Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446
四月 08, 2024
下限拓扑, 數學上, 下限拓撲是定義在實數集, displaystyle, mathbb, 上的拓撲, 其不同於, displaystyle, mathbb, 上的標準拓撲, 由開區間生成, 且具有若干有趣的性質, 其為全體半開區間, 組成的基生成的拓撲, 其中, 取遍任意實數, 這樣得到的拓撲空間稱為sorgenfrey直線, 得名自, robert, sorgenfrey, 英语, robert, sorgenfrey, 或箭頭, 有時記為, displaystyle, mathbb, 與康托集和長直線類似, . 數學上 下限拓撲是定義在實數集 R displaystyle mathbb R 上的拓撲 其不同於 R displaystyle mathbb R 上的標準拓撲 由開區間生成 且具有若干有趣的性質 其為全體半開區間 a b 組成的基生成的拓撲 其中 a 和 b 取遍任意實數 這樣得到的拓撲空間稱為Sorgenfrey直線 得名自 Robert Sorgenfrey 英语 Robert Sorgenfrey 或箭頭 有時記為 Rl displaystyle mathbb R l 與康托集和長直線類似 Sorgenfrey 直線也經常作為點集拓撲學中不少似是而非的命題的反例 Rl displaystyle mathbb R l 與自身的積也是有用的反例 稱為Sorgenfrey平面 類似地 可以定義 R displaystyle mathbb R 上的上限拓撲 其性質與下限拓撲完全相同 性質 编辑下限拓撲比實數集的標準拓撲更精細 具有更多開集 原因是每個開區間都可寫成半開區間的可數並 故在下限拓撲中也是開集 對任意實數 a displaystyle a nbsp 和 b displaystyle b nbsp 區間 a b displaystyle a b nbsp 都是 Rl displaystyle mathbb R l nbsp 的闭开集 既是开集 也是闭集 而且 對任意實數 a displaystyle a nbsp 集合 x R x lt a displaystyle x in mathbb R x lt a nbsp 和 x R x a displaystyle x in mathbb R x geq a nbsp 皆為閉開集 故 Rl displaystyle mathbb R l nbsp 為完全不连通空间 Rl displaystyle mathbb R l nbsp 的緊子集只能是可數集 允許是有限集 要證明此結論 考慮非空緊集 C Rl displaystyle C subseteq mathbb R l nbsp 取定 x C displaystyle x in C nbsp 考慮 C displaystyle C nbsp 的開覆蓋 x x 1n n N displaystyle bigl x infty bigr cup Bigl bigl infty x tfrac 1 n bigr Big n in mathbb N Bigr nbsp dd 由於 C displaystyle C nbsp 為緊 此開覆蓋具有有限子覆蓋 故存在實數 a x displaystyle a x nbsp 使得區間 a x x displaystyle a x x nbsp 不含 C displaystyle C nbsp 除 x displaystyle x nbsp 以外的點 這對任意 x C displaystyle x in C nbsp 為真 現選取有理數 q x a x x Q displaystyle q x in a x x cap mathbb Q nbsp 對不同的 x C displaystyle x in C nbsp 區間 a x x displaystyle a x x nbsp 兩兩不交 故函數 q C Q displaystyle q C to mathbb Q nbsp 為單射 故 C displaystyle C nbsp 至多可數 下限拓撲 得名自以下性質 Rl displaystyle mathbb R l nbsp 中的序列 或網 xa displaystyle x alpha nbsp 收斂到 L displaystyle L nbsp 当且仅当其 從右接近 L displaystyle L nbsp 即對任意的 ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp 均存在下標 a0 displaystyle alpha 0 nbsp 使得 a a0 L xa lt L ϵ displaystyle forall alpha geq alpha 0 L leq x alpha lt L epsilon nbsp Rl displaystyle mathbb R l nbsp 因此可用於研究單側極限 對函數 f R R displaystyle f mathbb R to mathbb R nbsp f displaystyle f nbsp 於 x displaystyle x nbsp 之右極限 假定陪域具有標準拓撲 等於定義域在下限拓撲下 f displaystyle f nbsp 於 x displaystyle x nbsp 之一般極限 就分离公理而言 Rl displaystyle mathbb R l nbsp 是完美正规豪斯多夫空間 T6 空間 就可數性公理而言 Rl displaystyle mathbb R l nbsp 是第一可數空間和可分空间 但並非第二可數空間 就緊緻性而言 Rl displaystyle mathbb R l nbsp 是林德勒夫空間和仿紧空间 但並非s 緊空間 英语 s compact space 也不是局部紧空間 Rl displaystyle mathbb R l nbsp 不可度量化 因為可分的度量空間必為第二可數 然而 Rl displaystyle mathbb R l nbsp 的拓撲是由一個預度量給出 Rl displaystyle mathbb R l nbsp 是一個贝尔空间 1 參考資料 编辑 Re Baireness of Sorgenfrey line more details and more accurate at yorku ca 2018 07 05 原始内容存档于2011 06 04 Steen Lynn Arthur Seebach J Arthur Jr Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978 Berlin New York Springer Verlag 1995 1978 ISBN 978 0 486 68735 3 MR 0507446 取自 https zh wikipedia org w index php title 下限拓扑 amp oldid 65526011, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,