基 (拓撲學)

在數學中，帶有拓撲 T 的拓撲空間 X 的基(base 或 basis) B 是 T 中開集的搜集，使得 T 中的所有開集可以被寫為 B 的元素的并集^[a]。我們稱基“生成”了拓撲 T。基在拓扑学中有其作用，因為拓撲自身的很多性質可简化成生成拓扑的基的描述，且許多拓撲最容易依據生成它們的基來定義。

基的簡單性質

基有兩個重要性質:

1. 基的元素覆蓋 X。（因為X在T裡，而T裡任一元素皆可被基覆蓋）
2. 設 B₁、B₂ 是基的元素，并設 I 是它們的交集，則對於 I 中的每個 x，有另一個基元素 B₃ 包含 x 并包含在 I 中。（因為I也是開集，必可被表為B中元素之聯集）

如果 X 的子集的搜集 B 不能滿足任何一個條件，則它不是在 X 上任何拓撲的基(但它是準基，因為是 X 的子集的任意搜集。) 反過來說，如果 B 滿足了這兩個條件，則在 X 上有唯一一個 B 作為基的拓撲；它叫做 B 生成的拓撲。(這個拓撲是在 X 上包含 B 的所有拓撲的交集。) 這是定義拓撲的非常常用的方式。對 B 生成在 X 上的一個拓撲的充分但非必要條件是 B 閉合在交集下；則我們總是可以取得上述 B₃ = I。

例如，在實數線中的開區間的搜集形成在實數線上的拓撲的基，因為任何兩個開區間的交集要么自身是開區間要么為空。事實上它們是在實數集上的標準拓撲的基。

但是，基不是唯一的。很多基甚至有不同的大小，可以生成相同的拓撲。例如，帶有有理數端點的開區間們也是實數集的基，帶有無理數端點的開區間們也是，但是這兩個集合是完全不相交的并且都真正的包含在所有開區間的基中。對比於線性代數中向量空間的基，基不需要是極大化的；實際上，唯一的極大的基是這個拓撲自身。事實上，在空間中由基生成的任何開集都可以安全的增加到基中而不會改變拓撲。基的最小的可能的勢叫做拓撲空間的重量。

不是基的開集搜集的一個例子是所有形如 (−∞, a) 和 (a, ∞) 的半-無限區間的集合 S，這里的 a 是實數。S 不是在 R 上的任何集合的基。要證明之，假設它是。那么例如，(−∞, 1) 和 (0, ∞) 作為一個單一基元素的并集，將在 S 生成拓撲中，并且因此它們的交集 (0,1) 也應該出現。但是 (0, 1) 明顯不能寫為 S 的元素的并集。使用可替代的定義，第二個性質失敗，因為沒有基元素可以容入這個交集內。

給定拓撲的一個基，要證明網或序列的收斂，在包含假定極限的所有基中的集合中最終證明它就是充分的。

依據基定義的對象

• 序拓撲通常定義為類似開區間的集合的搜集所生成的拓撲。
• 度量拓撲通常定義為開球的搜集生成的拓撲。
• 第二可數空間是有可數基的拓撲。
• 離散拓撲有由所有單元素集合組成的基。

定理

• 對於在開集 U 中每個點 x，有一個基的元素包含 x 并被包含在 U 中。
• 拓撲 T₂ 細於拓撲 T₁，當且僅當對於每個 x 和包含 x 的每個 T₁ 的基元素 B，有一個 T₂ 的基元素包含 x 并被包含在 B 中。
• 如果 B₁,B₂,...,B_n 是拓撲 T₁,T₂,...,T_n 的基，則集合積 B₁ × B₂ × ... × B_n 是乘積拓撲 T₁ × T₂ × ... × T_n 的基。在無限乘積的情況下這仍適用，除了出現有限多個基元素之外全部都必須是整個空間之外。
• 設 B 是 X 的基并設 Y 是 X 的子空間。那么如果我們交 B 的每個元素於 Y，結果的集合的搜集是子空間 Y 的基。
• 如果函數 f:X → Y 映射 X 的所有基元素到 Y 的一個開集，它是一個開映射。類似的，如果 Y 的一個基元素的所有原像在 X 中是開集，則 f 是連續函數。
• X 的子集的搜集是 X 上的拓撲當且僅當它生成自身。
• B 是拓撲空間 X 的基，當且僅當 B 的包含 x 的元素的子搜集形成在 x 上的局部基，對于 X 的任何點 x。

閉集基

閉集同樣擅長描述空間的拓撲。因為有對於拓撲空間的閉集的對偶的基的概念。給定一個拓撲空間 X， X 的閉集基是閉集的集合族 F 使得任何閉集 A 是 F 的元素的交集。

等價的說，閉集族形成了閉集基，如果對於每個閉集 A 和每個不在 A 中的點 x，存在一個 F 的元素包含 A 但不包含 x。

容易檢查 F 是 X 的閉集基，當且僅當 F 的成員的補集的集合族是 X 的開集基。

設 F 是 X 的閉集基。則

1. ∩F = ∅
2. 對於每個 F₁ 和 F₂ 在 F 中，并集 F₁ ∪ F₂ 是 F 的某個子族的交集(就是說，對于任何不在 F₁ 或 F₂ 的 x，存在一個 F₃ 在 F 包含 F₁ ∪ F₂ 并不包含 x)。

滿足這些條件的集合 X 的任何子集搜集形成 X 上的拓撲的閉集基。這個拓撲的閉集完全就是 F 的成員的交集。

在某些情況下，更習慣使用閉集基而非開集基。例如，一個空間是完全正規空間，當且僅當它的零集形成了閉集基。給定任何拓撲空間 X，零集形成在 X 上某個拓撲的閉集基。這個拓撲將是 X上比最初的要粗的最細的完全正規拓撲。在類似的脈絡下，在 Aⁿ 上的 Zariski拓撲被定義為選取多項式函數的零集作為閉集基。

準基

若拓扑空間${\displaystyle X}$ 是最小的拓扑使得${\displaystyle X}$ 的子集的集${\displaystyle B}$ 都是${\displaystyle X}$ 的開集，則稱${\displaystyle B}$ 為${\displaystyle X}$ 的一個準基（subbasis/subbase）。另一等價的定義為，若${\displaystyle B}$ 及其所有有限交集構成了拓扑空間${\displaystyle X}$ 之基，則${\displaystyle B}$ 為準基。

例子：

• 在實數線上，所有長度為1的開區間便是一個準基。

J.W. 亞歷山大證明了：若每個準基覆盖都有一個有限個元素的子覆蓋，則此空間是緊緻的。

注釋

1. 在這裡我們約定空搜集之聯集仍為空集。

參考文獻

• James Munkres (1975) Topology: a First Course. Prentice-Hall.
• Willard, Stephen (1970) General Topology. Addison-Wesley. Reprinted 2004, Dover Publications.