在幾何學 中，截角八面體 [1] 半正多面體 ，屬於阿基米德立體 也是個平行多面體 。由6個正方形 和8個正六邊形 組成，共有14 個面 、36 個邊 以及24 個頂點 [2] 環帶多面體 。同時，因為它具有正方形和六邊形面，因此也是一種戈德堡多面體 ，其戈德堡符號 為GIV (1,1)。另外，由於截角八面體也是一種排列多面體 [3] [4] [5] 截角八面體堆砌 [6]
截角八面體 類別 半正多面體 對偶多面體 四角化立方體 識別 名稱 截角八面體 參考索引 U 08 , C 20 , W 7 鮑爾斯縮寫 toe 數學表示法 考克斯特符號 施萊夫利符號 t0,1 {3,4}0,1,2 {3,3} 威佐夫符號 2 4 | 3 康威表示法 tO 性質 面 14 邊 36 頂點 24 歐拉特徵數 F=14, E=36, V=24 （χ=2） 組成與佈局 面的種類 正方形 正六邊形 面的佈局 6個{4} 頂點圖 4.6.6 對稱性 對稱群 Oh 群h 特性 環帶多面體 圖像
截角八面體的對偶多面體為四角化六面體 。若截角八面體的邊長 為單位長，則其對偶多面體四角化六面體 的邊長會變成 9 8 2 {\displaystyle {\tfrac {9}{8}}\scriptstyle {\sqrt {2}}} 3 2 2 {\displaystyle {\tfrac {3}{2}}\scriptstyle {\sqrt {2}}}
性質 编辑 截角八面體僅具有點可遞性質，也就是截角八面體每一個頂點相鄰面的組成都是一樣的，都是一個四邊形和兩個六邊形的公共頂點。但截角八面體不具面可遞和邊可遞性質，因為截角八面體有兩種面，四邊形和六邊形，邊也不可遞，因為截角八面體並不是所有組成邊的相鄰面都只有一種，截角八面體共有兩種稜，一種為六邊形與六邊形的公共稜、另一種為六邊形與四邊形的公共稜。
由於截角八面體僅具有點可遞性質，因此只能算是均勻多面體 [7] 半正多面體 ，不具擬正多面體 性質。但這個多面體是阿幾米德研究的13種半正多面體之一，因此截角八面體也是一種阿基米德立體 [8]
結構 编辑 截角八面體可以從邊長3a的正八面體 切去六個底邊長為a的四角錐 構成。這些被切下來的棱錐體的底與側面邊長皆等長，因此其側面皆為正三角形，底邊長為a、底面積為a2 ，這些四角錐是正四角錐 ，是第一種詹森多面體 ，J1 。
這些被截下來的正四角錐 其高h與斜高s為：
h = e 2 − 1 2 a 2 = 2 2 a {\displaystyle h={\sqrt {e^{2}-{\frac {1}{2}}a^{2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}a} s = h 2 + 1 4 a 2 = 1 2 a 2 + 1 4 a 2 = 3 2 a {\displaystyle s={\sqrt {h^{2}+{\frac {1}{4}}a^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{4}}a^{2}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}a} 這些數據則確定能從正八面體構成截角八面體的截角 切割深度。若太深則會變成截半八面體 。
[9] 座標 编辑 在(±2,±2,±2)範圍內的平行投影 每個六邊形面切割成六個正三角形產生了八個新的頂點，他們分別為(±1,±1,±1)的所有組合。
邊長為2的平方根 且幾何中心 位於原點 的截角八面體其頂點座標為(0, ±1, ±2)的所有排列。
體積與表面積 编辑 截角立方體的體積 8 2 a 3 {\displaystyle 8{\sqrt {2}}a^{3}} 6 + 12 3 a 2 {\displaystyle 6+12{\sqrt {3}}a^{2}} a {\displaystyle a} [2]
表面積 = 6 + 12 3 a 2 {\displaystyle 6+12{\sqrt {3}}a^{2}} 26.785 a 2 {\displaystyle 26.785a^{2}} 體積 = 8 2 a 3 {\displaystyle 8{\sqrt {2}}a^{3}} 11.314 a 3 {\displaystyle 11.314a^{3}} 作法 编辑 正交投影 编辑 截角八面體的正交投影 建立於 頂點 邊 邊 面 面 截角八面體 四角化六面體 投影 [2] [2] [2] [4] [6]
球面鑲嵌 编辑 分割 编辑 截角八面體可分割成正中央一個正八面體、其餘每個面切成8三角帳塔，剩餘的部分在分割成6個正四角錐 。[10]
虧格 2 虧格 3 D3d , [2+ ,6], (2*3), order 12 Td , [3,3], (*332), order 24
排列多面體 编辑 截角八面體是一種排列多面體 [3] [4] x + y + z + w = 10 {\displaystyle x+y+z+w=10} 二維 形狀是正六邊形 ：三維空間中，(1,2,3)所有排列的坐標在二維子空間 x + y + z = 6 {\displaystyle x+y+z=6}
相關多面體及鑲嵌 编辑 正四面体家族半正多面体 对称性: [3,3], (*332) [3,3]+ , (332) {3,3} t0,1 {3,3} t1 {3,3} t1,2 {3,3} t2 {3,3} t0,2 {3,3} t0,1,2 {3,3} s{3,3} 半正多面体对偶 V3.3.3 V3.6.6 V3.3.3.3 V3.6.6 V3.3.3 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3.3
半正正八面体家族多面体 对称性: [4,3], (*432) [4,3]+ , (432) [1+ ,4,3], (*332) [4,3+ ], (3*2) {4,3} t0,1 {4,3} t1 {4,3} t1,2 {4,3} {3,4} t0,2 {4,3} t0,1,2 {4,3} s{4,3} h{4,3} h1,2 {4,3} 半正多面体的对偶 V4.4.4 V3.8.8 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3 V3.4.4.4 V4.6.8 V3.3.3.3.4 V3.3.3 V3.3.3.3.3
堆砌 编辑 截角八面體可獨立密鋪 三維空間。 截角八面體堆砌 截角八面體可以獨立填滿整個三維空間，而這種由截角八面體堆砌 出來的幾何圖形稱為截角八面體堆砌 。
截角八面體堆砌 是三維空間 內28個半正密鋪之一，由截角八面體獨立堆積而成，雖然他每個胞 都全等、每邊 皆等長，但其不能稱為正密鋪，因為雖然她只由一種胞，截角八面體組成，但是該胞不是正多面體 ，因此並非所有“面”皆全等，因此截角八面體堆砌只能稱為半正堆砌。
其他堆砌 參見 编辑 參考文獻 编辑 ^ Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X ^ 2.0 2.1 Weisstein, Eric W. (编), Truncated Octahedron, (Archimedean solid), at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） ^ 3.0 3.1 莊宛臻. Type B 的排列多面體. 應用數學系. 高雄大學 . 2010-07-03 [2016-01-30 ] . （原始内容存档于2016-01-30）. ^ 4.0 4.1 Cayley graph of S4 . This Cayley graph labeling is shown, e.g., by Ziegler (1995 ). ^ Freitas, Robert A., Jr. Uniform space-filling using only truncated octahedra. Figure 5.5 of Nanomedicine, Volume I: Basic Capabilities, Landes Bioscience, Georgetown, TX, 1999. [2006-09-08 ] . （原始内容于2006-01-14）. ^ John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things , ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)^ Mäder, Roman. The Uniform Polyhedra: Truncated Octahedron. [2006-09-08 ] . （原始内容于2006-09-11）. ^ Cromwell, P. Polyhedra , CUP hbk (1997), pbk. (1999). Ch.2 p.79-86 Archimedean solids ^ Hart, George W. VRML model of truncated octahedron. Virtual Polyhedra: The Encyclopedia of Polyhedra. [2006-09-08 ] . （原始内容于2006-08-22）. ^ Alex Doskey. Chapter 5 - Simplest (R)(A)(Q)(T) Toroids of genus p=1. Alexander's Polyhedra. doskey.com. 2006 [2016-01-30 ] . （原始内容于2016-02-04）. Gaiha, P., and Guha, S.K. Adjacent vertices on a permutohedron. SIAM Journal on Applied Mathematics. 1977, 32 (2): 323–327. doi:10.1137/0132025 . Alexandrov, A.D. Convex polyhedra. Berlin: Springer. 1958: 539. ISBN 3-540-23158-7 Cromwell, P. Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. 1997: 79–86 Archimedean solids . ISBN 0-521-55432-2 外部連結 编辑 埃里克·韦斯坦因 , 截角八面體 （參閱阿基米德立體） 於MathWorld （英文） 埃里克·韦斯坦因 . Permutohedron. MathWorld . Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra x3x4o - toe. bendwavy.org. Editable printable net of a truncated octahedron with interactive 3D view （页面存档备份，存于互联网档案馆 ） 截角八面體形狀的扭計骰 ：Fisher's Truncated Octahedron （页面存档备份，存于互联网档案馆 ）、Truncated Octaminx （页面存档备份，存于互联网档案馆 ）
截角八面體, 在幾何學中, 是一種具有十四個面的半正多面體, 屬於阿基米德立體也是個平行多面體, 由6個正方形和8個正六邊形組成, 共有14個面, 36個邊以及24個頂點, 因為每個面皆具點對稱性質, 因此也是一種環帶多面體, 同時, 因為它具有正方形和六邊形面, 因此也是一種戈德堡多面體, 其戈德堡符號為giv, 另外, 由於也是一種排列多面體, 英语, permutohedron, 因此可以獨立填滿整個三維空間, 而由堆成的圖形稱為堆砌, 按這裡觀看旋轉模型, 類別半正多面體對偶多面體四角化立方體識別名稱參考索. 在幾何學中 截角八面體 1 是一種具有十四個面的半正多面體 屬於阿基米德立體也是個平行多面體 由6個正方形和8個正六邊形組成 共有14個面 36個邊以及24個頂點 2 因為每個面皆具點對稱性質 因此截角八面體也是一種環帶多面體 同時 因為它具有正方形和六邊形面 因此也是一種戈德堡多面體 其戈德堡符號為GIV 1 1 另外 由於截角八面體也是一種排列多面體 英语 permutohedron 3 4 因此可以獨立填滿整個三維空間 5 而由截角八面體堆成的圖形稱為截角八面體堆砌 6 截角八面體 按這裡觀看旋轉模型 類別半正多面體對偶多面體四角化立方體識別名稱截角八面體參考索引U08 C20 W7鮑爾斯縮寫 verse and dimensions的wikia Bowers acronym toe數學表示法考克斯特符號 英语 Coxeter Dynkin diagram 施萊夫利符號t0 1 3 4 t0 1 2 3 3 t 3 4 tr 3 3 威佐夫符號 英语 Wythoff symbol 2 4 33 3 2 康威表示法tObT性質面14邊36頂點24歐拉特徵數F 14 E 36 V 24 x 2 組成與佈局面的種類正方形正六邊形面的佈局 英语 Face configuration 6個 4 8個 6 頂點圖4 6 6對稱性對稱群Oh群and Th特性環帶多面體 permutohedron圖像4 6 6 頂點圖 四角化立方體 對偶多面體 展開圖 查论编截角八面體的對偶多面體為四角化六面體 若截角八面體的邊長為單位長 則其對偶多面體四角化六面體的邊長會變成9 8 2 displaystyle tfrac 9 8 scriptstyle sqrt 2 和3 2 2 displaystyle tfrac 3 2 scriptstyle sqrt 2 個單位長 目录 1 性質 1 1 結構 1 2 座標 1 3 體積與表面積 2 作法 3 正交投影 4 球面鑲嵌 5 分割 6 排列多面體 7 相關多面體及鑲嵌 7 1 堆砌 7 2 多胞體 8 參見 9 參考文獻 10 外部連結性質 编辑截角八面體僅具有點可遞性質 也就是截角八面體每一個頂點相鄰面的組成都是一樣的 都是一個四邊形和兩個六邊形的公共頂點 但截角八面體不具面可遞和邊可遞性質 因為截角八面體有兩種面 四邊形和六邊形 邊也不可遞 因為截角八面體並不是所有組成邊的相鄰面都只有一種 截角八面體共有兩種稜 一種為六邊形與六邊形的公共稜 另一種為六邊形與四邊形的公共稜 由於截角八面體僅具有點可遞性質 因此只能算是均勻多面體 7 中的半正多面體 不具擬正多面體性質 但這個多面體是阿幾米德研究的13種半正多面體之一 因此截角八面體也是一種阿基米德立體 8 結構 编辑 nbsp nbsp 截角八面體可以從邊長3a的正八面體切去六個底邊長為a的四角錐構成 這些被切下來的棱錐體的底與側面邊長皆等長 因此其側面皆為正三角形 底邊長為a 底面積為a2 這些四角錐是正四角錐 是第一種詹森多面體 J1 這些被截下來的正四角錐其高h與斜高s為 h e 2 1 2 a 2 2 2 a displaystyle h sqrt e 2 frac 1 2 a 2 frac sqrt 2 2 a nbsp s h 2 1 4 a 2 1 2 a 2 1 4 a 2 3 2 a displaystyle s sqrt h 2 frac 1 4 a 2 sqrt frac 1 2 a 2 frac 1 4 a 2 frac sqrt 3 2 a nbsp dd 這些數據則確定能從正八面體構成截角八面體的截角切割深度 若太深則會變成截半八面體 nbsp 9 座標 编辑 nbsp nbsp 在 2 2 2 範圍內的平行投影 每個六邊形面切割成六個正三角形產生了八個新的頂點 他們分別為 1 1 1 的所有組合 邊長為2的平方根且幾何中心位於原點的截角八面體其頂點座標為 0 1 2 的所有排列 體積與表面積 编辑 截角立方體的體積8 2 a 3 displaystyle 8 sqrt 2 a 3 nbsp 表面積6 12 3 a 2 displaystyle 6 12 sqrt 3 a 2 nbsp 其中a displaystyle a nbsp 是該截半立方體的邊長 2 表面積 6 12 3 a 2 displaystyle 6 12 sqrt 3 a 2 nbsp 26 785 a 2 displaystyle 26 785a 2 nbsp 體積 8 2 a 3 displaystyle 8 sqrt 2 a 3 nbsp 11 314 a 3 displaystyle 11 314a 3 nbsp 作法 编辑將正八面體進行截角操作 也就是將正八面體的六個頂點切去並在被切掉的地方建立六個正方形面即可得到一個截角八面體 正交投影 编辑截角八面體的正交投影 建立於 頂點 邊4 6 邊6 6 面正方形 面正六邊形截角八面體 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 四角化六面體 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 投影對稱性 2 2 2 4 6 球面鑲嵌 编辑 nbsp nbsp 以正方形面為中心 nbsp 以正六邊形面為中心平行投影 施莱格尔投影 英语 Schlegel diagram 分割 编辑截角八面體可分割成正中央一個正八面體 其餘每個面切成8三角帳塔 剩餘的部分在分割成6個正四角錐 10 虧格 2 虧格 3D3d 2 6 2 3 order 12 Td 3 3 332 order 24 nbsp nbsp 排列多面體 编辑截角八面體是一種排列多面體 英语 permutohedron 3 4 可以以更 對稱 的形式表示 四維空間中 1 2 3 4 所有排列的坐標在三維子空間x y z w 10 displaystyle x y z w 10 nbsp 組成截角八面體 對應的二維形狀是正六邊形 三維空間中 1 2 3 所有排列的坐標在二維子空間x y z 6 displaystyle x y z 6 nbsp 組成正六邊形 nbsp 相關多面體及鑲嵌 编辑正四面体家族半正多面体 对称性 3 3 332 3 3 332 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 3 3 t0 1 3 3 t1 3 3 t1 2 3 3 t2 3 3 t0 2 3 3 t0 1 2 3 3 s 3 3 半正多面体对偶 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp V3 3 3 V3 6 6 V3 3 3 3 V3 6 6 V3 3 3 V3 4 3 4 V4 6 6 V3 3 3 3 3半正正八面体家族多面体 对称性 4 3 432 4 3 432 1 4 3 332 4 3 3 2 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 4 3 t0 1 4 3 t1 4 3 t1 2 4 3 3 4 t0 2 4 3 t0 1 2 4 3 s 4 3 h 4 3 h1 2 4 3 半正多面体的对偶 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp V4 4 4 V3 8 8 V3 4 3 4 V4 6 6 V3 3 3 3 V3 4 4 4 V4 6 8 V3 3 3 3 4 V3 3 3 V3 3 3 3 3堆砌 编辑 nbsp 截角八面體可獨立密鋪三維空間 截角八面體堆砌主条目 截角八面體堆砌 截角八面體可以獨立填滿整個三維空間 而這種由截角八面體堆砌出來的幾何圖形稱為截角八面體堆砌 截角八面體堆砌是三維空間內28個半正密鋪之一 由截角八面體獨立堆積而成 雖然他每個胞都全等 每邊皆等長 但其不能稱為正密鋪 因為雖然她只由一種胞 截角八面體組成 但是該胞不是正多面體 因此並非所有 面 皆全等 因此截角八面體堆砌只能稱為半正堆砌 其他堆砌截角八面體堆砌 小斜方截半正方體堆砌 截角交錯立方體堆砌 nbsp nbsp nbsp 多胞體 编辑 過截角超方形 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 過截角立方體 過截角超立方體 過截角五維超立方體 過截角六維超立方體 英语 Bitruncated 6 cube 過截角七維超立方體 英语 Bitruncated 7 cube 過截角八維超立方體 英语 Bitruncated 8 cube nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 參見 编辑维基共享资源中相关的多媒体资源 截角八面體正八面體 立方體參考文獻 编辑 Williams Robert The Geometrical Foundation of Natural Structure A Source Book of Design Dover Publications Inc 1979 ISBN 0 486 23729 X Section 3 9 2 0 2 1 Weisstein Eric W 编 Truncated Octahedron Archimedean solid at MathWorld A Wolfram Web Resource Wolfram Research Inc 英语 3 0 3 1 莊宛臻 Type B 的排列多面體 應用數學系 高雄大學 2010 07 03 2016 01 30 原始内容存档于2016 01 30 4 0 4 1 Cayley graph of S4 This Cayley graph labeling is shown e g by Ziegler 1995 Freitas Robert A Jr Uniform space filling using only truncated octahedra Figure 5 5 of Nanomedicine Volume I Basic Capabilities Landes Bioscience Georgetown TX 1999 2006 09 08 原始内容存档于2006 01 14 外部链接存在于 publisher 帮助 John H Conway Heidi Burgiel Chaim Goodman Strauss 2008 The Symmetries of Things ISBN 978 1 56881 220 5 Chapter 21 Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings Architectonic and Catoptric tessellations p 292 298 includes all the nonprismatic forms Mader Roman The Uniform Polyhedra Truncated Octahedron 2006 09 08 原始内容存档于2006 09 11 Cromwell P Polyhedra CUP hbk 1997 pbk 1999 Ch 2 p 79 86 Archimedean solids Hart George W VRML model of truncated octahedron Virtual Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra 2006 09 08 原始内容存档于2006 08 22 外部链接存在于 publisher 帮助 Alex Doskey Chapter 5 Simplest R A Q T Toroids of genus p 1 Alexander s Polyhedra doskey com 2006 2016 01 30 原始内容存档于2016 02 04 Gaiha P and Guha S K Adjacent vertices on a permutohedron SIAM Journal on Applied Mathematics 1977 32 2 323 327 doi 10 1137 0132025 Alexandrov A D Convex polyhedra Berlin Springer 1958 539 ISBN 3 540 23158 7 Cromwell P Polyhedra United Kingdom Cambridge 1997 79 86 Archimedean solids ISBN 0 521 55432 2 外部連結 编辑埃里克 韦斯坦因 截角八面體 參閱阿基米德立體 於MathWorld 英文 埃里克 韦斯坦因 Permutohedron MathWorld Klitzing Richard 3D convex uniform polyhedra x3x4o toe bendwavy org Editable printable net of a truncated octahedron with interactive 3D view 页面存档备份 存于互联网档案馆 截角八面體形狀的扭計骰 Fisher s Truncated Octahedron 页面存档备份 存于互联网档案馆 Truncated Octaminx 页面存档备份 存于互联网档案馆 取自 https zh wikipedia org w index php title 截角八面體 amp oldid 74736081, 维基百科，wiki ，书籍，书籍，图书馆，
文章 ，阅读，下载，免费，免费下载，mp3，视频，mp4，3gp， jpg，jpeg，gif，png，图片，音乐，歌曲，电影，书籍，游戏，游戏。