等价类

提示：此条目的主题不是等价关系。

在数学中，假設在一个集合${\displaystyle X}$上定義一个等价关系（用${\displaystyle \sim }$來表示），则${\displaystyle X}$中的某個元素${\displaystyle a}$的等价类就是在${\displaystyle X}$中等价于${\displaystyle a}$的所有元素所形成的子集:

${\displaystyle [a]=\{x\in X|x\sim a\}}$。

等价类的概念有助于从已经构造了的集合构造新集合。在${\displaystyle X}$中的给定等价关系${\displaystyle \sim }$的所有等价类的集合表示为${\displaystyle X/\mathrm {\sim } }$并叫做${\displaystyle X}$除以${\displaystyle \sim }$的商集。这种运算可以（实际上非常不正式的）被认为是输入集合除以等价关系的活动，所以名字“商”和这种记法都是模仿的除法。商集类似于除法的一个方面是，如果${\displaystyle X}$是有限的并且等价类都是等势的，则${\displaystyle X/\mathrm {\sim } }$的序是${\displaystyle X}$的序除以一个等价类的序的商。商集被认为是带有所有等价点都识别出来的集合${\displaystyle X}$。

对于任何等价关系，都有从${\displaystyle X}$到${\displaystyle X/\mathrm {\sim } }$的一个规范投影映射${\displaystyle \pi }$，给出为${\displaystyle \pi (x)=[x]}$。这个映射总是满射的。在${\displaystyle X}$有某种额外结构的情况下，考虑保持这个结构的等价关系，接着称这个结构是良好定义的，而商集在自然方式下继承了这个结构而成为同一个范畴的对象；从${\displaystyle a}$到${\displaystyle [a]}$的映射则是在这个范畴内的满态射。参见同余关系。

例子

• 如果${\displaystyle X}$ 是轿车的集合，而${\displaystyle \sim }$  是“颜色相同”的等价类，则一个特定等价类由所有绿色轿车组成。${\displaystyle X/\mathrm {\sim } }$  自然的被认同于所有轿车颜色的集合。
• 考虑在整数集合${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 上的“模${\displaystyle 2}$ ” ﹝見同餘﹞等价关系: ${\displaystyle x\sim y}$ 当且仅当${\displaystyle x-y}$ 是偶数。这个关系精确的引发两个等价类: ${\displaystyle [0]}$ 由所有偶数组成，${\displaystyle [1]}$ 由所有奇数组成。在这个关系下${\displaystyle [7],[9]}$ 和${\displaystyle [1]}$ 都表示${\displaystyle \mathbb {Z} /\mathrm {\sim } }$ 的同一个元素。
• 有理数可以构造为整数的有序对 ${\displaystyle (a,b)}$ 的等价类的集合，${\displaystyle b}$ 不能为零，这里的等价关系定义为

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}$ 当且仅当${\displaystyle ad=bc}$ 。

这里的有序对 ${\displaystyle (a,b)}$ 的等价类可以被认同于有理数${\displaystyle a/b}$ 。

• 任何函数${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ 定义在X上的等价关系，通过${\displaystyle x_{1}\sim x_{2}}$  当且仅当${\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})}$ 。${\displaystyle x}$ 的等价类是在${\displaystyle X}$ 中被映射到${\displaystyle f(x)}$ 的所有元素的集合，就是说，类${\displaystyle [x]}$ 是${\displaystyle f(x)}$ 的逆像。这个等价关系叫做${\displaystyle f}$ 的核。
• 给定群${\displaystyle G}$ 和子群${\displaystyle H}$ ，我们可以定义在${\displaystyle G}$ 上的等价关系，通过${\displaystyle x\sim y}$ 当且仅当${\displaystyle xy^{-1}\in H}$ 。这个等价类叫做H在G中的右陪集；其中之一是${\displaystyle H}$ 自身。它们都有同样数目的元素（在无限${\displaystyle H}$ 的情况下是势）。如果${\displaystyle H}$ 是正规子群，则所有陪集的集合自身是在自然方式下的一个群。
• 所有群都可以划分成叫做共轭类的等价类。
• 连续映射${\displaystyle f}$ 的同伦类是所有同伦于${\displaystyle f}$ 的所有映射的等价类。
• 在自然语言处理中，等价类是对一个个人、位置、事物或事件的所有提及的要么真实要么虚构的集合。例如，在句子“"GE股东将投票公司杰出的CEO Jack Welch的继任者”。“GE”和“公司”是同义的，所以构成一个等价类。对“GE股东”和“Jack Welch”有单独的等价类。

性质

因为等价关系的${\displaystyle a}$ 在${\displaystyle [a]}$ 中和任何两个等价类要么相等要么不相交的性质。得出X的所有等价类的集合形成${\displaystyle X}$ 的划分：所有${\displaystyle X}$ 的元素属于一且唯一的等价类。反过来，${\displaystyle X}$ 的所有划分也定义了在${\displaystyle X}$ 上等价关系。

它还得出等价关系的性质

${\displaystyle a\sim b}$ 当且仅当${\displaystyle [a]=[b]}$ 。

如果${\displaystyle \sim }$ 是在${\displaystyle X}$ 上的等价关系，而${\displaystyle P(x)}$ 是${\displaystyle x}$ 的元素的一个性质，使得只要${\displaystyle x\sim y,P(x)}$ 为真如果${\displaystyle P(y)}$ 为真，则性质${\displaystyle P}$ 被称为良好定义的或在关系${\displaystyle \sim }$ 下“类恒定”的。常见特殊情况出现在${\displaystyle f}$ 是从${\displaystyle X}$ 到另一个集合${\displaystyle Y}$ 的时候；如果${\displaystyle x_{1}\sim x_{2}}$ 蕴涵${\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})}$ 则${\displaystyle f}$ 被称为在${\displaystyle \sim }$ 下恒定的类，或简单称为在${\displaystyle \sim }$ 下恒定。这出现在有限群的特征理论中。对函数${\displaystyle f}$ 的后者情况可以被表达为交换三角关系．参见不變量。

参见

• 等价关系