棱十二面體圖 5階對稱性顶点60边150自同构群60属性哈密顿 正則查论编在圖論的數學領域中 與扭棱十二面體相關的圖為扭棱十二面體圖 是扭棱十二面體之邊與頂點的圖 英语 1 skeleton 是一種阿基米德圖 英语 Archimedean graph 27 由於其可以找到哈密頓迴路因此也是一種哈密顿图 扭棱十二面體圖 参见 编辑五角化扭棱十二面体 截半十二面體參考文獻 编辑Jayatilake Udaya Calculations on face and vertex regular polyhedra Mathematical Gazette March 2005 89 514 76 81 Williams Robert The Geometrical Foundation of Natural Structure A Source Book of Design Dover Publications Inc 1979 ISBN 0 486 23729 X Section 3 9 Cromwell P Polyhedra United Kingdom Cambridge 1997 79 86 Archimedean solids ISBN 0 521 55432 2 中華民國第54屆中小學科學展覽會 第三名 滾動奇跡 PDF 高雄市立五福國民中學 2018 09 18 原始内容存档 PDF 于2018 09 17 2 0 2 1 The Snub Dodecahedron eusebeia dyndns org 2018 02 06 2018 09 16 原始内容存档于2018 09 16 Cromwell P Polyhedra CUP hbk 1997 pbk 1999 Ch 2 p 79 86 Archimedean solids ミラーボール2をつくる d hatena ne jp 2018 10 17 原始内容存档于2018 10 17 面の数は多そうだが 正五角形と正三角形の合計92 5 0 5 1 Weisstein Eric W 编 Snub dodecahedron at MathWorld A Wolfram Web Resource 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