鳶形二十四面體

鳶形二十四面體由24個面、48條邊、26個頂點組成^[5]，其中24個面為24個全等的鳶形、48條邊中有24條等長的長邊和24條等長的短邊、26個頂點中有8個頂點是3個鳶形的公共頂點，對應的頂角是三面角；以及6個頂點是4個鳶形的公共頂點，對應的頂角是四面角；剩下的12個頂點也是4個鳶形的公共頂點，對應的頂角也是四面角，但角度與前者不同^[6]。它的對偶多面體是小斜方截半立方體。

面的組成编辑

鳶形二十四面體由24個全等的箏形（亦稱為鳶形）所組成^[7]：

該箏形或鳶形的長短邊長比為1:(2 − 1/√2) ≈ 1:7000129289300000000♠1.292893...^[8]，有3個角等角，其角度分別為(115.26°,81.58°,81.58°,81.58°)^[8]

體積與表面積编辑

一個最短邊邊長為a的鳶形二十四面體，其表面積A、體積是V為^[9]：

{\begin{aligned}A&=6{\sqrt {29-2{\sqrt {2}}}}\,a^{2}\\V&={\sqrt {122+71{\sqrt {2}}}}\,a^{3}\end{aligned}}

頂點坐標编辑

若其對偶多面體小斜方截半立方体的邊長為單位長，則對應的幾何中心位於原點的鳶形二十四面體，頂點坐標為^[10]：

\left(0\,,\quad 0\,,\quad \pm {\sqrt {2}}\right)

\left(\pm {\sqrt {2}}\,,\quad 0\,,\quad 0\right)

\left(0\,,\quad \pm {\sqrt {2}}\,,\quad 0\right)

\left(\pm 1\,,\quad 0\,,\quad \pm 1\right)

\left(\pm 1\,,\quad \pm 1\,,\quad 0\right)

\left(0\,,\quad \pm 1\,,\quad \pm 1\right)

\left(\pm {\frac {4+{\sqrt {2}}}{7}}\,,\quad \pm {\frac {4+{\sqrt {2}}}{7}}\,,\quad \pm {\frac {4+{\sqrt {2}}}{7}}\right)

正交投影编辑

鳶形二十四面體有三種從頂點投影的高對稱性正交投影。後兩者的對偶圖其對稱性對應於B₂和A₂的考克斯特平面（英语：Coxeter plane）^[11]^[12]。

正交投影
投影對稱性	[2]	[4]	[6]
圖像
對偶圖像

使用编辑

在文化中，鳶形二十四面體出現在部分藝術創作中，例如莫里茲·柯尼利斯·艾雪的藝術創作《星星》以及马兰·布洛克（荷兰语：Maree_Blok）的裝置藝術《永恆的水》。此外，亦有部份24個面的多面體骰子被設計為鳶形二十四面體的外型，其他常見的24面骰子有三角化八面體、四角化六面體、偽鳶形二十四面體（英语：Pseudo-deltoidal icositetrahedron）、偏方二十四面體和五角化二十四面體等形狀^[13]。

在化學中，部分物質的結晶形狀是鳶形二十四面體。例如，在自然界中，方沸石和石榴石的晶體結構就是鳶形二十四面體，部分實驗中制備的氧化铟奈米晶體亦是這種形狀^[14]。在礦物學中，這種晶體形狀稱為偏方面體（英語：Trapezohedron）^[15]^[16]^[17]，但在幾何學中偏方面體則有其他含意^[18]，表示反柱體的對偶多面體^[19]^[20]。此外在某些情況下會結晶出較不規則的鳶形二十四面體，其在結晶學中稱為偏方二十四面體（英語：diplohedron）^[21]^[16]^[22]。

鳶形二十四面體外型的骰子。
马兰·布洛克（荷兰语：Maree_Blok）《永恆的水》
白榴石的晶體
鈣鐵榴石的晶體
方沸石的晶體
巴西錳鋁石榴石（英语：Spessartine）的晶體