幾乎處處

在測度論^{[註 1]}裡，若說一個性質為幾乎處處成立，即表示不符合此性質的元素組成的集合為一零測集，即其測度等於零的集合。當使用在實數的性質上時，若沒有另外提起則假定為勒貝格測度。^{[註 2]}

一個有全測度的集合是一個其補集為零測度的集合。

除了說一個性質幾乎處處成立之外，偶爾亦可以說一個性質是對幾乎所有元素成立的，即使幾乎所有這一詞有著其他的意義。

下面是包含有「幾乎處處」這一詞的一些定理：

• 若${\displaystyle f}$ : ${\displaystyle R}$→${\displaystyle R}$為一勒貝格可積函數且${\displaystyle f(x)}$幾乎處處大於零，則

${\displaystyle \int f(x)\,dx\geq 0}$。

• 若${\displaystyle f}$ : ${\displaystyle [a,b]}$→${\displaystyle R}$為一單調函數，則${\displaystyle f}$幾乎處處可微。
• 當${\displaystyle f}$ : ${\displaystyle R}$→${\displaystyle R}$為勒貝格可積且對所有實數${\displaystyle a<b}$，

${\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx<\infty }$

則存在一零集E（根據${\displaystyle f}$）使得若${\displaystyle x}$不在${\displaystyle E}$內，其勒貝格平均

${\displaystyle {\frac {1}{2\epsilon }}\int _{x-\epsilon }^{x+\epsilon }f(t)\,dt}$

便會收斂至${\displaystyle f(x)}$，當ε趨向至零時。換句話說，${\displaystyle f}$的勒貝格平均幾乎處處收斂至${\displaystyle f}$。集合E則稱為${\displaystyle f}$的勒貝格集合，且可以證明為零測度的。

• 若${\displaystyle f(x,y)}$在${\displaystyle R^{2}}$上為博雷尔可測的，則對幾乎所有${\displaystyle x}$，函數${\displaystyle y}$→${\displaystyle f(x,y)}$為博雷尔可測的。

• 一有界函數${\displaystyle f}$ : ${\displaystyle [a,b]}$->${\displaystyle R}$為黎曼可積的，若且唯若其為幾乎處處連續的。

在實分析之外，「幾乎處處」一詞可以用極大濾子定義。例如在超實數的建構中，一個超實數被定義為相對於某一濾子幾乎處處相等的等價類。

在抽象代數及其相關領域中，「幾乎處處」通常指某性質只對給定集合中的有限個元素不成立。

在概率论裡，這一詞變成了「幾乎必然」，「幾乎確定」或「幾乎總是」，相對於一為1的概率。

注释

1. 數學分析的一個分支
2. 幾乎處處（英語：almost everywhere）可以被縮寫為「a. e.」；而一些文獻也有「p. p.」之類的縮寫，其源於同義的法語片語「presque partout」

參考

• Billingsley, Patrick. Probability and measure 3rd edition. New York: John Wiley & sons. 1995. ISBN 978-0-471-00710-4.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Halmos, Paul R. Measure Theory. New York: Springer-Verlag. 1974. ISBN 978-0-387-90088-9.