拓扑空间

拓扑空间（英語：Topological space）是一种賦予「一點附近」這個概念的抽象数学结构，由此可以定義出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。

定义动机

拓扑結構最實用的動機，在於怎麼去定義「一點的附近」，用以定義函數極限。

對於度量空间 ${\displaystyle (M,\,d)}$  內的任一點 ${\displaystyle x}$ ，可定義中心為 ${\displaystyle x}$ ，半徑為 ${\displaystyle r>0}$  的開球

${\displaystyle B(x;r):=\left\{y\in M\,{\bigg |}\,d(x,\,y)<r\right\}}$ 

然後把開球視為點 ${\displaystyle x}$  附近的「開放邊界區域」。但考慮到「區域」應該是有任意形狀的，那一般的「開放邊界區域」，應該是任取裡面的點 ${\displaystyle x}$  ，都會有一個夠小的開球 ${\displaystyle B(x;r)}$  完全落在這個區域裡，也就是說，可以定義 ${\displaystyle (M,\,d)}$  的開子集 ${\displaystyle O\subseteq M}$  為滿足如下條件的子集合

${\displaystyle (\forall x\in O)(\exists r>0)[\,B(x;r)\subseteq O\,]}$ 

這樣定義的開集有一些有趣的性質：

(1) 任二開集的交集也是開集

任取兩個 ${\displaystyle (M,\,d)}$  的開子集 ${\displaystyle O_{1},\,O_{2}\subseteq M}$  ，若 ${\displaystyle x\in O_{1}\cap O_{2}}$  ，根據定義存在 ${\displaystyle r_{1},\,r_{2}>0}$  使得

${\displaystyle B(x;r_{1})\subseteq O_{1}}$ 

${\displaystyle B(x;r_{2})\subseteq O_{2}}$ 

這樣若取 ${\displaystyle r=\min {\{r_{1},\,r_{2}\}}}$  ，則會有：

${\displaystyle B(x;r)\subseteq O_{1}\cap O_{2}}$ 

也就是說， ${\displaystyle O_{1}\cap O_{2}}$  也是個開集。

(2) 任意個開集的并集也會是開集

若 ${\displaystyle {\mathfrak {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)}$  是一群開集所構成的集合，也就是說

${\displaystyle \forall O\{(O\in {\mathfrak {A}})\Rightarrow (\forall x\in O)(\exists r>0)[\,B(x;r)\subseteq O\,]\}}$ 

如果取

${\displaystyle a\in \bigcup {\mathfrak {A}}}$ 

換句話說：

${\displaystyle \exists O[\,(O\in {\mathfrak {A}})\wedge (a\in O)\,]}$ 

這樣的話，顯然有

${\displaystyle (\exists r>0)\left[\,B(a;r)\subseteq \bigcup {\mathfrak {A}}\,\right]}$ 

所以 ${\displaystyle \bigcup {\mathfrak {A}}}$  也會是一個開集。

以上的性質促使人們在不依託度量情況下，去定義一個描述「一點的附近」的結構，換句話說，去抽象的定義一群開集是這麼樣的特殊集合，任二開集的交集是開的且任意開集的聯集也是開的。

正式定义

 

上圖為三點集合{1,2,3}上四個拓撲的例子和兩個反例。左下角的集合並不是個拓撲空間，因為缺少{2}和{3}的聯集{2,3}；右下角的集合也不是個拓撲空間，因為缺少{1,2}和{2,3}的交集{2}。

拓扑结构一词涵盖了开集系，闭集系，邻域系，开核，閉包，导集，滤子等若干概念。可以从这些概念出发，给出若干种等价結構。

开集系

根據定义动机一節可以作如下的定義：

 ${\displaystyle X}$  的子集族 ${\displaystyle {\mathfrak {O}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)}$  若滿足以下开集公理

正式定義	直觀解釋
${\displaystyle X,\,\varnothing \in {\mathfrak {O}}}$	${\displaystyle X}$  本身和空集合也是開的
${\displaystyle \forall O_{1}\forall O_{2}[\,(O_{1},\,O_{2}\in {\mathfrak {O}})\Rightarrow (O_{1}\cap O_{2}\in {\mathfrak {O}})\,]}$	有限個開集的交集也是開的
${\displaystyle \forall {\mathfrak {A}}\left[\,({\mathfrak {A}}\subseteq {\mathfrak {O}})\Rightarrow \left(\bigcup {\mathfrak {A}}\in {\mathfrak {O}}\right)\,\right]}$	任意個開集的併集也是開的

則称 ${\displaystyle {\mathfrak {O}}}$  为 ${\displaystyle X}$  的开集系（其中的元素称为开集）或拓扑，${\displaystyle (X,\,{\mathfrak {O}})}$  則被稱為一拓扑空間，${\displaystyle X}$  內的元素 ${\displaystyle x\in X}$  則称为拓扑空间 ${\displaystyle (X,\,{\mathfrak {O}})}$  的点。

开集系的代號 ${\displaystyle {\mathfrak {O}}}$  是字母「O」的德文尖角體，取名自德语形容词「offen」（開的）。

从开集系出发定义其它概念：（${\displaystyle A\subseteq X}$  為 ${\displaystyle X}$  的子集）

• 闭集：若 ${\displaystyle X-A}$  是开集，則稱 ${\displaystyle A}$  是闭集。
• 邻域：若存在开集 ${\displaystyle O}$  使得 ${\displaystyle x\in O\subseteq A}$  ，則稱 ${\displaystyle A}$  是点 ${\displaystyle x}$  的邻域。
• 开核：${\displaystyle A}$  的開核（或內部）${\displaystyle A^{\circ }}$  定義為${\displaystyle A}$  內所有开集之并，也就是
  ${\displaystyle A^{\circ }:=\bigcup \left\{O\in {\mathfrak {O}}\,{\big |}\,O\subseteq A\right\}}$ 

闭集系

${\displaystyle X}$  的子集族 ${\displaystyle {\mathfrak {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$  若滿足如下闭集公理：

正式定義	直觀解釋
${\displaystyle X,\,\varnothing \in {\mathfrak {F}}}$	${\displaystyle X}$  本身和空集合也是閉的
${\displaystyle \forall F_{1}\forall F_{2}[\,(F_{1},\,F_{2}\in {\mathfrak {F}})\Rightarrow (F_{1}\cup F_{2}\in {\mathfrak {F}})\,]}$	有限個閉集的併集是閉的
${\displaystyle \forall {\mathfrak {B}}\left[\,({\mathfrak {B}}\subseteq {\mathfrak {F}})\Rightarrow \left(\bigcap {\mathfrak {B}}\in {\mathfrak {F}}\right)\,\right]}$	任意個閉集的交集是閉的

則称 ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$  为 ${\displaystyle X}$  的闭集系（其中的元素称为闭集）。

开集系的代號 ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$  是字母「 F」 的德文尖角體，取名自法语动词「fermer」（關閉）的过去分词「fermé」（封閉的）。

根據德摩根定理和量詞符號的意義，以下的子集族

${\displaystyle {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {F}}=\left\{O\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,X-O\in {\mathfrak {F}}\right\}}$ 

為开集系，類似地，對於開集系 ${\displaystyle {\mathfrak {O}}}$  ，以下的子集族

${\displaystyle {\mathfrak {F}}_{\mathfrak {O}}=\left\{F\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,F-O\in {\mathfrak {O}}\right\}}$ 

為閉集系，所以閉集系跟拓扑是等價的結構。

从闭集系出发定义其它概念：（${\displaystyle A\subseteq X}$  為 ${\displaystyle X}$  的子集）

• 开集：${\displaystyle X-A}$  是闭集，則稱 ${\displaystyle A}$  是开集。
• 闭包：${\displaystyle A}$  的闭包${\displaystyle {\overline {A}}}$  定義為包含A的所有闭集之交，也就是
  ${\displaystyle {\overline {A}}:=\bigcap \left\{F\in {\mathfrak {F}}\,{\big |}\,A\subseteq F\right\}}$ 

邻域系

函数 ${\displaystyle {\mathfrak {U}}:X\to {\mathcal {P}}[{\mathcal {P}}(X)]}$ （ ${\displaystyle {\mathcal {P}}[{\mathcal {P}}(X)]}$  指 ${\displaystyle X}$  的幂集的幂集，也就是由所有子集族所構成的集合）若對任意 ${\displaystyle x\in X}$  满足如下邻域公理：

正式定義	直觀解釋
${\displaystyle \forall U\{\,[\,U\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\Rightarrow (x\in U)\,\}}$	${\displaystyle x}$  屬於 ${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$  的任意元素（${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$  裡的元素都是 ${\displaystyle x}$  的邻域）
${\displaystyle \forall U\forall V\{\,[\,U,\,V\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\Rightarrow [\,U\cap V\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\,\}}$	${\displaystyle x}$  的任二邻域的交集也是 ${\displaystyle x}$  的邻域
${\displaystyle (\forall V\subseteq X)[\,\forall U\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\{\,(U\subseteq V)\Rightarrow [\,V\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\,\}}$	包含任何 ${\displaystyle x}$  的邻域的任意子集也是 ${\displaystyle x}$  的邻域
${\displaystyle [\,\forall U\in {\mathfrak {U}}(x)\,][\,\exists V\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\{\,(V\subseteq U)\wedge (\forall y\in V)[\,U\in {\mathfrak {U}}(y)\,]\,\}}$	${\displaystyle x}$  的每個邻域內有個 ${\displaystyle x}$  的邻域，使的大邻域都是小邻域裡面點的領域

这样任意 ${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$  被称为 ${\displaystyle x}$  的邻域系， ${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$  裡的元素 ${\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}(x)}$  則称为 ${\displaystyle x}$  的邻域。

換句話說，函數 ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$  将 ${\displaystyle X}$  的每个点 ${\displaystyle x\in X}$  映射至 ${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$  ，而 ${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$  則是所有 ${\displaystyle x}$  的邻域所構成的集族。

邻域系的代號 ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$  是字母「 U」 的德文尖角體，取名自德语动词「 umgeben」（環繞）的名詞化「Umgebung」（周圍、環境）。

若取以下的子集族

${\displaystyle {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}=\left\{O\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,(\forall x)\{\,(x\in O)\Rightarrow [\,O\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\,\}\right\}}$ 

因為 ${\displaystyle X}$  包含任意邻域， ${\displaystyle X}$  本身顯然為任意 ${\displaystyle x\in X}$  的領域，故 ${\displaystyle X\in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}}$  ；另外空集合 ${\displaystyle \varnothing }$  沒有任何屬於它的點，所以根據實質條件的意義，${\displaystyle \varnothing \in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}}$ 。

若取 ${\displaystyle O_{1},\,O_{2}\in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}}$  ，根據邻域公理的第二項有 ${\displaystyle O_{1}\cap O_{2}\in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}}$  ；若取 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}\subseteq {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}}$  ，且 ${\displaystyle x\in \bigcup {\mathfrak {B}}}$  ，那換句話說

${\displaystyle \exists O[\,(O\in {\mathfrak {B}})\wedge (x\in O)\,]}$ 

這樣的話有

${\displaystyle \exists O[\,(O\in {\mathfrak {B}})\wedge (x\in O)\wedge (O\in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}})\,]}$ 

那這樣根據邻域公理第三項，${\displaystyle \bigcup {\mathfrak {B}}\in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}}$ ，所以 ${\displaystyle {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}}$  的確是個開集合系。

類似地對於開集系 ${\displaystyle {\mathfrak {O}}}$  ，若對任意 ${\displaystyle x\in X}$  取

${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)=\left\{U\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,\exists O[\,(O\in {\mathfrak {O}})\wedge (O\subseteq U)\wedge (x\in O)\,]\right\}}$ 

那 ${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$  也會符合上面四款邻域系公理（注意到第四項取 ${\displaystyle V=U^{\circ }}$  ），所以對所有 ${\displaystyle x\in X}$  定義了邻域系等同於定義了一個拓扑。

从邻域系出发定义其它概念：（${\displaystyle A\subseteq X}$  為 ${\displaystyle X}$  的子集）

• 开集：对任意 ${\displaystyle x\in A}$  ，有 ${\displaystyle A\in {\mathfrak {U}}(x)}$ ，則稱 ${\displaystyle A}$  是开集。（開集本身是它所有点的邻域）
• 开核：${\displaystyle A^{\circ }=\left\{x\in X\,{\big |}\,\exists U\{\,[\,U\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\wedge (U\subseteq A)\,\}\right\}}$ （開核裡的每一點，都有一個包含於 ${\displaystyle A}$  的領域。）
• 闭包：${\displaystyle {\overline {A}}=\left\{x\in X\,{\big |}\,\forall U\{[\,U\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\Rightarrow (U\cap A\neq \varnothing )\}\right\}}$ 。（閉包裡每一點的領域，都跟 ${\displaystyle A}$  有交集。）

闭包公理

${\displaystyle X}$ 的幂集${\displaystyle P(X)}$ 上的一元运算${\displaystyle c:P(X)\to P(X)}$ （即将${\displaystyle X}$ 的子集A映射为${\displaystyle X}$ 的子集${\displaystyle c(A)}$ ）称为闭包运算（像称为原像的闭包）。当且仅当运算${\displaystyle c}$ 满足下述的闭包公理：

• A₁：${\displaystyle A\subseteq c(A)}$ ；
• A₂：${\displaystyle c(c(A))=c(A)}$ ；
• A₃：${\displaystyle c(A\cup B)=c(A)\cup c(B)}$ ；
• A₄：${\displaystyle c(\varnothing )=\varnothing }$ 。

集合${\displaystyle A}$ 的闭包通常记为${\displaystyle {\overline {A}}}$ 。

从闭包出发定义其它概念：

• 从闭包定义闭集：${\displaystyle X}$ 的子集${\displaystyle A}$ 是闭集，当且仅当${\displaystyle A={\overline {A}}}$ 。
• 从闭包定义开核：${\displaystyle X}$ 的子集${\displaystyle A}$ 的开核${\displaystyle A^{\circ }=X-{\overline {X-A}}}$ 。
• 从闭包定义邻域：${\displaystyle X}$ 的子集${\displaystyle U}$ 是点${\displaystyle x}$ 的邻域，当且仅当${\displaystyle x\notin {\overline {X-U}}}$ 。

开核公理

${\displaystyle X}$ 的幂集${\displaystyle P(X)}$ 上的一元运算${\displaystyle o:P(X)\to P(X)}$ （即将${\displaystyle X}$ 的子集A映射为${\displaystyle X}$ 的子集${\displaystyle o(A)}$ ）称为开核运算（像称为原像的开核或内部）。当且仅当运算${\displaystyle o}$ 满足如下开核公理：

• I₁：${\displaystyle o(A)\subseteq A}$ ；
• I₂：${\displaystyle o(o(A))=o(A)}$ ；
• I₃：${\displaystyle o(A\cap B)=o(A)\cap o(B)}$ ；
• I₄：${\displaystyle o(X)=X}$ 。

集合${\displaystyle A}$ 的开核通常记为${\displaystyle A^{\circ }}$ 。 （显然，开核运算是闭包运算的对偶概念）。

从开核出发定义其它概念：

• 从开核定义开集：${\displaystyle X}$ 的子集${\displaystyle A}$ 是开集，当且仅当${\displaystyle A=A^{\circ }}$ 。
• 从开核定义邻域：${\displaystyle X}$ 的子集${\displaystyle U}$ 是点${\displaystyle x}$ 的邻域，当且仅当${\displaystyle x\in U^{\circ }}$ 。
• 从开核定义闭包：${\displaystyle X}$ 的子集${\displaystyle A}$ 的闭包${\displaystyle {\overline {A}}=X-(X-A)^{\circ }}$ 。

导集公理

${\displaystyle X}$ 的幂集${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ 上的一元运算${\displaystyle d:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)}$ （即将${\displaystyle X}$ 的子集${\displaystyle A}$ 映射为${\displaystyle X}$ 的子集${\displaystyle d(A)}$ ）称为导集运算（像称为原像的导集），当且仅当${\displaystyle d}$ 满足以下导集公理：

• D₁：${\displaystyle d(\varnothing )=\varnothing }$ ；
• D₂：${\displaystyle d(d(A))\subseteq d(A)\cup A}$ ；
• D₃：${\displaystyle \forall x\in X,\ d(A)=d(A-\{x\})}$ ；
• D₄：${\displaystyle d(A\cup B)=d(A)\cup d(B)}$ 

从导集出发定义其它概念：

• 从导集定义闭集：${\displaystyle X}$ 的子集${\displaystyle A}$ 是闭集，当且仅当${\displaystyle d(A)\subseteq A}$ 。

拓扑之间的关系

主条目：拓撲比較

同一个全集可以拥有不同的拓扑，有些是有用的，有些是平庸的，这些拓扑之间可以形成一种偏序关系。当拓扑${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}}$ 的每一个开集都是拓扑${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}}$ 的开集时，称拓扑${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}}$ 比拓扑${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}}$ 更细，或称拓扑${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}}$ 比拓扑${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}}$ 更粗。

仅依赖于特定开集的存在而成立的结论，在更细的拓扑上依然成立；类似的，仅依赖于特定集合不是开集而成立的结论，在更粗的拓扑上也依然成立。

最粗的拓扑是由空集和全集两个元素构成的拓扑，最细的拓扑是离散拓扑，这两个拓扑都是平庸的。

在有些文献中，我们也用大小或者强弱来表示这里粗细的概念。

连续映射与同胚

类似定义拓扑空间，连续映射也有基于开集，闭集，开核，闭包和邻域等概念的等价定义。

拓扑空间上的一个映射${\displaystyle f}$ 称为连续映射，当且仅当它满足以下条件之一：

• ${\displaystyle f}$ 对任何开集的原像是开集。（这个定义符合我们关于连续映射不会出现破碎或者分离的直观印象。）
• ${\displaystyle f}$ 对任何闭集的原像是闭集。
• 对点${\displaystyle f(x)}$ 的任一邻域${\displaystyle V}$ ，都存在点${\displaystyle x}$ 的一个邻域${\displaystyle U}$ ，使得${\displaystyle f(U)\subset V}$ ，则称${\displaystyle f(x)}$ 在点${\displaystyle x}$ 连续，而连续映射即点点连续的映射。
• 对任一集合${\displaystyle A}$ ，${\displaystyle f({\overline {A}})\subseteq {\overline {f(A)}}}$ 成立。
• 对任一集合${\displaystyle A}$ ，${\displaystyle f^{-1}(A^{\circ })\subseteq (f^{-1}(A))^{\circ }}$ 成立。

同胚映射是一个连续的双射，并且它的逆映射也连续。两个拓扑空间之间存在同胚映射，则称这两个空间是同胚的。从拓扑学的观点上来讲，同胚的空间是等同的。

拓扑空间范畴

拓扑空间作为对象，连续映射作为态射，构成了拓扑空间范畴，它是数学中的一个基础性的範疇。试图通过不变量来对这个范畴进行分类的想法，激发和产生了整个领域的研究工作，包括同伦论、同调论和K-理论。

相关概念

基本概念

给定拓扑空间(X,τ)，A是X的子集，有以下概念（继续使用上面的符号）：

内部，内点

A的开核o(A)又称为A的内部，其元素称为A的内点。

外部，外点

X - c(A)称为A的外部，其元素称为A的外点。

边界，边界点

c(A)∩c(X-A)称为A的边界，其元素称为A的边界点。

触点

A的闭包c(A)中的点称为A的触点。

稠密性，稠密集

称A在X中是稠密的（或称稠密集），当且仅当c(A) = X。

边缘集

称A是X的边缘集，当且仅当X-A在X中是稠密的。

疏性，疏集

称A在X中是疏的（或称疏集），当且仅当c(A)是X中的边缘集。

第一范畴集，第二范畴集

称A是X中的第一范畴集，当且仅当A可以表示为可数个疏集的并。称A是X中的第二范畴集，当且仅当A不是X中的第一范畴集。

聚点，导集

X中的点x称为A的聚点，当且仅当x ∈ c(A - {x})（或者等价地，x的任意邻域至少包含x以外的A的一个点）。A的所有聚点组成的集合称为A的导集。

孤立点

A中的点x称为A的孤立点，当且仅当它不是A的聚点。

孤点集，离散集

称A为孤点集或离散集，当且仅当A中所有的点都是A的孤立点。

自密集

称A为自密集，当且仅当A中的点都是A的聚点（等价地，A中没有A的孤立点）。

完备集

称A为完备集，当且仅当A等于其导集。

自密核

A的最大自密子集称为A的自密核。

无核集

称A是无核集，当且仅当A的自密核是∅（或等价地，A的任意非空子集都含有孤立点）。

网

网的目的在推广序列及极限，网的收性称作Moore-Smith收敛。其关键在於以有向集合代替自然数集${\displaystyle \mathbb {N} }$ 。

空间${\displaystyle X}$ 上的一个网${\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in A}}$ 是从有向集合${\displaystyle A}$ 映至${\displaystyle X}$ 的映射。

若存在${\displaystyle x\in X}$ ，使得对每个${\displaystyle x}$ 的邻域${\displaystyle U}$ 都存在${\displaystyle \beta \in A}$ ，使得${\displaystyle \alpha \geq \beta \Rightarrow x_{\alpha }\in U}$ ，则称网${\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in A}}$ 收敛至${\displaystyle x}$ 。

几乎所有点集拓扑学的基本概念都能表述作网的收敛性，请参阅主条目网

拓扑空间的例子

• 实数集R构成一个拓扑空间：全体开区间构成其上的一组拓扑基，其上的拓扑就由这组基来生成。这意味着实数集R上的开集是一组开区间的并（开区间的数量可以是无穷多个，但进一步可以证明，所有的开集可以表示为可数个互不相交的开区间的并）。从许多方面来说，实数集都是最基本的拓扑空间，并且它也指导着我们获得对拓扑空间的许多直观理解；但是也存在许多“奇怪”的拓扑空间，它们有悖于我们从实数集获得的直观理解。
• 更一般的，n维欧几里得空间Rⁿ构成一个拓扑空间，其上的开集就由开球来生成。
• 任何度量空间都可构成一个拓扑空间，如果其上的开集由开球来生成。这中情况包括了许多非常有用的无穷维空间，如泛函分析领域中的Banach空间和希尔伯特空间。
• 任何局部域都自然地拥有一个拓扑，并且这个拓扑可以扩张成为这个域上的向量空间。
• 除了由全体开区间生成的拓扑之外，实数集还可以赋予另外一种拓扑—下限拓扑（lower limit topology）。这种拓扑的开集由下列点集构成—空集、全集和由全体半开区间[a, b)生成的集合。这种拓扑严格地细于上面定义的欧几里得拓扑；在这种拓扑空间中，一个点列收敛于一点，当且仅当，该点列在欧几里得拓扑中也收敛于这个点。这样我们就给出了一个集合拥有不同拓扑的示例。
• 流形都是一个拓扑空间。
• 每一个单形都是一个拓扑空间。单形是一种在计算几何学中非常有用的凸集。在0、1、2和3维空间中，相应的单形分别是点、线段、三角形和四面体。
• 每一个单纯复形都是一个拓扑空间。一个单纯复形由许多单形构成。许多几何体都可以通过单纯复形—来建立模型，参见多胞形（Polytope）。
• 扎里斯基拓扑是一种纯粹由代数来定义的的拓扑，这种拓扑建立在某个环的交換环谱之上或者某个代数簇之上。对Rⁿ或者Cⁿ来说，相应扎里斯基拓扑定义的闭集，就是由全体多项式方程的解集合构成。
• 线性图是一种能推广图的许多几何性质的拓扑空间。
• 泛函分析中的许多算子集合可以获得一种特殊的拓扑，在这种拓扑空间中某一类函数序列收敛于零函数。
• 任何集合都可以赋予离散拓扑。在离散拓扑中任何一个子集都是开集。在这种拓扑空间中，只有常数列或者网是收敛的。
• 任何集合都可以赋予平庸拓扑。在平庸拓扑中只有空集和全集是开集。在这种拓扑空间中，任和一个序列或者网都收敛于任何一个点。这个例子告诉我们，在某些極端情況下，一个序列或者网可能不会收敛于唯一的一个点。
• 有限补拓扑。设X是一个集合。X的所有有限子集的补集加上空集，构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为有限补空间。有限补空间是这个集合上最小的T₁拓扑。
• 可数补拓扑。设X是一个集合。X的所有可数子集的补集加上空集，构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为可数补空间。
• 如果Γ是一个序数，则集合[0, Γ]是一个拓扑空间，该拓扑可以由区间(a, b]生成，此处a和b是Γ的元素。

例子

1. X = {1,2,3,4} 和 X 內兩個子集組成的集族 τ = {∅, X} 會形成一個平庸拓扑。
2. X = {1,2,3,4} 和 X 內六個子集組成的集族 τ = {∅,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}} 會形成另一個拓撲。
3. X = ℤ（整數集合）及集族 τ 等於所有的有限整數子集加上 ℤ 自身不是一個拓撲，因為（例如）所有不包含零的有限集合的聯集是無限的，但不是 ℤ 的全部，因此不在 τ 內。
4. 1个元素的集上总拓扑数显然只有1个。
5. 2个元素的集上总拓扑数显然只有4个。
6. 3个元素的集上总拓扑数只有29个。
7. 4个元素的集上总拓扑数只有355个。
8. n个元素的集上总拓扑数规律还在研究中，不过已取得些成果。参见OEIS-A000798说明

3点集 X={a,b,c}的拓扑总共有29个,可分为九类，具体如下：

1. {∅, X}
2. {∅,{a},X},{∅,{b},X},{∅,{c},X}
3. {∅,{a,b},X},{∅,{a,c},X},{∅,{b,c},X}
4. {∅,{a},{b,c},X},{∅,{b},{a,c},X},{∅,{c},{a,b},X}
5. {∅,{a},{a,b},X},{∅,{a},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},X},{∅,{b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},X},{∅,{c},{b,c},X}
6. {∅,{a},{a,b},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},{b,c},X}
7. {∅,{a},{b},{a,b},X},{∅,{a},{c},{a,c},X},{∅,{b},{c},{b,c},X}
8. {∅,{a},{b},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{a},{c},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{c},{a,c},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,b},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,c},{b,c},X}
9. {∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},X}

拓扑空间的构造

• 拓扑空间的任何一个子集都可以被赋予一个子空间拓扑，子空间拓扑中的开集是全空间上的开集和子空间的交。
• 对任何非空的拓扑空间族，我们可以构造出这些拓扑空间的积上的拓扑，这种拓扑称为积拓扑。对于有限积来说，积空间上的开集可以由空间族中各个空间的开集的积生成出来。
• 商拓扑可以被如下地定义出来：若X是一个拓扑空间，Y是一个集合，如果f : X  →  Y是一个满射，那么Y获得一个拓扑；该拓扑的开集可如此定义，一个集合是开的，当且仅当它的逆像也是开的。可以利用f自然投影确定下X上的等价类，从而给出拓扑空间X上的一个等价关系。
• Vietoris拓扑

拓扑空间的分类

依据点和集合分离的程度、大小、连通程度、紧性等。可以对拓扑空间进行各种各样的分类。并且由于这些分类产生了许多不同的术语。

以下假设X为一个拓扑空间。

分离公理

详细资料请参照分离公理以及相关条码。有些术语在老的文献中采用了不同地定义方式，请参照分离公理的历史。

拓扑不可区分性

X中两个点x，y称为拓扑不可区分的，当且仅当如下结论之一成立：

• 对X中每个开集U，或者U同时包含x，y两者，或者同时不包含它们。
• x的邻域系和y的邻域系相同。
• ${\displaystyle x\in {\overline {\{y\}}}}$ ，且${\displaystyle y\in {\overline {\{x\}}}}$ 。

可数公理

可分的

X称为可分的，当且仅当它拥有一个可数的稠密子集。

第一可数

X称为第一可数的，当且仅当其任何一个点都有一个可数的局部基。

第二可数

X称为第二可数的，当且仅当其拥有一个可数的基。

连通性

连通

X称为连通的，当且仅当它不是两个无交的非空开集的并。（或等价地，该空间的闭开集（既开又闭的集合）只有空集和全空间两者）。

局部连通

X称为局部连通的，当且仅当它的每个点都存在一个特殊的局部基，这个局部基由连通集构成。

完全不连通

X称为完全不连通的，当且仅当不存在多于一个点的连通子集。

道路连通

X称为道路连通的，当且仅当其任意两点x和y，存在从x到y的道路p，也即，存在一个连续映射p: [0,1] → X，满足p（0）= x 且p（1）= y。道路连通的空间总是连通的。

局部道路连通

X称为局部道路连通的，当且仅当其每个点都有一个特殊的局部基，这个局部基由道路连通集构成。一个局部道路连通空间是连通的，当且仅当它是道路连通的。

单连通

X称为单连通的，当且仅当它是道路连通且每个连续映射${\displaystyle f:\mathbb {S} ^{1}\rightarrow X}$ 都与常数映射同伦。

可缩

X称为可缩的，当且仅当它同伦等价到一点。

超连通

X称为超连通的，当且仅当任两个非空开集的交集非空。超连通蕴含连通。

极连通

X称为极连通的，当且仅当任两个非空闭集的交集非空。极连通蕴含道路连通。

平庸的

X称为平庸的，当且仅当其开集只有本身与空集。

紧性

（详细资料请参照紧集）

紧性

X称为紧的，当且仅当其任意开覆盖都有有限开覆盖的加细。

林德洛夫性质

X称为拥有林德洛夫性质，当且仅当其任意开覆盖都有可数开覆盖的加细。

仿紧

X称为仿紧的，当且仅当其任意开覆盖都有局部有限开覆盖的加细。

可数紧

X称为可数紧的，当且仅当其任意可数开覆盖都有限开覆盖的加细。

列紧

X称为可数紧的，当且仅当其任意点列都包含收敛子列。

伪紧

X称为伪紧的，当且仅当其上的任意实值连续函数都有界。

可度量化

可度量性意味着可赋予空间一个度量，使之给出该空间的拓扑。目前已有许多版本的度量化定理，其中最著名的是Urysohn度量化定理：一个第二可数的正则豪斯多夫空间可被度量化。由此可导出任何第二可数的流形皆可度量化。

拥有代数结构的拓扑空间

对於任一类代数结构，我们都可以考虑其上的拓扑结构，并要求相关的代数运算是连续映射。例如，一个拓扑群${\displaystyle G}$ 乃是一个拓扑空间配上连续映射${\displaystyle m:G\times G\rightarrow G}$ （群乘法）及${\displaystyle i:G\rightarrow G}$ （反元素），使之具备群结构。

同样地，可定义拓扑向量空间为一个赋有拓扑结构的向量空间，使得加法与纯量乘法是连续映射，这是泛函分析的主题；我们可以类似地定义拓扑环、拓扑域等等。

结合拓扑与代数结构，往往可以引出相当丰富而实用的理论，例如微分几何探究的主齐性空间。在代数数论及代数几何中，人们也常定义适当的拓扑结构以简化理论，并得到较简明的陈述；如数论中的局部域（一种拓扑域），伽罗瓦理论中考虑的Krull拓扑（一种特别的拓扑群），以及定义形式概形所不可少的I-进拓扑（一种拓扑环）等等。

拥有序结构的拓扑空间

拓扑空间也可能拥有自然的序结构，例子包括：

• 谱空间（spectral space）上的序结构。
• 特殊化预序：定义${\displaystyle x\leq y\Leftrightarrow \mathrm {cl} (x)\subset \mathrm {cl} (y)}$ 。常见於计算机科学。

外部链接

n个元素的集上总拓扑数规律

• 整數數列線上大全:OEIS-A000798.

参考书目

• John L. Kelley, General Topology (GTM 27). Springer-Verlag. ISBN 0387901256.
• James R. Munkres, Topology (second edition). Prentice Hall; ISBN 0131816292.

• 点集拓扑学初步 / 江泽涵著. - 上海: 上海科学技术出版社, 1979年1月。
• 点集拓扑学基础 / 吴东兴著. - 北京: 科学出版社, 1981年3月。
• 点集拓扑学原理 / 鲍姆著;蒲思立译. - 北京: 人民教育出版社, 1981年6月。
• 一般拓扑学 / 李普舒茨著;陈昌平等译. - 上海: 华东师大出版社, 1982年1月。
• 一般拓扑学 / 凯莱著;吴丛，吴让泉译. - 北京: 科学出版社, 1982年5月。
• 拓扑学引论 / 本特·门德尔森著;陈明蔚译. - 南宁: 广西人民出版社, 1983年1月。
• 基础拓扑学 / 阿姆斯特朗著;孙以丰译. - 北京: 北京大学出版社, 1983年1月。
• 点集拓扑学 / 方嘉琳编著. - 沈阳: 辽宁人民出版社, 1983年4月。
• 拓扑学的基础和方法 / 野口宏著;郭卫中，王家彦译. - 北京: 科学出版社, 1986年3月。
• 拓扑学初步 / 苏步青著. - 上海: 复旦大学出版社, 1986年4月。
• 拓扑学基础教程 / 曼克勒斯著;罗嵩龄等译. - 北京: 科学出版社, 1987年8月。
• 基础拓扑学 / 何伯和，廖公夫著. - 北京: 高等教育出版社, 1991年1月。
• 一般拓扑学专题选讲 / 蒋继光著. - 成都: 四川教育出版社, 1991年3月。
• 拓扑学导论 / 鲍里索维奇等著;盛立人等译. - 北京: 高等教育出版社, 1992年9月。
• 基础拓扑学讲义 / 尤承业编著. - 北京: 北京大学出版社, 1997年. ISBN 7-301-03103-3.