扭棱四面體

在幾何學中，扭棱四面體是指正四面體經過扭棱變換後所形成的多面體。其拓樸結構與正二十面體等價。一般會將這種立體的面分為3組，一組是原始四面體的面，另一組是來自原像之頂點圖的面，另一組是扭棱變換過程中所形成的面。若兩組面構成的三角形不全等，其結果立體將會變成一個外觀與正二十面體非常相似，但不相同的立體，因此又稱偽正二十面體^[1]，其具備五角十二面體（黃鐵礦晶型）對稱性^[2]。部分文獻將這種立體稱為扭棱八面體（snub octahedron）^[3]、扭棱截半四面體（或扭棱四-四面體，snub tetratetrahedron）^[4]。部分礦石的晶體結構會結晶成這種形狀。^[5]

扭棱四面體

類別	凸多面體
對偶多面體	五角十二面體
數學表示法
考克斯特符號 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）	(五角十二面體對稱) (四面體對稱)
性質
面	20
邊	30
頂點	12
歐拉特徵數	F=20, E=30, V=12 （χ=2）
組成與佈局
面的種類	8個正三角形 12個等腰三角形
對稱性
對稱群	Th, [4,3^+], (3*2), order 24
旋轉對稱群 （英語：Rotation_groups）	Td, [3,3]^+, (332), order 12
特性
凸
圖像
五角十二面體 （對偶多面體） （展開圖）
查 论 编

這個立體是五角十二面體的對偶多面體。^[6]

性質

扭棱四面體是一種二十面體，由20個三角形組成。扭棱四面體可以視為四面體經過扭棱變換所形成的立體，在扭稜的過程中會形成3種面，一種是原始四面體的面、另一種是來自原像頂點圖的面、還有一種是扭棱變換過程中所形成的面。若這三種面皆全等，整個立體將與正二十面體無異。^[7][8]

四面體扭棱成扭棱四面體的過程， 其中藍色的面代表原始四面體的面； 紅色的面代表來自原像頂點圖的面； 白色的面代表扭棱變換過程中所形成的面

拓樸結構

扭棱四面體的拓樸結構與正二十面體等價^[5]。若將四面體扭棱過程中所形成的面兩兩合併為1個菱形，則其拓樸結構與截半立方體相同。^[4]

 

頂點座標

這種立體的頂點座標可以用${\displaystyle (\pm 2,\pm 1,0)}$ 的循環排列來構造，這個頂點排構建方式又可視為是交錯截角的截角八面體，其與耶森二十面體相同，但頂點間相連方式不同^[9]。而若取${\displaystyle (\pm \varphi ,\pm 1,0)}$ 則會變為正二十面體，其中${\displaystyle \varphi }$ 為黃金比例。^[1]

耶森二十面體

主条目：耶森二十面體

耶森二十面體是一個與扭棱四面體相同頂點排列方式的立體，但耶森二十面體頂點間的相連方式與扭棱四面體不同。耶森二十面體是非凸多面體，並具有直角的二面角。^[10]

 

對偶多面體

主条目：五角十二面體

 

五角十二面體

這種立體因為外觀與正二十面體十分類似，但不是正多面體因此又被稱為偽正二十面體。其對偶多面體也非常類似正二十面體的對偶多面體——正十二面體，然而其也不是正多面體。這種立體的對偶多面體為五角十二面體，是一種由12個不等邊五邊形組成的十二面體，具有四面體群對稱性。其與正十二面體類似，皆是由12個全等的五邊形組成，且每個頂點都是3個五邊形的公共頂點^[11]，但由於其面不是正多邊形，其頂點的排佈未能達到五摺對稱性，因此不屬於正多面體。部分的化學物質或礦石^[12]其晶體形狀是這種形狀，例如黄铁矿和部分的天然氣水合物^[13]。其英文名稱Pyritohedron是來自黄铁矿的英文pyrite以及多面體的字尾-hedron命名的。^[14]

相關多面體

扭稜立體

原像	正四面體	立方體	正八面體	正十二面體	正二十面體
扭稜	扭棱四面體 sr{3,3}
		扭棱立方体 sr{4,3}	扭棱八面體 sr{3,4}	扭棱十二面体 sr{5,3}	扭棱二十面体 sr{3,5}
完全扭稜	完全扭稜四面體 β{3,3}	完全扭稜立方體 β{4,3}	二複合二十面體 β{3,4}	完全扭稜十二面體 β{5,3}	完全扭稜二十面體 β{3,5}

參見

• 扭稜鍥形體
• 五角十二面體
• 正二十面體

參考文獻

1. John Baez. Fool's Gold. September 11, 2011 [2021-08-14]. （原始内容于2018-05-19）. 
2. Symmetries Up To Three Dimensions. （原始内容存档于2021-08-14）. 
3. Kappraff, J. Connections: The Geometric Bridge Between Art & Science (2nd Edition). Series On Knots And Everything. World Scientific Publishing Company. 2001: 475 [2021-08-14]. ISBN 9789814491327. （原始内容于2021-08-14）. 
4. Jim McNeill. Polyhedral "Twisters". orchidpalms.com. [2021-08-14]. （原始内容于2019-03-11）. 
5. John Baez. Who Discovered the Icosahedron?. Special Session on History and Philosophy of Mathematics, 2009 Fall Western Section Meeting of the AMS. September 11, 2009 [2021-08-14]. （原始内容于2020-05-29）. 
6. Th. Hahn (编). Crystallographic and noncrystallographic point groups (PDF). International Tables for Crystallography: Space-group symmetry. International Tables for Crystallography 1 (Chester, England: International Union of Crystallography). 2006-10-01, A: pp. 763–795 [2021-08-14]. ISBN 9780792365907. doi:10.1107/97809553602060000100. （原始内容 (PDF)于2021-08-14）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
7. John Sharp. Have you seen this number?. The Mathematical Gazette. 1998-07, 82 (494): 203–214 [2021-08-16]. ISSN 0025-5572. doi:10.2307/3620403 （英语）. 
8. George W. Hart. Symmetry Planes. 1996 [2021-08-14]. （原始内容于2021-08-16）. 
9. Børge Jessen. Orthogonal icosahedra. Nordisk Matematisk Tidskrift. 1967, 15 (2): 90–96. JSTOR 24524998. MR 0226494. 
10. Branko Grünbaum. Acoptic polyhedra (PDF). Advances in Discrete and Computational Geometry (South Hadley, MA, 1996). Contemporary Mathematics 223. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. 1999: 163–199 [2021-08-14]. MR 1661382. doi:10.1090/conm/223/03137. （原始内容 (PDF)于2021-03-31）. 
11. Crystal Habit （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Galleries.com. Retrieved on 2016-12-02.
12. 中村慶三郎. 朝鮮コバルト鑛床調査概報. 地学雑誌 (公益社団法人 東京地学協会). 1942, 54 (6): 211––230. 
13. 天然氣水合物能替代石油嗎？. 科學人雜誌 - 遠流. [2021-08-14]. （原始内容于2021-08-16）. 天然氣水合物常見的兩種籠狀結構為五角十二面體 
14. Pyrite. stonetrust. [2019-11-04]. （原始内容于2019-02-23）. 

外部連結

• 扭棱四面體的各種變體 （页面存档备份，存于互联网档案馆）