积空间

拓扑学和数学的相关领域中，积空间是指一族拓扑空间的笛卡儿积，并配备了一个称为积拓扑的自然的拓扑结构。

定义

令I为（可能无穷的）指标集，并设X_i为I中由i所对应的每一个拓扑空间。置X = Π X_i，也即集合X_i的卡积。对于每个I中的i，我们有一个标准投影 p_i : X → X_i。X上的积拓扑定义为所有投影p_i在该拓扑下连续的最疏拓扑（也就是开集最少的拓扑）。该乘积拓扑有时也称为吉洪诺夫拓扑。

很明显，X上的乘积拓扑可以表述为形为p_i⁻¹(U)的集合生成的拓扑，其中i属于I，而U是X_i的一个开集。换句话说，集合{p_i⁻¹(U)}构成X上的拓扑的子基。X的子集是开的当且仅当它是(可能无穷多的)的有限个形为p_i⁻¹(U)的集合的交集的并集。p_i⁻¹(U)有时称为开柱，而它们的交集称为柱集。

我们可以用构成X的空间X_i的基来表述乘积拓扑的基。设对于每个i属于I，选取一个集合Y_i或者是整空间X_i或者是该空间的一个基，并且满足X_i = Y_i对于除了有限个I中的i之外的所有i成立。令B为集合Y_i的卡积。所有可以这样构造的B集合的族构成乘积空间的一个基。这意味着有限多空间的乘积有一个由X_i的基元素的乘积组成的基。

如果指标集为有限（特别是，对于两个拓扑空间的乘积），则积拓扑有更简单的表述。这个情况下，每个X_i的拓扑的乘积构成X上的拓扑的一个基。一般来讲，X_i的拓扑的乘积构成一个称为X上的盒拓扑的基。一般情况下，盒拓扑比积拓扑更细，但是对于有限乘积，它们是相同的。

例子

从实直线R上的标准拓扑开始，定义n份R的乘积，就得到普通的Rⁿ上的欧几里得拓扑。

康托尔集同胚于可数个离散空间{0,1}的乘积而无理数的空间同胚于可数个自然数集的乘积，每个集合也是采用离散拓扑。

属性

乘积空间X加上标准投影，可以用如下的泛性质来刻划：若Y是拓扑空间，并且对于每个I中的i，f_i : Y → X_i是一个连续映射，则存在恰好一个连续映射f : Y → X满足对于每个I中的i如下交换图成立：

 

这表明乘积空间是拓扑空间范畴中的积。从上述泛性质可以得出映射f : Y → X连续当且仅当f_i = p_i o f对于所有I中的i连续。在很多情况下，检查分量函数f_i的连续性更为方便。检验映射f : Y→ X是否连续通常更难；可以试着用某种方式利用p_i连续这一点。

除了连续，标准投影p_i : X → X_i也是开映射。这表示每个积空间的开子集投影到X_i上还是开集。反过来不真：若W是到所有X_i的投影都是开集的积空间的子空间，则W不一定是X中的开集。（例如，W = R² \ (0,1)².）标准投影通常不是闭映射。

积拓扑有时称为点式收敛拓扑，因为：X上的一个序列 （或者网）收敛当且仅当它所有到X_i的投影收敛。特别是，如果考虑所有在空间X = R^I 对于所有I上的实值函数，在积拓扑上的收敛就是函数的点式收敛。

积拓扑的一个重要定理就是吉洪诺夫定理：任何紧致空间的乘积是紧致的。对于有限乘积很容易證明，而其一般情况等价于选择公理。

和其它拓扑概念的联系

• 可分离性
  • 每个T₀空间的积是T₀的。
  • 每个T₁空间的积是T₁的。
  • 每个豪斯多夫空间的积是豪斯多夫的。
  • 每个正则空间的积是正则的。
  • 每个吉洪诺夫空间的积是吉洪诺夫空间。
  • 正规空间的积不一定是正规的。
• 紧致性
  • 每个紧致空间的积是紧致的（吉洪诺夫定理）
  • 局部紧致空间的积不一定是局部紧致的。
• 连通性
  • 每个连通（路径－连通）空间是连通的（路径－连通的）。
  • 每个遗传性不连通空间的积是遗传性不连通的。

每个"局部看起来"一个标准投影F × U → U的空间称为纤维丛。

参看

• 盒拓扑
• 不交并 (拓扑学)
• 商空间
• 子空间拓扑