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立方体堆砌

二月 07, 2023

提示：此条目的主题不是立方體堆疊。

立方体堆砌（Cubic Honeycomb）[2]是三维空间内唯一的正密铺，也是28个半正密铺之一，由立方体堆砌而成，其縮寫為chon[3]。它亦可被看作是四维空间中由无穷多个立方体胞组成的二胞角为180°的四维正无穷胞体，因此在许多情况下它被算作是四维的多胞体。

立方体堆砌
立方蜂巢體
線架圖
類型正堆砌
家族立方形堆砌
維度3
對偶多胞形立方体堆砌（自身對偶）
類比正方形鑲嵌
識別
名稱立方体堆砌
參考索引[1]J11,15, A1
W1, G22
鮑爾斯縮寫
（verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）		chon
數學表示法
考克斯特符號
（英语：Coxeter-Dynkin diagram）
考克斯特記號
（英语：Coxeter notation）		[4,3,4]
纖維流形記號4−:2
施萊夫利符號{4,3,4}
性質
胞{4,3}
棱处相交胞：4×{4,3}
顶点处相交胞：8×{4,3}
面{4}
棱处相交面：4×{4}
顶点处相交面：12×{4}
邊∞
顶点处相交棱：6
歐拉示性數0
組成與佈局
顶点图
（正八面体）
對稱性
對稱群
空間群Pm3m
考克斯特群, [4,3,4]
特性
顶点正（英语：vertex-transitive）

立方形家族里的多胞形二胞角总是90°，因此总能独自完成超平面密铺，这些密铺又构成了另一家族“立方形堆砌”，具有对称性，有施莱夫利符号形式{4,3,……,3,4}。

性質

立方体堆砌由立方體填滿空間組成，每個頂點都是8個立方體的公共頂點、每條稜都是4個立方體的公共稜。

頂點坐標

立方体堆砌頂點的笛卡爾坐標為：

(i, j, k)
對所有的i,j,k皆為立方體邊長的整數倍

因此邊長為1立方體堆砌也可以視為空間中的座標網格。

由於立方体堆砌是一個自身對偶多胞形，因此其幾何中心位置同樣可以構成另一個立方体堆砌，因此其幾何中心座標也同樣滿足上述式子，而i,j,k值則為相鄰立方体幾何中心距離的整數倍。

正交投影

正交投影
對稱性 p6m (*632) p4m (*442) pmm (*2222)
實體圖      
框線圖      

相關堆砌

立方體堆砌是平面正方形鑲嵌{4,4}在三維空間的類比，他們的形式皆為{4,3,...,3,4}，為立方形堆砌家族的一部份，在這個系列的鑲嵌都是自身对偶。他也是28種由凸均勻多面體組成的均勻鑲嵌之一。

自然界中的立方体堆砌

 
氯化钠(NaCl)的晶体结构：面心立方晶格。

作为少有的三维半正堆砌，自然界中许多晶体都具有类似立方体堆砌的晶体结构，在固体物理学中被称为“立方晶系”，许多固体化合物，如氯化钠、硫化锌、氯化亚铜、萤石、三氧化铼和金属单质，如铝、钒、锂等，都具有这种晶系的结构。

簡單立方晶格

簡單立方晶格可以被扭曲成較低的對稱性，通過較低的晶系代表：

晶系 單斜
三斜 		正交 四方 三方 立方
胞
單位晶格 		平行六面體 長方體 三方
偏方面體 		正方體
點群
阶
旋轉對稱群 		[ ], (*)
Order 2
[ ]+, (1) 		[2,2], (*222)
Order 8
[2,2]+, (222) 		[4,2], (*422)
Order 16
[4,2]+, (422) 		[3], (*33)
Order 6
[3]+, (33) 		[4,3], (*432)
Order 48
[4,3]+, (432)
圖示          
空間群
旋轉對稱群 		Pm (6)
P1 (1) 		Pmmm (47)
P222 (16) 		P4/mmm (123)
P422 (89) 		R3m (160)
R3 (146) 		Pm3m (221)
P432 (207)
考克斯特式 - [∞]a×[∞]b×[∞]c [4,4]a×[∞]c - [4,3,4]a
考克斯特符號（英语：Coxeter diagram） -                       -        

表面著色

作为立方形堆砌家族其中一员，立方体堆砌有 对称性，有施莱夫利符号{4,3,4}，考克斯特符号       ，除此之外，作为一个空间堆砌，它有Pm3m空间平移对称性。

而然，立方体堆砌亦可以被看作是许多具有不同对称性的半正堆砌，它们所对应的对称性、施莱夫利符号、考克斯特符号见下表：

名称 考克斯特标记
空间群 		考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram） 施莱夫利符号 有限部
分图像 		颜色组合
（字母表示）
立方体堆砌 [4,3,4]
Pm3m 		        {4,3,4}
1: aaaa/aaaa
三次截半半
立方体堆砌 		[4,31,1]
Fm3m 		      {4,31,1}
2: abba/baab
截面立方体
堆砌 		[4,3,4]
Pm3m 		        t0,3{4,3,4}
4: abbc/bccd
[[4,3,4]]
Pm3m (229) 		    t0,3{4,3,4}
4: abbb/bbba
正四棱柱
堆砌 		[4,3,4,2,∞]           {4,4}×t{∞}
2: aaaa/bbbb
截棱正四棱柱
堆砌 		[4,3,4,2,∞]           t1{4,4}×{∞}
2: abba/abba
无穷次无穷次
无穷边形 		[∞,2,∞,2,∞]             t{∞}×t{∞}×{∞}
4: abcd/abcd
无穷次无穷次
无穷边形 		[∞,2,∞,2,∞]             t{∞}×t{∞}×t{∞}
8: abcd/efgh

相關多面體和鑲嵌

立方体堆砌與四維超正方體施萊夫利符號{4,3,3}相似，但超正方體只存在四維空間，且每個邊的周為只有三個正方體而立方体堆砌有四個。此外，也可以有每個邊的周為有五個正方體，他稱為五階立方体堆砌，存在於雙曲空間，施萊夫利符號為{4,3,5}。

{p,3,4}
空間 S3 E3 H3（英语：雙曲空間）
來源 有限 仿射 緊湊 仿緊 非緊
施式 {3,3,4}
       
      		{4,3,4}
       
     
         		{5,3,4}（英语：order-4 dodecahedral honeycomb）
       
      		{6,3,4}（英语：order-4 hexagonal tiling honeycomb）
       
     
        		{7,3,4}
       
      		{8,3,4}
       
      		... {∞,3,4}
       
     
圖像        
胞  
{3,3}
      		 
{4,3}
      		 
{5,3}
      		 
{6,3}
      		 
{7,3}
      		 
{8,3}
      		 
{∞,3}
     

考克斯特群[4,3,4]、       產生15個排列均勻的鑲嵌中，9個具有獨特的的幾何形狀，包括交替立方体堆砌、擴展立方堆砌是幾何上相同的立方體堆砌。

空間群 纖維流形 擴展
對稱群 		擴展
标记 		阶 蜂巢體
（堆砌）
Pm3m
(221) 		4−:2 [4,3,4]         ×1         1,         2,         3,         4,
        5,         6
Fm3m
(225) 		2−:2 [1+,4,3,4]
↔ [4,31,1] 		       
↔       		Half         7,         11,         12,         13
I43m
(217) 		4o:2 [[(4,3,4,2+)]]     Half × 2     (7),
Fd3m
(227) 		2+:2 [[1+,4,3,4,1+]]
↔ [[3[4]]] 		   
↔     		Quarter × 2     10,
Im3m
(229) 		8o:2 [[4,3,4]]     ×2

    (1),     8,     9

考克斯特群[4,31,1],      , 考克斯特群產生 9個排列均勻的鑲嵌中，其中4個具有獨特的的幾何形狀，包括交替立方体堆砌。

空間群 纖維流形 擴展
對稱群 		擴展
标记 		阶 蜂巢體
（堆砌）
Fm3m
(225) 		2−:2 [4,31,1]
↔ [4,3,4,1+] 		     
↔         		×1       1,       2,       3,       4
Fm3m
(225) 		2−:2 <[1+,4,31,1]>
↔ <[3[4]]> 		     
↔       		×2       (1),       (3)
Pm3m
(221) 		4−:2 <[4,31,1]>       ×2

      5,       6,       7,       (6),       9,       10,       11

立方體堆砌是 考克斯特群中的五個結構特別的均勻堆砌[4]之一，其對稱性可以乘以環在考克斯特-迪肯符號的對稱性：

空間群 纖維流形 方形
對稱群 		擴展
對稱群 		擴展
标记 		擴展
阶 		蜂巢體
（堆砌）
F43m
(216) 		1o:2 a1 [3[4]]       ×1 (None)
Fd3m
(227) 		2+:2 p2 [[3[4]]]    
↔         		×2     3
Fm3m
(225) 		2−:2 d2 <[3[4]]>
↔ [4,3,31,1] 		     
↔       		×2       1,      2
Pm3m
(221) 		4−:2 d4 [2[3[4]]]
↔ [4,3,4] 		     
↔         		×4       4
Im3m
(229) 		8o:2 r8 [4[3[4]]]
↔ [[4,3,4]] 		   
↔     		×8     5,     (*)

参考

  1. ^ For cross-referencing, they are given with list indices from Andreini (1-22), Williams(1-2,9-19), Johnson (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51-52, 61-65), and Grünbaum(1-28).
  2. ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)
  3. ^ Klitzing, Richard. chon. bendwavy.org. [2014-04-27]. 
  4. ^ [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）, A000029 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 6-1 cases, skipping one with zero marks
维基共享资源中相关的多媒体资源：立方体堆砌
  • H.S.M.考克斯特 Regular Polytopes, (第三版, 1973), Dover参与编辑, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Table II:正堆砌
  • George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuscript (2006) （包含11个凸半正镶嵌、28个凸半正堆砌、和143个凸半正四维砌的全表）
  • Branko Grünbaum, 三维正镶嵌. Geombinatorics 4(1994), 49 - 56.
  • Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication参与编辑, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
    • (22页) H.S.M.考克斯特, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1.9 半正空间镶嵌)
  • A. Andreini, Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (On the regular and semiregular nets of polyhedra and on the corresponding correlative nets), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 (1905) 75–129.
  • Klitzing, Richard. 3D Euclidean Honeycombs x4o3o4o - chon - O1. bendwavy.org. 
  • Uniform Honeycombs in 3-Space: 01-Chon （页面存档备份，存于互联网档案馆）

二月 07, 2023
立方体堆砌, 提示, 此条目的主题不是立方體堆疊, cubic, honeycomb, 是三维空间内唯一的正密铺, 也是28个半正密铺之一, 由而成, 其縮寫為chon, 它亦可被看作是四维空间中由无穷多个立方体胞组成的二胞角为180, 的四维正无穷胞体, 因此在许多情况下它被算作是四维的多胞体, 立方蜂巢體線架圖類型正堆砌家族立方形堆砌維度3對偶多胞形, 自身對偶, 類比正方形鑲嵌識別名稱參考索引, a1w1, g22鮑爾斯縮寫, verse, dimensions的wikia, bowers, acronym,. 提示 此条目的主题不是立方體堆疊 立方体堆砌 Cubic Honeycomb 2 是三维空间内唯一的正密铺 也是28个半正密铺之一 由立方体堆砌而成 其縮寫為chon 3 它亦可被看作是四维空间中由无穷多个立方体胞组成的二胞角为180 的四维正无穷胞体 因此在许多情况下它被算作是四维的多胞体 立方体堆砌 立方蜂巢體線架圖類型正堆砌家族立方形堆砌維度3對偶多胞形立方体堆砌 自身對偶 類比正方形鑲嵌識別名稱立方体堆砌參考索引 1 J11 15 A1W1 G22鮑爾斯縮寫 verse and dimensions的wikia Bowers acronym chon數學表示法考克斯特符號 英语 Coxeter Dynkin diagram 考克斯特記號 英语 Coxeter notation 4 3 4 纖維流形記號4 2施萊夫利符號 4 3 4 性質胞 4 3 棱处相交胞 4 4 3 顶点处相交胞 8 4 3 面 4 棱处相交面 4 4 顶点处相交面 12 4 邊 顶点处相交棱 6歐拉示性數0組成與佈局顶点图 正八面体 對稱性對稱群C 4 displaystyle tilde C 4 空間群Pm3m考克斯特群C 3 displaystyle tilde C 3 4 3 4 特性顶点正 英语 vertex transitive 查论编立方形家族里的多胞形二胞角总是90 因此总能独自完成超平面密铺 这些密铺又构成了另一家族 立方形堆砌 具有C n displaystyle tilde C n 对称性 有施莱夫利符号形式 4 3 3 4 目录 1 性質 1 1 頂點坐標 2 正交投影 3 相關堆砌 4 自然界中的立方体堆砌 4 1 簡單立方晶格 5 表面著色 6 相關多面體和鑲嵌 7 参考性質 编辑立方体堆砌由立方體填滿空間組成 每個頂點都是8個立方體的公共頂點 每條稜都是4個立方體的公共稜 頂點坐標 编辑 簡單立方 立方体堆砌頂點的笛卡爾坐標為 i j k dd 對所有的i j k皆為立方體邊長的整數倍因此邊長為1立方體堆砌也可以視為空間中的座標網格 由於立方体堆砌是一個自身對偶多胞形 因此其幾何中心位置同樣可以構成另一個立方体堆砌 因此其幾何中心座標也同樣滿足上述式子 而i j k值則為相鄰立方体幾何中心距離的整數倍 正交投影 编辑正交投影 對稱性 p6m 632 p4m 442 pmm 2222 實體圖 框線圖 相關堆砌 编辑立方體堆砌是平面正方形鑲嵌 4 4 在三維空間的類比 他們的形式皆為 4 3 3 4 為立方形堆砌家族的一部份 在這個系列的鑲嵌都是自身对偶 他也是28種由凸均勻多面體組成的均勻鑲嵌之一 自然界中的立方体堆砌 编辑 氯化钠 NaCl 的晶体结构 面心立方晶格 作为少有的三维半正堆砌 自然界中许多晶体都具有类似立方体堆砌的晶体结构 在固体物理学中被称为 立方晶系 许多固体化合物 如氯化钠 硫化锌 氯化亚铜 萤石 三氧化铼和金属单质 如铝 钒 锂等 都具有这种晶系的结构 簡單立方晶格 编辑 簡單立方晶格可以被扭曲成較低的對稱性 通過較低的晶系代表 晶系 單斜三斜 正交 四方 三方 立方胞單位晶格 平行六面體 長方體 三方偏方面體 正方體點群阶旋轉對稱群 Order 2 1 2 2 222 Order 8 2 2 222 4 2 422 Order 16 4 2 422 3 33 Order 6 3 33 4 3 432 Order 48 4 3 432 圖示 空間群旋轉對稱群 Pm 6 P1 1 Pmmm 47 P222 16 P4 mmm 123 P422 89 R3m 160 R3 146 Pm3m 221 P432 207 考克斯特式 a b c 4 4 a c 4 3 4 a考克斯特符號 英语 Coxeter diagram 表面著色 编辑作为立方形堆砌家族其中一员 立方体堆砌有C 4 displaystyle tilde C 4 对称性 有施莱夫利符号 4 3 4 考克斯特符号 除此之外 作为一个空间堆砌 它有Pm3m空间平移对称性 而然 立方体堆砌亦可以被看作是许多具有不同对称性的半正堆砌 它们所对应的对称性 施莱夫利符号 考克斯特符号见下表 名称 考克斯特标记空间群 考克斯特 迪肯符号 英语 Coxeter Dynkin diagram 施莱夫利符号 有限部分图像 颜色组合 字母表示 立方体堆砌 4 3 4 Pm3m 4 3 4 1 aaaa aaaa三次截半半立方体堆砌 4 31 1 Fm3m 4 31 1 2 abba baab截面立方体堆砌 4 3 4 Pm3m t0 3 4 3 4 4 abbc bccd 4 3 4 Pm3m 229 t0 3 4 3 4 4 abbb bbba正四棱柱堆砌 4 3 4 2 4 4 t 2 aaaa bbbb截棱正四棱柱堆砌 4 3 4 2 t1 4 4 2 abba abba无穷次无穷次无穷边形 2 2 t t 4 abcd abcd无穷次无穷次无穷边形 2 2 t t t 8 abcd efgh相關多面體和鑲嵌 编辑立方体堆砌與四維超正方體施萊夫利符號 4 3 3 相似 但超正方體只存在四維空間 且每個邊的周為只有三個正方體而立方体堆砌有四個 此外 也可以有每個邊的周為有五個正方體 他稱為五階立方体堆砌 存在於雙曲空間 施萊夫利符號為 4 3 5 p 3 4 空間 S3 E3 H3 英语 雙曲空間 來源 有限 仿射 緊湊 仿緊 非緊施式 3 3 4 4 3 4 5 3 4 英语 order 4 dodecahedral honeycomb 6 3 4 英语 order 4 hexagonal tiling honeycomb 7 3 4 8 3 4 3 4 圖像 胞 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 3 3 考克斯特群 4 3 4 產生15個排列均勻的鑲嵌中 9個具有獨特的的幾何形狀 包括交替立方体堆砌 擴展立方堆砌是幾何上相同的立方體堆砌 空間群 纖維流形 擴展對稱群 擴展标记 阶 蜂巢體 堆砌 Pm3m 221 4 2 4 3 4 1 1 2 3 4 5 6Fm3m 225 2 2 1 4 3 4 4 31 1 Half 7 11 12 13I43m 217 4o 2 4 3 4 2 Half 2 7 Fd3m 227 2 2 1 4 3 4 1 3 4 Quarter 2 10 Im3m 229 8o 2 4 3 4 2 1 8 9考克斯特群 4 31 1 考克斯特群產生 9個排列均勻的鑲嵌中 其中4個具有獨特的的幾何形狀 包括交替立方体堆砌 空間群 纖維流形 擴展對稱群 擴展标记 阶 蜂巢體 堆砌 Fm3m 225 2 2 4 31 1 4 3 4 1 1 1 2 3 4Fm3m 225 2 2 lt 1 4 31 1 gt lt 3 4 gt 2 1 3 Pm3m 221 4 2 lt 4 31 1 gt 2 5 6 7 6 9 10 11立方體堆砌是A 3 displaystyle tilde A 3 考克斯特群中的五個結構特別的均勻堆砌 4 之一 其對稱性可以乘以環在考克斯特 迪肯符號的對稱性 空間群 纖維流形 方形對稱群 擴展對稱群 擴展标记 擴展阶 蜂巢體 堆砌 F43m 216 1o 2 a1 3 4 1 None Fd3m 227 2 2 p2 3 4 2 3Fm3m 225 2 2 d2 lt 3 4 gt 4 3 31 1 2 1 2Pm3m 221 4 2 d4 2 3 4 4 3 4 4 4Im3m 229 8o 2 r8 4 3 4 4 3 4 8 5 参考 编辑 For cross referencing they are given with list indices from Andreini 1 22 Williams 1 2 9 19 Johnson 11 19 21 25 31 34 41 49 51 52 61 65 and Grunbaum 1 28 John H Conway Heidi Burgiel Chaim Goodman Strauss 2008 The Symmetries of Things ISBN 978 1 56881 220 5 Chapter 21 Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings Architectonic and Catoptric tessellations p 292 298 includes all the nonprismatic forms Klitzing Richard chon bendwavy org 2014 04 27 1 页面存档备份 存于互联网档案馆 A000029 页面存档备份 存于互联网档案馆 6 1 cases skipping one with zero marks 维基共享资源中相关的多媒体资源 立方体堆砌H S M 考克斯特 Regular Polytopes 第三版 1973 Dover参与编辑 ISBN 0 486 61480 8 p 296 Table II 正堆砌 George Olshevsky Uniform Panoploid Tetracombs Manuscript 2006 包含11个凸半正镶嵌 28个凸半正堆砌 和143个凸半正四维砌的全表 Branko Grunbaum 三维正镶嵌 Geombinatorics 4 1994 49 56 Kaleidoscopes Selected Writings of H S M Coxeter F Arthur Sherk Peter McMullen Anthony C Thompson Asia Ivic Weiss Wiley Interscience Publication参与编辑 1995 ISBN 978 0 471 01003 6 2 页面存档备份 存于互联网档案馆 22页 H S M 考克斯特 Regular and Semi Regular Polytopes I Math Zeit 46 1940 380 407 MR 2 10 1 9 半正空间镶嵌 A Andreini Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative On the regular and semiregular nets of polyhedra and on the corresponding correlative nets Mem Societa Italiana della Scienze Ser 3 14 1905 75 129 Klitzing Richard 3D Euclidean Honeycombs x4o3o4o chon O1 bendwavy org Uniform Honeycombs in 3 Space 01 Chon 页面存档备份 存于互联网档案馆 取自 https zh wikipedia org w index php title 立方体堆砌 amp oldid 75178241, 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