连通空间

R² 的连通和不连通子空间。上面的空间 A 是连通的，下面的空间 B 是不连通的。

定义

拓扑空间X称为是连通的。当且仅当以下叙述之一成立：

• X不能表示为两个分離的非空开集的并集。
• ∀A⊆X，A≠X或∅，A^-∩(X-A)^-≠∅。

一个拓扑空间被称为是不连通的，若它不是连通的。

连通性是拓扑空间的一个拓扑不变性质，即两个拓扑空间之间若存在一个同胚映射，其中一个空间是连通的，则另一个空间也是连通的。

一些数学家承认空集(按照它独有的拓扑)是连通空间，不过也有数学家不承认这一点。

连通单元

连通子集

拓扑空间X的子集A称为连通的，当且仅当A诱导的子拓扑空间是连通的。

连通单元

拓扑空间的极大连通子集称作连通单元。

完全不连通空间

拓扑空间X称为完全不连通空间，当且仅当X的连通单元都是单元素集合。

每个空间都能表成它的连通单元的不相交并集。

连通单元必然是闭的，在够好的空间（如流形、代数簇）上也同时是开的，但并非总是如此。

其它连通性定义

道路连通，弧连通

 

R² 的这个子空间是道路连通的，因为在这个空间的任何两点之间可绘制一个道路。

称拓扑空间X是道路连通空间，当且仅当∀x,y∈X，存在连续函数${\displaystyle \gamma :[0,1]\to X}$  使得 ${\displaystyle \gamma (0)=x,\gamma (1)=y}$ 。若${\displaystyle \gamma }$  可取为使得 ${\displaystyle [0,1]\to \gamma ([0,1])}$  为同胚，则称X为弧连通空间。

道路连通空间必定是连通空间，反之不一定。

道路连通的豪斯多夫空间必为弧连通空间。

局部连通

拓扑空间X称为局部连通的，当且仅当以下叙述之一成立：

• 空间中的任一点都存在连通的邻域（即该邻域是X的连通子集）。
• 空间的拓扑基完全由连通的集合组成。

例子

• 拓扑学家的正弦曲线。在平面欧几里得空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 中定义集合
  ${\displaystyle S=\{(x,\sin {\frac {1}{x}})|x\in (0,1]\}}$ 
  和
  ${\displaystyle T=\{(0,y)|y\in [0,1]\}}$ 
  。考虑${\displaystyle S\cup T}$ 在${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 中诱导的子拓扑空间，它是连通的，但不是局部连通的。
• 有理数集上的连通单元都是单元素集合，所以有理数集是一个完全不连通空间。

參考文獻

• Munkres, James R. Topology, Second Edition. Prentice Hall. 2000. ISBN 0-13-181629-2. 
• 埃里克·韦斯坦因. Connected Set. MathWorld. 
• V. I. Malykhin, Connected space, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Muscat, J; Buhagiar, D. (PDF). Mem. Fac. Sci. Eng. Shimane Univ., Series B: Math. Sc. 2006, 39: 1–13 [2011-09-06]. （原始内容 (PDF)存档于2016-03-04）. .