拓扑不可区分性, 在拓扑学中, 拓扑空间x內的两点若有完全相同的鄰域, 便稱這兩個點為, 拓扑不可区分的, 亦即, 設x及y為x內的兩點, a為由所有包含x的鄰域所組成的集合, 且b為由所有包含y的鄰域所組成的集合, 則x及y為, 拓撲不可區分的, 若且唯若a, 直觀上來說, 若x的拓撲無法分辨之中的兩點, 即可稱這兩點為拓撲不可區分的, 若x內的兩點不是拓撲不可區分的, 則稱這兩點為, 拓撲可區分的, 这表示存在只包含两点之中的其中一點的开集, 或等价地说, 存在只包含两点之中的其中一點的闭集, 而这个开集則可以. 在拓扑学中 拓扑空间X內的两点若有完全相同的鄰域 便稱這兩個點為 拓扑不可区分的 亦即 設x及y為X內的兩點 A為由所有包含x的鄰域所組成的集合 且B為由所有包含y的鄰域所組成的集合 則x及y為 拓撲不可區分的 若且唯若A B 直觀上來說 若X的拓撲無法分辨之中的兩點 即可稱這兩點為拓撲不可區分的 若X內的兩點不是拓撲不可區分的 則稱這兩點為 拓撲可區分的 这表示存在只包含两点之中的其中一點的开集 或等价地说 存在只包含两点之中的其中一點的闭集 而这个开集則可以用来使两个点可以區分 T0空间是一個拓撲空間 其中任意兩個相區別的點都是拓扑可区分的 这是分离公理中最弱的一個限制條件 拓扑不可区分性會在拓扑空间X上定义出一個等价关系 設x和y為X內的兩個点 若x和y為拓撲不可區分的 便標記成x y x的等價類則標記為 x 目录 1 例子 2 特殊化预序 3 性质 3 1 等价条件 3 2 等价类 3 3 连续函数 4 柯尔莫果洛夫商空间 5 参见例子 编辑对T0空间 特别是豪斯多夫空间 而言 拓扑不可区分的概念是沒有意義的 因此若要尋找有趣的例子 必须要在非T0空间中才行 另一方面 由於正则性和正规性並不蕴涵T0 所以可以找到一些有這些性质的例子 事实上 下面给出的例子就几乎都是完全正则的 在不可分空間中 任意两个点都是拓扑不可区分的 在伪度量空间中 两点是拓扑不可区分的 当且仅当在兩點之间的距离為零 在半赋範向量空间中 x y当且仅当 x y 0 舉例來說 设L2 R 是一個拓撲空間 由所有从R映射至R的平方可积的可測函數所組成 詳见Lp空间 则在L2 R 內 函数f及g為拓扑不可区分的 当且仅当兩個函數几乎处处相等 在拓扑群中 x y 当且仅当x 1y cl e 这里的cl e 為当然子群的闭包 而其等价类則為cl e 的陪集 cl e 总會是個正规子群 一致空间推广了伪度量空间和拓扑群 在一致空间中 x y当且仅当有序对 x y 属于所有周围 entourage 所有周围的交集正是用X上拓扑不可区分性來定義的等价关系 设X有关于函数族 f a X Y a displaystyle f alpha X to Y alpha nbsp 的初拓撲 X中两个点x和y是拓扑不可区分的 如果f a displaystyle f alpha nbsp 族不区分它们 就是说对所有a displaystyle alpha nbsp f a x f a y displaystyle f alpha x f alpha y nbsp 给定集合X上的任何等价关系 存在X上的拓扑 它的拓扑不可区分概念一致于这个等价关系 你可以简单选取这个等价关系为这个拓扑的基 这叫做X上的划分拓扑 特殊化预序 编辑在空间X上的拓扑不可区分性可以从在X上的叫做特殊化预序的自然预序来复原 对于X中的点x和y这个预序定义为 x y 当且仅当x cl y 这里的cl y 指示 y 的闭包 等价的说 x y如果x的邻域系统 指示为Nx 被包含在y的邻域系统内 x y当且仅当Nx Ny 容易看出在X上的这个关系是自反的和传递的 所以定义了预序 但是一般的说 这个预序不是反对称的 实际上 确定自 的等价关系完全就是拓扑不可区分性的关系 x y当且仅当x y并且y x 拓扑空间被称为对称 或R0 的 如果特殊化预序是对称的 就是说x y蕴涵y x 在这种情况下 关系 和 是同一的 拓扑不可区分性在这些空间中表现良好并易于理解 注意这类空间包括所有正则空间和完全正则空间 性质 编辑等价条件 编辑 有很多确定两个点是拓扑不可区分的等价方式 设X是拓扑空间并设x和y是X的点 把x和y的闭包分别指示为cl x 和cl y 并把它们的邻域系统分别指示为Nx和Ny 则下列陈述是等价的 x y 对于每个X中的开集U 要么U包含x和y二者要么都不包含 Nx Ny x cl y 并且y cl x cl x cl y x Ny并且y Nx Nx Ny x cl y 并且x Ny x属于包含y的所有开集和所有闭集 网或滤子会聚于x当且仅当它会聚于y这些条件可以在X是对称空间的情况下简化 对于这些空间 特别是正则空间 下列陈述是等价的 x y 对于每个开集U 如果x U则y U Nx Ny x cl y x Ny x属于包含y的所有闭集 x属于包含y的所有开集 所有会聚于x的网或滤子会聚于y等价类 编辑 要讨论x的等价类 為了方便 首先定义x的上闭集合和下闭集合 它们都是关于上述特殊化预序而定义的 x的下部集合就是 x 的闭包 x y X y x cl x displaystyle mathop downarrow x y in X y leq x textrm cl x nbsp 而x上部集合是在x的邻域系统的交集 x y X x y N x displaystyle mathop uparrow x y in X x leq y bigcap mathcal N x nbsp x的等价类接着给出为交集 x x x displaystyle x mathop downarrow x cap mathop uparrow x nbsp 因为 x是包含x的所有闭集的交集而 x是包含x的所有开集的交集 等价类 x 是包含x的所有开集和闭集的交集 cl x 和 Nx二者都包含等价类 x 一般的说 两个集合都会包含额外的点 但是在对称空间中 特别是在正则空间中 这三个集合是一致的 x cl x N x displaystyle x textrm cl x bigcap mathcal N x nbsp 一般的说 等价类 x 会是闭集 当且仅当这个空间是对称的 连续函数 编辑 设f X Y是连续函数 则对于任何X中的x和y有 x y蕴涵f x f y 逆命题一般为假 T0空间有是平凡的商 逆命题在X有引发自f的初拓扑的条件下为真 更一般的说 如果X有引发自映射族f a X Y a displaystyle f alpha X to Y alpha nbsp 的初拓扑则 x y当且仅当fa x fa y 对于所有a 可得出在乘积空间中两个元素是拓扑不可区分的 当且仅当每个它们的分量都是拓扑不可区分的 柯尔莫果洛夫商空间 编辑因为拓扑不可分别性是在任何拓扑空间X上的等价关系 我们可以形成商空间KX X 空间KX被叫做柯爾莫哥洛夫商空間或X的T0同一 事实上 空间KX是T0 就是说所有点都是拓扑可区分的 此外 通过商映射的特征性质 任何从X到T0空间的连续映射f X Y通过商映射q X KX而因子化 尽管商映射q一般不是同胚 因为它一般不是单射 它确实引发在X的拓扑和KX的拓扑之间的双射 直觉上说 柯尔莫果洛夫商不改变一个空间的拓扑 它只將点集精簡化 直到点都成为拓扑可区分的 参见 编辑 nbsp 数学主题 T0空间 特殊化预序 不可区分者的同一性 取自 https zh wikipedia org w index php title 拓扑不可区分性 amp oldid 62894141, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,