五角六十面體

在幾何學中，五角六十面體是一種卡塔蘭立體^[2]，為由60個不等邊五邊形組成的六十面體，並且是阿基米德立體扭棱十二面體的對偶多面體。^[3][4]這種立體是一個等面圖形，也就是說它每個面都全等，但組成面不是正多邊形。五角六十面體有兩種不同的形式，它們互為鏡像（或“對映體”），是為手性鏡像，兩種手性鏡像的面、頂點、邊數皆相同，共有60個面、150個邊、92個頂點。五角六十面體是頂點數最多的卡塔蘭立體。在卡塔蘭立體和阿基米德立體中，五角六十面體的頂點數為第二多，僅次於具有120個頂點的大斜方截半二十面体。

五角六十面體

（按這裡觀看旋轉模型）
類別	卡塔蘭立體 六十面體
對偶多面體	扭棱十二面體
識別
名稱	五角六十面體
鮑爾斯縮寫 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	sapedit
數學表示法
考克斯特符號 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
康威表示法	gD
性質
面	60
邊	150
頂點	92
歐拉特徵數	F=60, E=150, V=92 （χ=2）
二面角	153° 10′ 43′′
組成與佈局
面的種類	不等邊五邊形
面的佈局 （英语：Face configuration）	V3.3.3.3.5 V3^4.5^[1]^:97
頂點的種類	80個3階頂點 12個5階頂點^[1]^:97
對稱性
對稱群	Ih, 1/2H3, [5,3]^+, (532)
旋轉對稱群 （英語：Rotation_groups）	I, [5,3]^+, (532)
圖像
扭棱十二面體 （對偶多面體） （展開圖）
查 论 编

性質

五角六十面體是一個手性多面體（英语：Chirality (mathematics)）^[2]，也就是說，該多面體鏡射之後會跟原本的形狀不同，無法藉由旋轉半周再回到原本的形狀^[5][6][7]。這兩種形式互為鏡像（或“對映體”），又稱為手性鏡像，且其面、頂點、邊數皆相同，共有60個面、150個邊、92個頂點^[8][6][7]。在其92個頂點中，有80個頂點是三階頂點，即3個五邊形的公共頂點和12個頂點是五階頂點，即5個五邊形的公共頂點。^[1]:97

五角六十面體的旋轉透視圖

五角六十面體的另一個手性鏡像的旋轉透視圖

構造

五角六十面體是扭棱十二面体的對偶多面體。事實上，五角六十面體可以不經由對偶變換而從扭棱十二面体構造。首先在扭棱十二面体的所有12個五邊形面上加入五角錐，再將扭棱十二面体的所有不與五邊形面相鄰的20個三角形面上加入三角錐，並調整加入之錐體的錐高，使加入的錐體之側面與其餘60個三角形面共面則形成五角六十面體，然而這種方式構造的五角六十面體會稍微有點形變。^[9]

二面角

五角六十面體只有一種二面角，約為153.18度：^[6][7]

${\displaystyle \arccos {\left(-{\frac {2\left(x+{\frac {2}{x}}\right)\left(1+15\varphi \right)+\left(15+16\varphi \right)}{209}}\right)}\approx }$ 2.67347322717678${\displaystyle \approx }$ 153.178732558°

其中${\displaystyle \varphi }$ 為黃金比例、${\displaystyle x}$ 為${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi +{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi -{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}}$ ^[6][7]

面的組成

五角六十面體60個全等的五邊形面組成，每個五邊形都具有3條短邊和2條長邊，若令${\displaystyle x}$ 為${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi +{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi -{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}}$ ，則短邊與長邊的比為：^[6][7]

${\displaystyle {\frac {1}{x}}:{\frac {x\left(2+7\varphi \right)+\left(5\varphi -3\right)+{\frac {2\left(8-3\varphi \right)}{x}}}{31}}\approx }$ 0.582899534744982414 : 1.019988247022845898

其中${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ 為黃金比例。

 

若令${\displaystyle \xi \approx 0.943\,151\,259\,24}$ 為多項式${\displaystyle x^{3}+2x^{2}-\varphi ^{2}}$ 的根，則長邊與短邊的比值${\displaystyle l}$ 為：

${\displaystyle l={\frac {1+\xi }{2-\xi ^{2}}}\approx 1.749\,852\,566\,74}$ .

也就是說，若短邊為單位長，則長邊的長度約為1.74985單位長。

組成五角六十面體的五邊形有4個相等的鈍角和一個銳角（兩個長邊的夾角）。其中鈍角的角度為${\displaystyle \arccos(-\xi /2)\approx 118.136\,622\,758\,62^{\circ }}$ ，約118度8分^[1]:97，而反餘弦內的值是多項式${\displaystyle 64x^{6}-128x^{5}+64x^{4}+24x^{3}-24x^{2}+1}$ 的第一個實根^[2]；銳角的角度為${\displaystyle \arccos(-\varphi ^{2}\xi /2+\varphi )\approx 67.453\,508\,965\,51^{\circ }}$ ，約67度28分^[1]:97，而反餘弦內的值是多項式${\displaystyle 64x^{6}-384x^{5}+384x^{4}+888x^{3}+168x^{2}-128x-31}$ 的第4個根^[2]。

幾何

扭棱十二面體的面心不能直接作為五角六十面體的頂點，因為4個三角形的面心位於同一個平面上，但五邊形的面心則否，它需要被徑向推出以使其與三角形中心共面。因此，五角六十面體的頂點並不都位於同一個球面上，因此根據定義，五角六十面體不是一個環帶多面體。

若其對偶多面體的邊長為單位長，則對應的五角六十面體八十個三階頂點所在的球面之半徑為：^[6][7]

${\displaystyle {\frac {\sqrt {3\left(x\varphi +1+\varphi +{\frac {1}{x}}\right)}}{2}}\approx }$ 2.1172098986

十二個五階頂點所在的球面之半徑為：^[6][7]

${\displaystyle {\frac {\sqrt {x^{2}\left(1009+1067\varphi \right)+x\left(1168+2259\varphi \right)+\left(1097+941\varphi \right)}}{62}}\approx }$ 2.220000699

體積與表面積

若要計算五角六十面體的體積和表面積，則需要將其中一個五邊形面的短邊表示為${\displaystyle b}$ ，並令常數${\displaystyle t}$ 為：^[10]

${\displaystyle t={\frac {{\sqrt[{3}]{44+12\varphi (9+{\sqrt {81\varphi -15}})}}+{\sqrt[{3}]{44+12\varphi (9-{\sqrt {81\varphi -15}})}}-4}{12}}\approx 0.471\,575\,629\,622}$  .

則短邊長為${\displaystyle b}$ 的五角六十面體表面積（A）為：

${\displaystyle A={\frac {30b^{2}\cdot (2+3t)\cdot {\sqrt {1-t^{2}}}}{1-2t^{2}}}\approx 162.698\,964\,198b^{2}}$ .

體積（V）為：

${\displaystyle V={\frac {5b^{3}(1+t)(2+3t)}{(1-2t^{2})\cdot {\sqrt {1-2t}}}}\approx 189.789\,852\,067b^{3}}$ .

使用以上這些數值，可以計算此形狀的球形度（英语：sphericity）量值：

${\displaystyle \Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V)^{\frac {2}{3}}}{A}}\approx 0.98163}$ 

用途

 

五角六十面體的骰子

由於五角六十面體是一個等面多面體，因此可以製成骰子。^[11]

參見

• 卡塔蘭立體
• 對偶多面體

參考文獻

1. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. 
2. Weisstein, Eric W. (编). Pentagonal Hexecontahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
3. Alan Holden. Shapes, Space, and Symmetry. New York: Columbia University Press. 1971. 
4. Conway, J.H. and Burgiel, H. and Goodman-Strauss, C. The Symmetries of Things. AK Peters/CRC Recreational Mathematics Series. CRC Press. 2016 [2022-07-25]. ISBN 9781439864890. LCCN 2007046446. （原始内容于2022-07-26）.  (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 287, pentagonal icosikaitetrahedron)
5. Coxeter, H. S. M., Kaleidoscopes: Selected Writings, John Wiley and Sons: 282, 1995, ISBN 9780471010036 .
6. David I. McCooey. Catalan Solids: Pentagonal Hexecontahedron (dextro). [2022-07-24]. （原始内容于2022-07-27）. 
7. David I. McCooey. Catalan Solids: Pentagonal Hexecontahedron (laevo). [2022-07-24]. （原始内容于2022-07-27）. 
8. . polyhedra.org. [2008-09-24]. （原始内容存档于2008-07-14）. 
9. Livio Zefiro and Maria Rosa Ardigo. Description of the Forms Belonging to the 235 and m35 Icosahedral Point Groups Starting from the Pairs of Dual Polyhedra: Icosahedron-Dodecahedron and Archimedean Polyhedra-Catalan Polyhedra. [2022-07-25]. （原始内容于2021-05-06）. 
10. Pentagonal Hexecontahedron - Geometry Calculator. rechneronline.de. [2020-05-26]. （原始内容于2022-05-23）. 
11. Fair Dice. mathpuzzle.com. [2022-07-25]. （原始内容于2022-04-26）. 

• Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)
• Wenninger, Magnus（英语：Magnus Wenninger）, Dual Models, Cambridge University Press, 1983, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208, doi:10.1017/CBO9780511569371  (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 29, Pentagonal hexecontahedron)

外部連結

• 埃里克·韦斯坦因, 五角六十面體 （參閱卡塔蘭立體） 於MathWorld（英文）