在中,上部集合(向上闭合集合)是给定 (X,≤) 的子集 Y,使得对于所有元素 x 和 y,如果 x 小于等于 y,并且 x 是 Y 的一个元素,则 y 也在 Y 中。更加形式的说
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概念是下部集合(向下闭合集合),它是给定偏序集合 (X,≤) 的任何子集 Y,使得对于所有元素 x 和 y,如果 x 小于等于 y,并且 y 是 Y 的一个元素,则 x 也在 Y 中。更加形式的说
性质
所有偏序集合都是自身的上闭集合。上闭集合的还是上闭集合。任何上闭集合的都是下闭集合,反之亦然。
给定偏序集合 (X,≤),用关系排序的 X 的下闭集合的家族是,下闭集合格 O(X)。
给定有序集合 X 的任意子集 Y,包含 Y 的最小的上闭集合使用上箭头指示为 ↑Y。对偶的,包含 Y 的最小下闭集合使用下箭头指示为 ↓Y。下闭集合被称为主要的,如果它有 ↓{x} 的形式,这里的 x 是 X 的一个元素。一个有限有序集合 X 的所有的下闭集合 Y 等于包含 Y 的所有的最小下闭集合:Y = ↓Max(Y),这里的 Max(Y) 指示包含 Y 的极大元素的集合。
下闭集合叫做。
任何上闭集合的形成一个(antichain)。反过来任何反链 A 确定一个上闭集合 {x:对于 A 中某个 y, x ≥ y}。对于满足的偏序,在反链和上闭集合之间这种对应是一对一的,但对于更一般的偏序这不为真。
序数
通常被当作所有更小序数的集合。所以序数严格是序数的下闭集合。
引用
- Blanck, J. (2000) "Domain representations of topological spaces". Theoretical Computer Science, 247, 229–255.
- Hoffman, K. H. (2001),
- Davey, B.A., and Priestley, H. A. Introduction to Lattices and Order Second Edition. Cambridge University Press. 2002. .