在幾何學 中，三角化四面體 （英語：triakis tetrahedron 或kistetrahedron [2] 卡塔蘭多面體 ，其為截角正四面體 的對偶多面體 [3]
三角化四面體 類別 卡塔蘭立體 對偶多面體 截角正四面體 識別 鮑爾斯縮寫 tikit 數學表示法 考克斯特符號 性質 面 12 邊 18 頂點 8 歐拉特徵數 F=12, E=18, V=8 （χ=2） 二面角 129° 31' 16" arccos ( − 7 11 ) {\displaystyle \arccos(-{\frac {7}{11}})} 組成與佈局 面的種類 等腰三角形 面的佈局 V3.6.6 頂點圖 4{3}+4{6} 對稱性 對稱群 Td , A3 , [3,3], *332 旋轉對稱群 T, [3,3]+ , 332 特性 凸、face-transitive 圖像
在礦物學 中，這種形狀 又稱為三四面體 [4] [5] [6]
性質 三角化四面體是一種卡塔蘭立體 ，由12個面、18條邊和8個頂點 組成[7] 對偶多面體 是一個阿基米德立體 ——截角四面體 [7] [3] 等腰三角形 組成，其頂點有兩種：一種為3個等腰三角形的公共頂點，另一種為6個等腰三角形的公共頂點。
三角化四面體可以看做是在正四面體每個面上加上錐高為 6 15 {\displaystyle {\frac {\sqrt {6}}{15}}} 三角錐 後所形成的形狀[8] 正三角形 三邊各加一個等腰三角形 拼成的正六邊形 在立體幾何 中的推廣。
面的組成 三角化四面體的面由12個全等 的等腰三角形 組成[9] [10] [9]
組成三角化四面體的等腰三角形，其頂角為 2 cot − 1 11 5 {\displaystyle 2\cot ^{-1}{\frac {\sqrt {11}}{5}}} tan − 1 11 5 {\displaystyle \tan ^{-1}{\frac {\sqrt {11}}{5}}}
體積與表面積 一個最短邊長為單位長的三角化四面體 ，它的表面積 為 5 3 11 {\displaystyle {\tfrac {5}{3}}\scriptstyle {\sqrt {11}}} 體積 為 25 36 2 {\displaystyle {\tfrac {25}{36}}\scriptstyle {\sqrt {2}}} [8]
另一方面，也可以從其對偶多面體來計算體積。若其對偶多面體——截角四面體 邊長為a，可以先得出三角化四面體的邊長：
短邊為 9 5 a = 1.8 a {\displaystyle {\frac {9}{5}}a=1.8a} [10] [8] 長邊為3a個單位長[10] [8] 半周長為 S = 2 × 9 5 + 3 2 a = 3.3 a {\displaystyle S={\frac {2\times {\frac {9}{5}}+3}{2}}a=3.3a} 海倫公式 可求得一個面的面積： s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) = 3.3 ( 3.3 − 9 5 ) 2 ( 3.3 − 3 ) a 2 = 9 11 20 a 2 ≈ 1.49248 a 2 {\displaystyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}={\sqrt {3.3(3.3-{\frac {9}{5}})^{2}(3.3-3)}}a^{2}={\frac {9{\sqrt {11}}}{20}}a^{2}\approx 1.49248a^{2}} [註 1] 則體積V 與表面積A 為[10]
V = 81 2 20 a 3 ≈ 5.72756 a 3 {\displaystyle V={\frac {81{\sqrt {2}}}{20}}a^{3}\approx 5.72756a^{3}} A = 27 11 5 a 2 ≈ 17.90977 a 2 {\displaystyle A={\frac {27{\sqrt {11}}}{5}}a^{2}\approx 17.90977a^{2}} 二面角 三角化四面體的二面角有2種結構，一種是等腰三角形長邊與長邊的二面角，另一種是短邊與短邊的二面角。兩個二面角角度皆相同，其值為負十一分之七的反餘弦 值[10]
cos − 1 ( − 7 11 ) ≈ 2.26057 ≈ 129.521196 ∘ {\displaystyle \cos ^{-1}\left(-{\frac {7}{11}}\right)\approx 2.26057\approx 129.521196^{\circ }} [10]
正交投影 三角化四面體有4個特殊的正交投影，分別為於稜上投影（兩種）、於面上投影和於面與頂點上投影。
正交投影 投影位置 於稜上投影 於面上投影 於面與頂點上投影 於稜上投影（交叉） 三角化 （對偶） 投影 [1] [1] [3] [4]
相關多面體與鑲嵌 三角化四面體是正四面體 經過三角化 變換後的結果，其他也是由正四面體透過康威變換 得到的多面體有：
正四面体家族半正多面体 对称性: [3,3], (*332) [3,3]+ , (332) {3,3} t0,1 {3,3} t1 {3,3} t1,2 {3,3} t2 {3,3} t0,2 {3,3} t0,1,2 {3,3} s{3,3} 半正多面体对偶 V3.3.3 V3.6.6 V3.3.3.3 V3.6.6 V3.3.3 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3.3
三角化四面體是由等腰三角形組成，且對偶多面體由正六邊形 與正三角形 交錯組成。同樣由等腰三角形組成，且對偶多面體由正多邊形與正三角形交錯組成的多面體或鑲嵌圖包括：
對偶複合體 對偶複合體，即一個多面體 與其對偶多面體 組合成的複合圖形。三角化四面體與其對偶的複合體為複合截角四面體三角化四面體 。其共有20個面、36條邊和20個頂點，其尤拉示性數 為4，虧格 為-1[11]
面的組成 複合截角四面體三角化四面體由4個正三角形、4個正六邊形和12個等腰三角形組成，其中組成的等腰三角形與三角化四面體完全相同，邊長比同為3:3:5，但有部分隱沒在截角四面體中，如下圖所示，露在該立體外部的部分，以藍色表示，隱沒在立體內部的部分以白色表示，其中黑線代表等腰三角形與其對偶多面體截角四面體相交 的位置：
複合截角四面體三角化四面體中的截角四面體亦有部分隱沒在三角化四面體中，如下圖所示：
對偶多面體 三角化四面體的對偶多面體是一種由4個正三角形 和4個正六邊形 組成的多面體[12] 12 個頂點和18 條棱，可以想象為將正四面體 的頂點切去，稱為截角四面體 [7] [3] [8]
四半面體對稱性 三角化四面體可以看做是四半面體[13]
其他變體 三角化四面體為正四面體每個面都加上適當高度的角錐所形成的幾何形狀[9]
而若加入的角錐為正三角錐（正四面體 ）則會產生正五胞体 的展開圖：
而若加入的角錐為直角三角錐，則會使等腰三角形兩兩共面形成立方體。可以透過在立方體的面上畫上六個對角線看出此特性：
參見
註解
參考文獻 Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X Wenninger, Magnus Cambridge University Press , 1983, ISBN 978-0-521-54325-5MR 0730208 , doi:10.1017/CBO9780511569371 ^ The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 284, Triakis tetrahedron)^ Conway, Symmetries of things[1] ^ 3.0 3.1 3.2 Holden, A. Shapes, Space, and Symmetry. New York: Columbia University Press, p. 55, 1971., p. 55 ^ 三四面體 tristetrahedron. 國家教育研究院 . [2018-08-23 ] . （原始内容于2018-08-26）. ^ Correns, C. W. Einführung in die Mineralogie (Kristallographie und Petrologie). Berlin: Springer-Verlag. 1949: p. 41. ^ Berry, L. G. and Mason, B. Mineralogy: Concepts, Descriptions, Determinations. San Francisco, CA: W. H. Freeman, 1959., p. 127 ^ 7.0 7.1 7.2 triakistetrahedron. bulatov.com. [2018-08-26 ] . （原始内容于2017-12-06）. ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 Weisstein, Eric W. (编). Triakis tetrahedron. at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） . ^ 9.0 9.1 9.2 Triakis Tetrahedron Calculator. rechneronline.de. [2018-08-26 ] . （原始内容于2017-10-02）. ^ 10.0 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 Catalan Solids: Triakis Tetrahedron. dmccooey.com. [2018-08-26 ] . （原始内容于2018-01-27）. ^ compound of truncated tetrahedron and triakistetrahedron. bulatov.org. [2018-08-26 ] . （原始内容于2017-12-06）. ^ Weisstein, Eric W. (编). Truncated tetrahedron. at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） . ^ 四半面體 tetartoid. 國家教育研究院. [2018-08-23 ] . （原始内容于2018-08-26）.
外部連結
三角化四面體, 在幾何學中, 英語, triakis, tetrahedron或kistetrahedron, 是一種卡塔蘭多面體, 其為截角正四面體的對偶多面體, 单击查看旋转模型, 類別卡塔蘭立體對偶多面體截角正四面體識別鮑爾斯縮寫, verse, dimensions的wikia, bowers, acronym, tikit數學表示法考克斯特符號, 英语, coxeter, dynkin, diagram, 性質面12邊18頂點8歐拉特徵數f, 二面角129, arccos, displaystyle, a. 在幾何學中 三角化四面體 英語 triakis tetrahedron或kistetrahedron 2 是一種卡塔蘭多面體 其為截角正四面體的對偶多面體 3 三角化四面體 单击查看旋转模型 類別卡塔蘭立體對偶多面體截角正四面體識別鮑爾斯縮寫 verse and dimensions的wikia Bowers acronym tikit數學表示法考克斯特符號 英语 Coxeter Dynkin diagram 性質面12邊18頂點8歐拉特徵數F 12 E 18 V 8 x 2 二面角129 31 16 arccos 7 11 displaystyle arccos frac 7 11 組成與佈局面的種類等腰三角形面的佈局 英语 Face configuration V3 6 6頂點圖4 3 4 6 對稱性對稱群Td A3 3 3 332旋轉對稱群 英語 Rotation groups T 3 3 332特性凸 face transitive圖像截角正四面體 對偶多面體 展開圖 查论编在礦物學中 這種形狀又稱為三四面體 4 英語 tristetrahedron 5 6 目录 1 性質 1 1 面的組成 1 2 體積與表面積 1 3 二面角 2 正交投影 3 相關多面體與鑲嵌 3 1 對偶複合體 3 2 對偶多面體 3 3 四半面體對稱性 3 4 其他變體 4 參見 5 註解 6 參考文獻 7 外部連結性質 编辑 三角化四面體的旋轉透視圖 三角化四面體是一種卡塔蘭立體 由12個面 18條邊和8個頂點組成 7 對偶多面體是一個阿基米德立體 截角四面體 7 3 由於其對偶多面體具有點可遞的性質 因此三角化四面體擁有面可遞的性質 即所有面皆全等 三角化四面體由12個全等的等腰三角形組成 其頂點有兩種 一種為3個等腰三角形的公共頂點 另一種為6個等腰三角形的公共頂點 三角化四面體可以看做是在正四面體每個面上加上錐高為6 15 displaystyle frac sqrt 6 15 倍邊長的三角錐後所形成的形狀 8 可以視為正三角形三邊各加一個等腰三角形拼成的正六邊形在立體幾何中的推廣 面的組成 编辑 三角化四面體的面由12個全等的等腰三角形組成 9 三角形的邊長比為3 3 5 10 9 組成三角化四面體的等腰三角形 其頂角為2 cot 1 11 5 displaystyle 2 cot 1 frac sqrt 11 5 約為112 89 底角為tan 1 11 5 displaystyle tan 1 frac sqrt 11 5 約為33 56 體積與表面積 编辑 一個最短邊長為單位長的三角化四面體 它的表面積為5 3 11 displaystyle tfrac 5 3 scriptstyle sqrt 11 體積為25 36 2 displaystyle tfrac 25 36 scriptstyle sqrt 2 8 另一方面 也可以從其對偶多面體來計算體積 若其對偶多面體 截角四面體邊長為a 可以先得出三角化四面體的邊長 短邊為9 5 a 1 8 a displaystyle frac 9 5 a 1 8a 個單位長 10 8 長邊為3a個單位長 10 8 半周長為S 2 9 5 3 2 a 3 3 a displaystyle S frac 2 times frac 9 5 3 2 a 3 3a 透過海倫公式可求得一個面的面積 s s a s b s c 3 3 3 3 9 5 2 3 3 3 a 2 9 11 20 a 2 1 49248 a 2 displaystyle sqrt s s a s b s c sqrt 3 3 3 3 frac 9 5 2 3 3 3 a 2 frac 9 sqrt 11 20 a 2 approx 1 49248a 2 註 1 dd 則體積V與表面積A為 10 V 81 2 20 a 3 5 72756 a 3 displaystyle V frac 81 sqrt 2 20 a 3 approx 5 72756a 3 A 27 11 5 a 2 17 90977 a 2 displaystyle A frac 27 sqrt 11 5 a 2 approx 17 90977a 2 二面角 编辑 三角化四面體的二面角有2種結構 一種是等腰三角形長邊與長邊的二面角 另一種是短邊與短邊的二面角 兩個二面角角度皆相同 其值為負十一分之七的反餘弦值 10 cos 1 7 11 2 26057 129 521196 displaystyle cos 1 left frac 7 11 right approx 2 26057 approx 129 521196 circ 10 正交投影 编辑三角化四面體有4個特殊的正交投影 分別為於稜上投影 兩種 於面上投影和於面與頂點上投影 正交投影 投影位置 於稜上投影 於面上投影 於面與頂點上投影 於稜上投影 交叉 三角化四面體 對偶 截角四面體 投影對稱性 1 1 3 4 相關多面體與鑲嵌 编辑 球面鑲嵌版本的三角化四面體 三角化四面體是正四面體經過三角化變換後的結果 其他也是由正四面體透過康威變換得到的多面體有 正四面体家族半正多面体 对称性 3 3 332 3 3 332 3 3 t0 1 3 3 t1 3 3 t1 2 3 3 t2 3 3 t0 2 3 3 t0 1 2 3 3 s 3 3 半正多面体对偶 V3 3 3 V3 6 6 V3 3 3 3 V3 6 6 V3 3 3 V3 4 3 4 V4 6 6 V3 3 3 3 3三角化四面體是由等腰三角形組成 且對偶多面體由正六邊形與正三角形交錯組成 同樣由等腰三角形組成 且對偶多面體由正多邊形與正三角形交錯組成的多面體或鑲嵌圖包括 n32變異對稱性的截角鑲嵌 英语 Template Truncated figure1 table 3 2n 2n 對稱性 n32 n 3 球面鑲嵌 英语 List of spherical symmetry groups 歐氏鑲嵌 英语 List of planar symmetry groups 緊湊雙曲 非緊雙曲 232 2 3 332 3 3 432 4 3 532 5 3 632 6 3 732 7 3 832 8 3 32 3 截角鑲嵌 頂點 英语 Vertex configuration 3 4 4 3 6 6 3 8 8 3 10 10 3 12 12 3 14 14 英语 Truncated heptagonal tiling 3 16 16 英语 Truncated octagonal tiling 3 英语 Truncated order 3 apeirogonal tiling 三角化鑲嵌 頂點 英语 Vertex configuration V3 4 4 V3 6 6 V3 8 8 V3 10 10 V3 12 12 V3 14 14 英语 Truncated heptagonal tiling Dual tiling V3 16 16 英语 Truncated octagonal tiling Dual tiling V3 英语 Truncated order 3 apeirogonal tiling Dual tiling 對偶複合體 编辑 複合截角四面體三角化四面體 複合截角四面體三角化四面體類別複合半正多面體對偶多面體自身對偶性質體2面20邊36頂點20歐拉特徵數F 20 E 36 V 20 x 4 組成與佈局複合幾何體數量2複合幾何體種類1個三角化四面體 1個截角四面體 面的種類12個等腰三角形4個正三角形4個正六邊形對稱性對稱群四面體群 Td 查论编對偶複合體 即一個多面體與其對偶多面體組合成的複合圖形 三角化四面體與其對偶的複合體為複合截角四面體三角化四面體 其共有20個面 36條邊和20個頂點 其尤拉示性數為4 虧格為 1 11 正交投影 以正六邊形面為中心 以正三角形面為中心面的組成複合截角四面體三角化四面體由4個正三角形 4個正六邊形和12個等腰三角形組成 其中組成的等腰三角形與三角化四面體完全相同 邊長比同為3 3 5 但有部分隱沒在截角四面體中 如下圖所示 露在該立體外部的部分 以藍色表示 隱沒在立體內部的部分以白色表示 其中黑線代表等腰三角形與其對偶多面體截角四面體相交的位置 複合截角四面體三角化四面體中的截角四面體亦有部分隱沒在三角化四面體中 如下圖所示 正六邊形面 正三角形面對偶多面體 编辑 主条目 截角四面體 三角化四面體 對偶多面體 截角四面體三角化四面體的對偶多面體是一種由4個正三角形和4個正六邊形組成的多面體 12 有12個頂點和18條棱 可以想象為將正四面體的頂點切去 稱為截角四面體 7 3 8 四半面體對稱性 编辑 三角化四面體可以看做是四半面體 13 對稱性退化的極限 四半面體變體的範例 其他變體 编辑 三角化四面體為正四面體每個面都加上適當高度的角錐所形成的幾何形狀 9 而若加入的角錐為正三角錐 正四面體 則會產生正五胞体的展開圖 而若加入的角錐為直角三角錐 則會使等腰三角形兩兩共面形成立方體 可以透過在立方體的面上畫上六個對角線看出此特性 參見 编辑截角三角化四面體註解 编辑 使用wolframalpha計算 1 页面存档备份 存于互联网档案馆 參考文獻 编辑Williams Robert The Geometrical Foundation of Natural Structure A Source Book of Design Dover Publications Inc 1979 ISBN 0 486 23729 X Section 3 9 Wenninger Magnus 英语 Magnus J Wenninger Dual Models Cambridge University Press 1983 ISBN 978 0 521 54325 5 MR 0730208 doi 10 1017 CBO9780511569371 The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals Page 14 Triakistetrahedron The Symmetries of Things 2008 John H Conway Heidi Burgiel Chaim Goodman Strass ISBN 978 1 56881 220 5 2 Chapter 21 Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings page 284 Triakis tetrahedron Conway Symmetries of things 1 p 284 3 0 3 1 3 2 Holden A Shapes Space and Symmetry New York Columbia University Press p 55 1971 p 55 三四面體 tristetrahedron 國家教育研究院 2018 08 23 原始内容存档于2018 08 26 Correns C W Einfuhrung in die Mineralogie Kristallographie und Petrologie Berlin Springer Verlag 1949 p 41 引文格式1维护 冗余文本 link Berry L G and Mason B Mineralogy Concepts Descriptions Determinations San Francisco CA W H Freeman 1959 p 127 7 0 7 1 7 2 triakistetrahedron bulatov com 2018 08 26 原始内容存档于2017 12 06 8 0 8 1 8 2 8 3 8 4 Weisstein Eric W 编 Triakis tetrahedron at MathWorld A Wolfram Web Resource Wolfram Research Inc 英语 9 0 9 1 9 2 Triakis Tetrahedron Calculator rechneronline de 2018 08 26 原始内容存档于2017 10 02 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 Catalan Solids Triakis Tetrahedron dmccooey com 2018 08 26 原始内容存档于2018 01 27 compound of truncated tetrahedron and triakistetrahedron bulatov org 2018 08 26 原始内容存档于2017 12 06 Weisstein Eric W 编 Truncated tetrahedron at MathWorld A Wolfram Web Resource Wolfram Research Inc 英语 四半面體 tetartoid 國家教育研究院 2018 08 23 原始内容存档于2018 08 26 外部連結 编辑埃里克 韦斯坦因 三角化四面體 參閱卡塔蘭立體 於MathWorld 英文 取自 https zh wikipedia org w index php title 三角化四面體 amp oldid 75153480, 维基百科，wiki ，书籍，书籍，图书馆，
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