傅里叶变换（法語：Transformation de Fourier，英語：Fourier transform，缩写：FT）是一种线性变换，通常定义为一种积分变换。其基本思想是一个函数可以用（可数或不可数，可数的情况对应于傅里叶级数）无穷多个周期函数的线性组合来逼近，从而这些组合系数在保有原函数的几乎全部信息的同时，还直接地反映了该函数的“頻域特征”。
傅里叶变换, 法語, transformation, fourier, 英語, fourier, transform, 缩写, 是一种线性变换, 通常定义为一种积分变换, 其基本思想是一个函数可以用, 可数或不可数, 可数的情况对应于傅里叶级数, 无穷多个周期函数的线性组合来逼近, 从而这些组合系数在保有原函数的几乎全部信息的同时, 还直接地反映了该函数的, 頻域特征, 将函数的时域, 红色, 与频域, 蓝色, 相关联, 频谱中的不同成分频率在频域中以峰值形式表示, 因其基本思想首先由法国学者约瑟夫, 傅里叶系统地. 傅里叶变换 法語 Transformation de Fourier 英語 Fourier transform 缩写 FT 是一种线性变换 通常定义为一种积分变换 其基本思想是一个函数可以用 可数或不可数 可数的情况对应于傅里叶级数 无穷多个周期函数的线性组合来逼近 从而这些组合系数在保有原函数的几乎全部信息的同时 还直接地反映了该函数的 頻域特征 傅里叶变换将函数的时域 红色 与频域 蓝色 相关联 频谱中的不同成分频率在频域中以峰值形式表示 因其基本思想首先由法国学者约瑟夫 傅里叶系统地提出 所以以其名字来命名以示纪念 在现代数学理论中 傅里叶积分变换可以得到各种推广 并在分析学中有广泛应用 构成了調和分析这一数学领域 经过傅里叶变换生成的函数 f displaystyle hat f 称作原函数 f displaystyle f 的傅里叶变换 应用意义上称作频谱 在特定情況下 傅里叶变换是可逆的 即将 f displaystyle hat f 通过逆变换可以得到其原函数 f displaystyle f 通常情况下 f displaystyle f 是一个实函数 而 f displaystyle hat f 则是一个复数值函数 其函数值作为复数可同时表示振幅和相位 目录 1 定义 1 1 傅里叶积分变换 1 2 收敛性 1 3 速降函数 1 4 勒贝格积分与勒贝格可积函数 1 5 平方可积函数 1 6 缓增分布 1 6 1 例子 1 7 变换参数的常见约定 2 应用 2 1 数学 2 2 物理学 3 基本性质 3 1 线性性质 3 2 平移性质 3 3 放缩性质 3 4 导数关系 3 5 卷积定理 3 6 互相关定理 3 7 实虚部与奇偶性 3 8 帕塞瓦尔定理 3 9 黎曼 勒贝格定理 3 10 本征函数 4 傅里叶变换的其他变种 4 1 傅里叶级数 4 2 离散时间傅里叶变换 4 3 离散傅里叶变换 4 4 在阿贝尔群上的统一描述 4 5 时频分析变换 4 6 傅里叶变换家族 4 7 傅里叶 斯蒂尔杰斯变换 5 常用傅里叶变换表 5 1 函数关系 5 2 平方可积函数 5 3 分布 5 4 二元函数 5 5 三元函数 6 参见 7 參考資料 7 1 引用 7 2 来源 8 外部連結定义 编辑对于不同种类的函数 有一些不同版本的傅里叶变换的定义 对于定义在欧几里得空间 Rd displaystyle mathbb R d nbsp 上的函数 可给出通常的连续傅里叶变换 对于定义在 d displaystyle d nbsp 维环面 Td displaystyle mathbb T d nbsp 上的函数 或者说周期函数 就给出傅里叶级数 进行傅里叶变换的函数的定义域可以推广到拓扑群 如局部紧交换群 若 傅里叶变换 一词不加任何限定语 则往往是指所谓 连续傅里叶变换 下文我们默认讨论连续傅里叶变换 其他的常见变种列于傅里叶变换的其他变种一节 傅里叶积分变换 编辑 对于一个多实变量的复函数 f Rd C displaystyle f mathbb R d to mathbb C nbsp 其傅里叶变换的结果 记作 f Rd C displaystyle hat f mathbb R d to mathbb C nbsp 或 F f displaystyle mathcal F f nbsp 最广为人知的定义方式是下面的傅里叶积分F f k f k Rdf x e 2pik x dx displaystyle mathcal F f mathbf k hat f mathbf k int mathbb R d f mathbf x e 2 pi i mathbf k cdot mathbf x mathrm d mathbf x nbsp 称为傅里叶积分变换 值得一提的是 不同的作者可能在定义中对积分号前的系数 1 displaystyle 1 nbsp 和指数上的系数 2pi displaystyle 2 pi i nbsp 进行调整 不同领域有不同的惯用约定 1 参见变换参数的常见约定 许多情况下 还可以定义另一个积分变换 F 1 displaystyle mathcal F 1 nbsp F 1 f x fˇ x Rdf k e2pix k dk displaystyle mathcal F 1 f mathbf x check f mathbf x int mathbb R d f mathbf k e 2 pi i mathbf x cdot mathbf k mathrm d mathbf k nbsp 且如记号所暗示的那样 它称作傅里叶积分逆变换 也就是说满足 F F 1 id F F 1 displaystyle mathcal F circ mathcal F 1 mathrm id mathcal F circ mathcal F 1 nbsp 以上的定义并不总是有效 比如 若某函数的傅里叶积分不收敛 则这一版本的傅里叶变换对其就无法定义 即便傅里叶积分收敛 所得的函数的积分逆变换也可能不收敛 或者这两个变换不是上面所希望的互逆关系 所以须了解对于什么样的函数可进行傅里叶变换 并且满足不同假定的函数的傅里叶变换可能有不同性质 另外 可以进行上述积分变换的函数太少 如 1 displaystyle 1 nbsp 这样的常值函数或各种多项式函数都无法使用上面的积分定义 这些情况对于信号频域分析等直接应用而言也是十分重要的 因而希望推广其定义 这就是下面几个小节的主题 收敛性 编辑 对于一个 Rd displaystyle mathbb R d nbsp 上的连续函数 f displaystyle f nbsp 而言 要使其黎曼积分收敛 主要需限制其在趋向无穷远时的衰减速度 为使前述傅里叶积分收敛 可以考虑使得 xd ϵ f x displaystyle x d epsilon f x nbsp 有界的连续函数 f displaystyle f nbsp 其中 ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp 容易验证这些函数在通常加法和数乘下构成一个向量空间 记作 Mϵ displaystyle mathcal M epsilon nbsp 这些函数都是黎曼可積的 2 并且乘上模为1的指数函数所得函数仍在 Mϵ displaystyle mathcal M epsilon nbsp 中 也就是说其傅里叶积分也是收敛的 速降函数 编辑 Mϵ displaystyle mathcal M epsilon nbsp 上的傅里叶变换已具备许多良好的性质 然而 由于未必有 f Mϵ f Mϵ displaystyle f in M epsilon implies hat f in M epsilon nbsp 所以 F Mϵ Mϵ displaystyle mathcal F mathcal M epsilon to mathcal M epsilon nbsp 可能不具可逆性 一些分析表明 f displaystyle hat f nbsp 趋向无穷远时的衰减行为与 f displaystyle f nbsp 的连续性与可微性有关 为使 f displaystyle hat f nbsp 更快地衰减 f displaystyle f nbsp 应具有更好的光滑性 反过来也一样 2 这启发我们研究所谓速降函数 其任意阶导数的衰减速度都快于任意负幂次函数 其构成的向量空间称为速降函数空间 记作 S displaystyle mathcal S nbsp 速降函数的傅里叶变换仍是速降函数 那么上面的积分逆变换可以定义在整个 S displaystyle mathcal S nbsp 上 可以证明该积分确实是逆变换 于是傅里叶积分变换是 S displaystyle mathcal S nbsp 上的一个自同构 勒贝格积分与勒贝格可积函数 编辑 上述积分变换是基于黎曼积分的 然而相比之下 使用基于测度的勒貝格積分来定义傅里叶积分变换有许多的优势 下文提到傅里叶积分变换时都默认是勒贝格积分意义上的 Rd displaystyle mathbb R d nbsp 上全体勒贝格可积的函数构成的向量空间记作 L1 Rd displaystyle L 1 mathbb R d nbsp 或此处省略地记为 L1 displaystyle L 1 nbsp 其是Lp空间的一种 对于勒贝格可积函数 f L1 displaystyle f in L 1 nbsp 而言 由于 f x e2pik x f x e2pik x f x displaystyle f x e 2 pi i mathbf k cdot mathbf x f x e 2 pi i mathbf k cdot mathbf x f x nbsp f x e2pik x displaystyle f x e 2 pi i mathbf k cdot mathbf x nbsp 也是勒贝格可积的 也就是说傅里叶积分变换在 L1 displaystyle L 1 nbsp 上有定义 一般来说可积函数 f L1 displaystyle f in L 1 nbsp 的傅里叶变换 f displaystyle hat f nbsp 未必是可积的 但对于其中可积的 f L1 displaystyle hat f in L 1 nbsp 可以证明 3 积分逆变换 Rdf k e2pix k dk displaystyle int mathbb R d hat f mathbf k e 2 pi i mathbf x cdot mathbf k mathrm d mathbf k nbsp 对于 x Rd displaystyle mathbf x in mathbb R d nbsp 幾乎處處收敛于 f x displaystyle f mathbf x nbsp 平方可积函数 编辑 对于勒贝格积分定义的傅里叶积分变换而言 它仍是速降函数空间 S displaystyle mathcal S nbsp 上的自同构 更具体地说 这是一个連續线性等距自同构 可查阅连续线性算子以了解可能导出的其他性质 另 这里所涉及的范数是L2范数 一个重要的事实是 S displaystyle mathcal S nbsp 在平方可積函數空间 L2 displaystyle L 2 nbsp 中稠密 而 L2 displaystyle L 2 nbsp 是一个希尔伯特空间 这意味着 S displaystyle mathcal S nbsp 上的任一连续线性算子可以扩张 英语 Extension of a function 到 L2 displaystyle L 2 nbsp 上且保持连续性 且这样的扩张唯一 也就是说 若可找到速降函数序列 fn displaystyle f n nbsp 收敛于一个平方可积函数 f displaystyle f nbsp 那么 f displaystyle f nbsp 的傅里叶变换可定义为序列 fn displaystyle hat f n nbsp 的极限 而不产生收敛性与对 fn displaystyle f n nbsp 选择的依赖问题 更进一步地 这个扩张还可以保持等距同构性质 在 L2 displaystyle L 2 nbsp 上满足这一性质意味着傅里叶变换是一个幺正算子 这就是普朗歇尔定理的内容 这一变换并不对于所有的平方可积函数都具有一个积分定义式 对于补集 L2 L1 displaystyle L 2 setminus L 1 nbsp 中的函数则需要通过极限来定义 故不再称其为积分变换 而是称为傅里叶 普朗歇尔变换或简单称为傅里叶变换或普朗歇尔变换 缓增分布 编辑 主条目 缓增分布和分布如前面所提到的 非零多项式函数不是可积或平方可积的 从而无法使用上面的方法来定义傅里叶变换 这一点可以通过考虑缓增分布 英语 Tempered distribution 来解决 分布 也称为是一种广义函数 是测试函数空间上的连续线性泛函 即 该空间的連續對偶空間的成员 而缓增分布则是以速降函数为测试函数的情况 不过须注意 测试函数空间所要求的收敛性与前文提及的由范数诱导的收敛性都不同 实际上作为测试函数空间的 S displaystyle mathcal S nbsp 的这种收敛性无法由任何范数诱导 它构成一个可数范数空间 4 缓增分布 f displaystyle f nbsp 的傅里叶变换 f displaystyle hat f nbsp 定义为 5 f S C f f f displaystyle hat f mathcal S to mathbb C varphi mapsto f hat varphi nbsp 也就是说 若记 S displaystyle mathcal S nbsp 上的傅里叶变换为 F0 displaystyle mathcal F 0 nbsp S displaystyle mathcal S nbsp 的连续对偶空间为 S displaystyle mathcal S nbsp 则 F0 displaystyle mathcal F 0 nbsp 的共轭算子 F0 displaystyle mathcal F 0 nbsp 在 S displaystyle mathcal S nbsp 上的限制就是缓增分布的傅里叶变换 这个变换也是可逆的 并且在某种意义上是 F0 displaystyle mathcal F 0 nbsp 的扩张 也就是说可以用它来变换的函数比 S displaystyle mathcal S nbsp 中的更多 为说明这一点 下面在一维情况下举些例子 例子 编辑 对于速降函数 g S displaystyle g in mathcal S nbsp 其有这样唯一一个由积分定义的连续线性泛函 g displaystyle g nbsp 与之对应 这一点实际上只需局部可积函数 g f Rf x g x dx displaystyle g varphi mapsto int mathbb R varphi x g x mathrm d x nbsp 现在对其做傅里叶变换 得到g f Rf x g x dx Rf x g x dx displaystyle hat g varphi int mathbb R hat varphi x g x mathrm d x int mathbb R varphi x hat g x mathrm d x nbsp 其中第二个等号源于 F0 displaystyle mathcal F 0 nbsp 的如下性质 由富比尼定理易证 Rdps x ϕ x dx Rdps x ϕ x dx displaystyle int mathbb R d hat psi mathbf x phi mathbf x mathrm d mathbf x int mathbb R d psi mathbf x hat phi mathbf x mathrm d mathbf x nbsp 由此可看出线性泛函 g displaystyle hat g nbsp 以前述的方式唯一对应于函数 g displaystyle hat g nbsp 唯一性在这样意义上理解 对应相同线性泛函的函数几乎处处相等 在这个意义上它对于 g S displaystyle g in mathcal S nbsp 是与 F0 displaystyle mathcal F 0 nbsp 的定义相重合的 然而并非所有连续线性泛函都有这样的积分表示 如所谓求值泛函 0处的求值泛函作用于每个函数时 都给出该函数在0处的值 d0 S C f f 0 displaystyle delta 0 mathcal S to mathbb C varphi mapsto varphi 0 nbsp 它正是所谓狄拉克d函数 其傅里叶变换满足d0 f d0 f f 0 Rf x dx displaystyle hat delta 0 varphi delta 0 hat varphi hat varphi 0 int mathbb R varphi x mathrm d x nbsp 而这正是常值函数 1 displaystyle 1 nbsp 如前述方式对应的线性泛函 1 displaystyle 1 nbsp 也就是说在这个意义上 狄拉克d 函数 的傅里叶变换是 1 displaystyle 1 nbsp 从频谱意义上理解 这意味着常值函数的频谱集中在零频率处 或者说周期无穷大 exp ikx k 0 1 displaystyle exp left ikx right k 0 1 nbsp 的情况 变换参数的常见约定 编辑 如前面提到的 傅里叶积分变换中有可调整的参数 对它们的调整不会造成变换性质的显著变化 而仅仅是对变换结果的定义域或值域进行了放缩 通过显式地引入参数 a b displaystyle a b nbsp 傅里叶积分变换的通式可以写为 1 f k b 2p 1 a d 2 Rdf x eibk xdx displaystyle hat f mathbf k left frac b 2 pi 1 a right d 2 int mathbb R d f mathbf x e ib mathbf k cdot mathbf x mathrm d mathbf x nbsp 相应的满足 F F 1 id F F 1 displaystyle mathcal F circ mathcal F 1 mathrm id mathcal F circ mathcal F 1 nbsp 的逆变换定义为fˇ x b 2p 1 a d 2 Rdf k e ibk xdk displaystyle check f mathbf x left frac b 2 pi 1 a right d 2 int mathbb R d f mathbf k e ib mathbf k cdot mathbf x mathrm d mathbf k nbsp 特殊参数选择的特性 编号 选择 特性1 a 0 displaystyle a 0 nbsp 变换与逆变换有相同的前置因子 且变换是幺正的2 2p 1 a b displaystyle 2 pi 1 a b nbsp 正变换没有前置因子3 2p 1 a b displaystyle 2 pi 1 a b nbsp 逆变换没有前置因子4 b 1 displaystyle b 1 nbsp 变换的自变量 k displaystyle k nbsp 对应于角频率5 b 2p displaystyle b 2 pi nbsp 变换的自变量 k displaystyle k nbsp 对应于频率6 b lt 0 displaystyle b lt 0 nbsp exp ix displaystyle exp ix nbsp 贡献正频率部分的谱7 b gt 0 displaystyle b gt 0 nbsp exp ix displaystyle exp ix nbsp 贡献正频率部分的谱一些选择组合因同时满足上面多个特性或在特定领域中自然出现而变得常见 列在下表 一些常见选择 1 编号 a b 满足特性 场景1 0 1 1 4 7 现代物理2 1 1 2 4 6 纯数学 系统工程3 1 1 3 4 7 传统物理4 0 2p displaystyle 2 pi nbsp 1 2 3 5 6 信号处理本节中使用的约定是 a b 0 2p displaystyle a b 0 2 pi nbsp 应用 编辑傅里叶变换在医学 数据科学 物理学 声学 光学 结构力学 量子力学 数论 组合数学 概率论 统计学 信号处理 密码学 大氣科學 海洋学 通讯 金融等领域都有着广泛的应用 数学 编辑 此章节需要扩充 傅里叶变换可用于将索伯列夫空间 Ws p displaystyle W s p nbsp 上的范数从 s Z displaystyle s in mathbb Z nbsp 的情况推广至为 s R displaystyle s in mathbb R nbsp 的情况 一个随机变量的特征函数是機率密度函數的傅里叶变换 E eit X eit xdmX x displaystyle E e it cdot X int e it cdot x d mu X x nbsp 尽管技术上往往使用傅里叶 斯蒂尔切斯变换的形式 物理学 编辑 在处理具有波动方程背景的函数时 频域的信息处理起来通常更为方便 且信号的滤波等频域操作在器件方面有简单的实现 除了力学振动 振荡电路等有明显波动方程背景的问题外 也有一些其他情况使得傅里叶变换在理论中自然地出现 如 光学中 近轴近似下的菲涅耳衍射积分是一个傅里叶变换 量子力学中 位置表象与动量表象之间的变换是一个傅里叶变换 量子场论中 一个具有良好性质 6 的场算子通常由創生及湮滅算符的傅里叶变换构造而来 基本性质 编辑下面性质的更直观的写法可参见常用傅里叶变换表 线性性质 编辑 傅里叶变换是线性映射 也就是说对于 a b R f g Dom F textstyle forall alpha beta in mathbb R quad forall f g in operatorname Dom mathcal F nbsp 也存在 F af bg aF f bF g displaystyle mathcal F alpha f beta g alpha mathcal F f beta mathcal F g nbsp 平移性质 编辑 可定义函数间的映射 ta displaystyle tau alpha nbsp 满足ta f x f x a displaystyle tau alpha f x f x alpha nbsp 称为平移算子 其可以推广到缓增分布上 定义为共轭算子 t a t a displaystyle tilde tau alpha tau alpha nbsp 也就是说对于 ϕ S f S ϕ t af t af f displaystyle forall phi in mathcal S varphi in mathcal S quad phi tau alpha varphi tilde tau alpha f varphi nbsp 其中省略了表示平移算子作用于函数所需的括号 下文不再区分函数与分布的平移 采用相同记号 傅里叶变换与平移算子满足如下关系 taf k exp 2piak f k displaystyle widehat tau alpha f k exp 2 pi i alpha k hat f k nbsp 反过来 对于函数 g x exp 2piax f x displaystyle g x exp 2 pi i alpha x f x nbsp 也有 g k taf k displaystyle hat g k tau alpha hat f k nbsp 也就是说平移与相移相关联 放缩性质 编辑 f ax F 1 a f 3a a 0 displaystyle f ax stackrel mathcal F Longleftrightarrow frac 1 a widehat f left frac xi a right quad a neq 0 nbsp a 1 displaystyle a 1 nbsp 的情况即给出所谓反射性质 导数关系 编辑 傅里叶变换与导数算子满足如下关系 a f k exp 2pik af k displaystyle widehat partial alpha f k exp 2 pi ik alpha hat f k nbsp 其中 a displaystyle alpha nbsp 是高阶导数 多元情况则一般化为多重指标 反过来 对于函数 g x 2pix af x displaystyle g x 2 pi ix alpha f x nbsp 也有 g k a f k displaystyle hat g k partial alpha hat f k nbsp 也就是说求导在乘上频率是相关联的 这里的导数算子也可以是缓增分布的导数算子 同样由共轭算子定义为 a 1 a a displaystyle tilde partial alpha 1 alpha partial alpha nbsp 卷积定理 编辑 更多信息 卷积 若函数 f g displaystyle f g nbsp 有傅里叶变换 且存在卷积 f g x Rf x 3 g 3 d3 displaystyle f star g x mapsto int mathbb R f x xi g xi d xi nbsp 则该卷积的傅里叶变换即 f g displaystyle hat f hat g nbsp 也可以推广地定义分布 ϕ displaystyle phi nbsp 与测试函数 f displaystyle varphi nbsp 的卷积 这时同样有 ϕ f f ϕ displaystyle widehat phi star varphi hat varphi hat phi nbsp 互相关定理 编辑 此小节可参照英語維基百科相應條目来扩充 若您熟悉来源语言和主题 请协助参考外语维基百科扩充条目 请勿直接提交机械翻译 也不要翻译不可靠 低品质内容 依版权协议 译文需在编辑摘要注明来源 或于讨论页顶部标记 a href Template Translated page html title Template Translated page Translated page a 标签 实虚部与奇偶性 编辑 此小节可参照英語維基百科相應條目来扩充 若您熟悉来源语言和主题 请协助参考外语维基百科扩充条目 请勿直接提交机械翻译 也不要翻译不可靠 低品质内容 依版权协议 译文需在编辑摘要注明来源 或于讨论页顶部标记 a href Template Translated page html title Template Translated page Translated page a 标签 帕塞瓦尔定理 编辑 主条目 帕塞瓦尔定理和普朗歇尔定理 L2 displaystyle L 2 nbsp 上的傅里叶变换是等距映射 或者说 若函数 f x displaystyle f left x right nbsp 平方可積 则 f x 2dx f w 2dw displaystyle int infty infty f x 2 dx int infty infty hat f omega 2 d omega nbsp 黎曼 勒贝格定理 编辑 主条目 黎曼 勒贝格定理 本征函数 编辑 此小节可参照英語維基百科相應條目来扩充 若您熟悉来源语言和主题 请协助参考外语维基百科扩充条目 请勿直接提交机械翻译 也不要翻译不可靠 低品质内容 依版权协议 译文需在编辑摘要注明来源 或于讨论页顶部标记 a href Template Translated page html title Template Translated page Translated page a 标签 傅里叶变换的其他变种 编辑傅里叶级数 编辑 主条目 傅里叶级数 连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数 Fourier series 的推广 因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已 对于周期函数 其傅里叶级数是存在的 f x n Fneinx displaystyle f x sum n infty infty F n e inx nbsp 其中Fn displaystyle F n nbsp 为复振幅 对于实值函数 函数的傅里叶级数可以写成 f x a02 n 1 ancos nx bnsin nx displaystyle f x frac a 0 2 sum n 1 infty left a n cos nx b n sin nx right nbsp 其中an和bn是实频率分量的振幅 傅里叶分析最初是研究周期性现象 即傅里叶级数的 后来通过傅里叶变换将其推广到了非周期性现象 理解这种推广过程的一种方式是将非周期性现象视为周期性现象的一个特例 即其周期为无限长 离散时间傅里叶变换 编辑 主条目 离散时间傅里叶变换 离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换 DTFT 的特例 有时作为后者的近似 DTFT在时域上离散 在频域上则是周期的 DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆轉換 离散傅里叶变换 编辑 主条目 离散傅里叶变换 为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换 必须将函数xn定义在离散点而非连续域内 且须满足有限性或周期性条件 这种情况下 使用离散傅里叶变换 将函数xn表示为下面的求和形式 Xk n 0N 1xne i2pNknk 0 N 1 displaystyle X k sum n 0 N 1 x n e i frac 2 pi N kn qquad k 0 dots N 1 nbsp 其中Xk displaystyle X k nbsp 是傅里叶振幅 直接使用这个公式计算的计算复杂度为O n2 displaystyle mathcal O n 2 nbsp 而快速傅里叶变换 FFT 可以将复杂度改进为O nlog n displaystyle mathcal O n log n nbsp 计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法 在阿贝尔群上的统一描述 编辑 主条目 龐特里亞金對偶性 以上的傅里叶变换都可以被统一描述为任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换 这一问题属于调和分析的范畴 在调和分析中 一个变换从一个群变换到它的对偶群 此外 将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论 傅里叶变换的广义理论基础参见庞特里亚金对偶性中的介绍 时频分析变换 编辑 主条目 时频分析变换 小波变换 Chirplet变换和分数傅里叶变换的都是为了得到时间信号的频率信息 同时解析频率和时间的能力在数学上受不确定性原理的限制 傅里叶变换家族 编辑 主条目 傅立叶变换家族中的关系 下表列出了傅里叶变换家族的成员 容易发现 函数在时 频 域的离散对应于其像函数在频 时 域的周期性 反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性 下表给出详细的情形 变换 时间 频率连续傅里叶变换 連續 非週期性 連續 非週期性傅里叶级数 連續 週期性 離散 非週期性离散时间傅里叶变换 離散 非週期性 連續 週期性离散傅里叶变换 離散 週期性 離散 週期性傅里叶 斯蒂尔杰斯变换 编辑 此小节可参照英語維基百科相應條目来扩充 若您熟悉来源语言和主题 请协助参考外语维基百科扩充条目 请勿直接提交机械翻译 也不要翻译不可靠 低品质内容 依版权协议 译文需在编辑摘要注明来源 或于讨论页顶部标记 a href Template Translated page html title Template Translated page Translated page a 标签 常用傅里叶变换表 编辑下面的表记录了一些封闭形式的傅立叶变换 对于函数f x displaystyle f x nbsp g x displaystyle g x nbsp 和h x displaystyle h x nbsp 它们的傅立叶变换分别表示为f displaystyle hat f nbsp g displaystyle hat g nbsp 和h displaystyle hat h nbsp 只包含了三种最常见的形式 注意条目105给出了一个函数的傅里叶变换与其原函数 这可以看作是傅里叶变换及其逆变换的关系 函数关系 编辑 下表列出的常用的傅里叶变换对可以在Erdelyi 1954 或Kammler 2000 appendix 中找到 函数 傅立叶变换 么正 普通的频率 傅立叶变换 么正 角频率 傅立叶变换 非么正 角频率 注释f x displaystyle displaystyle f x nbsp f 3 displaystyle displaystyle hat f xi nbsp f x e 2pix3dx displaystyle displaystyle int infty infty f x e 2 pi ix xi dx nbsp f w displaystyle displaystyle hat f omega nbsp 12p f x e iwxdx displaystyle displaystyle frac 1 sqrt 2 pi int infty infty f x e i omega x dx nbsp f n displaystyle displaystyle hat f nu nbsp f x e inxdx displaystyle displaystyle int infty infty f x e i nu x dx nbsp 基本定义101 a f x b g x displaystyle displaystyle a cdot f x b cdot g x nbsp a f 3 b g 3 displaystyle displaystyle a cdot hat f xi b cdot hat g xi nbsp a f w b g w displaystyle displaystyle a cdot hat f omega b cdot hat g omega nbsp a f n b g n displaystyle displaystyle a cdot hat f nu b cdot hat g nu nbsp 线性性质102 f x a displaystyle displaystyle f x a nbsp e 2pia3f 3 displaystyle displaystyle e 2 pi ia xi hat f xi nbsp e iawf w displaystyle displaystyle e ia omega hat f omega nbsp e ianf n displaystyle displaystyle e ia nu hat f nu nbsp 时域平移103 e2piaxf x displaystyle displaystyle e 2 pi iax f x nbsp f 3 a displaystyle displaystyle hat f left xi a right nbsp f w 2pa displaystyle displaystyle hat f omega 2 pi a nbsp f n 2pa displaystyle displaystyle hat f nu 2 pi a nbsp 频域平移 变换102的频域对应104 f ax displaystyle displaystyle f ax nbsp 1 a f 3a displaystyle displaystyle frac 1 a hat f left frac xi a right nbsp 1 a f wa displaystyle displaystyle frac 1 a hat f left frac omega a right nbsp 1 a f na displaystyle displaystyle frac 1 a hat f left frac nu a right nbsp 在时域中定标 如果 a displaystyle displaystyle a nbsp 值较大 则f ax displaystyle displaystyle f ax nbsp 会收缩到原点附近 而1 a f wa displaystyle displaystyle frac 1 a hat f left frac omega a right nbsp 会扩散并变得扁平 当 a displaystyle displaystyle a nbsp 趋向无穷时 f ax displaystyle displaystyle f ax nbsp 成为狄拉克d函数 105 f x displaystyle displaystyle hat f x nbsp f 3 displaystyle displaystyle f xi nbsp f w displaystyle displaystyle f omega nbsp 2pf n displaystyle displaystyle 2 pi f nu nbsp 傅里叶变换的二元性性质 这里f displaystyle hat f nbsp 的计算需要运用与傅里叶变换那一列同样的方法 通过交换变量x displaystyle x nbsp 和3 displaystyle xi nbsp 或w displaystyle omega nbsp 或n displaystyle nu nbsp 得到 106 dnf x dxn displaystyle displaystyle frac d n f x dx n nbsp 2pi3 nf 3 displaystyle displaystyle 2 pi i xi n hat f xi nbsp iw nf w displaystyle displaystyle i omega n hat f omega nbsp in nf n displaystyle displaystyle i nu n hat f nu nbsp 傅里叶变换的微分性质107 xnf x displaystyle displaystyle x n f x nbsp i2p ndnf 3 d3n displaystyle displaystyle left frac i 2 pi right n frac d n hat f xi d xi n nbsp indnf w dwn displaystyle displaystyle i n frac d n hat f omega d omega n nbsp indnf n dnn displaystyle displaystyle i n frac d n hat f nu d nu n nbsp 变换106的频域对应108 f g x displaystyle displaystyle f g x nbsp f 3 g 3 displaystyle displaystyle hat f xi hat g xi nbsp 2pf w g w displaystyle displaystyle sqrt 2 pi hat f omega hat g omega nbsp f n g n displaystyle displaystyle hat f nu hat g nu nbsp 记号f g displaystyle displaystyle f g nbsp 表示f displaystyle f nbsp 和g displaystyle g nbsp 的卷积 这就是卷积定理109 f x g x displaystyle displaystyle f x g x nbsp f g 3 displaystyle displaystyle hat f hat g xi nbsp f g w 2p displaystyle displaystyle hat f hat g omega over sqrt 2 pi nbsp 12p f g n displaystyle displaystyle frac 1 2 pi hat f hat g nu nbsp 变换108的频域对应 110 当f x displaystyle displaystyle f x nbsp 是实变函数 f 3 f 3 displaystyle displaystyle hat f xi overline hat f xi nbsp f w f w displaystyle displaystyle hat f omega overline hat f omega nbsp f n f n displaystyle displaystyle hat f nu overline hat f nu nbsp 埃尔米特对称 z displaystyle displaystyle overline z nbsp 表示复共轭 111 当f x displaystyle displaystyle f x nbsp 是实偶函数 f w displaystyle displaystyle hat f omega nbsp f 3 displaystyle displaystyle hat f xi nbsp 和f n displaystyle displaystyle hat f nu nbsp 都是实偶函数 112 当f x displaystyle displaystyle f x nbsp 是实奇函数 f w displaystyle displaystyle hat f omega nbsp f 3 displaystyle displaystyle hat f xi nbsp 和f n displaystyle displaystyle hat f nu nbsp 都是虚奇函数 113 f x displaystyle displaystyle overline f x nbsp f 3 displaystyle displaystyle overline hat f xi nbsp f w displaystyle displaystyle overline hat f omega nbsp f n displaystyle displaystyle overline hat f nu nbsp 复共轭 110的一般化平方可积函数 编辑 时域信号 角频率表示的傅里叶变换 弧频率表示的傅里叶变换 注释g t displaystyle g t equiv nbsp 12p G w eiwtdw displaystyle frac 1 sqrt 2 pi int infty infty G omega e i omega t mathrm d omega nbsp G w displaystyle G omega equiv nbsp 12p g t e iwtdt displaystyle frac 1 sqrt 2 pi int infty infty g t e i omega t mathrm d t nbsp G f displaystyle G f equiv nbsp g t e i2pftdt displaystyle int infty infty g t e i2 pi ft mathrm d t nbsp 10 rect at displaystyle mathrm rect at nbsp 12pa2 sinc w2pa displaystyle frac 1 sqrt 2 pi a 2 cdot mathrm sinc left frac omega 2 pi a right nbsp 1 a sinc fa displaystyle frac 1 a cdot mathrm sinc left frac f a right nbsp 矩形脉冲和归一化的sinc函数11 sinc at displaystyle mathrm sinc at nbsp 12pa2 rect w2pa displaystyle frac 1 sqrt 2 pi a 2 cdot mathrm rect left frac omega 2 pi a right nbsp 1 a rect fa displaystyle frac 1 a cdot mathrm rect left frac f a right nbsp 变换10的频域对应 矩形函数是理想的低通滤波器 sinc函数是这类滤波器对反因果冲击的响应 12 sinc2 at displaystyle mathrm sinc 2 at nbsp 12pa2 tri w2pa displaystyle frac 1 sqrt 2 pi a 2 cdot mathrm tri left frac omega 2 pi a right nbsp 1 a tri fa displaystyle frac 1 a cdot mathrm tri left frac f a right nbsp tri是三角形函数13 tri at displaystyle mathrm tri at nbsp 12pa2 sinc2 w2pa displaystyle frac 1 sqrt 2 pi a 2 cdot mathrm sinc 2 left frac omega 2 pi a right nbsp 1 a sinc2 fa displaystyle frac 1 a cdot mathrm sinc 2 left frac f a right nbsp 变换12的频域对应14 e at2 displaystyle e alpha t 2 nbsp 12a e w24a displaystyle frac 1 sqrt 2 alpha cdot e frac omega 2 4 alpha nbsp pa e pf 2a displaystyle sqrt frac pi alpha cdot e frac pi f 2 alpha nbsp 高斯函数exp at2 displaystyle exp alpha t 2 nbsp 的傅里叶变换是其本身 只有当Re a gt 0 displaystyle mathrm Re alpha gt 0 nbsp 时 该函数可积的15 eiat2 e at2 a ia displaystyle e iat 2 left e alpha t 2 right alpha ia nbsp 12a e i w24a p4 displaystyle frac 1 sqrt 2a cdot e i left frac omega 2 4a frac pi 4 right nbsp pa e i p2f2a p4 displaystyle sqrt frac pi a cdot e i left frac pi 2 f 2 a frac pi 4 right nbsp 光学领域应用较多16 cos at2 displaystyle cos at 2 nbsp 12acos w24a p4 displaystyle frac 1 sqrt 2a cos left frac omega 2 4a frac pi 4 right nbsp pacos p2f2a p4 displaystyle sqrt frac pi a cos left frac pi 2 f 2 a frac pi 4 right nbsp 17 sin at2 displaystyle sin at 2 nbsp 12asin w24a p4 displaystyle frac 1 sqrt 2a sin left frac omega 2 4a frac pi 4 right nbsp pasin p2f2a p4 displaystyle sqrt frac pi a sin left frac pi 2 f 2 a frac pi 4 right nbsp 18 e a t displaystyle mathrm e a t nbsp 2p aa2 w2 displaystyle sqrt frac 2 pi cdot frac a a 2 omega 2 nbsp 2aa2 4p2f2 displaystyle frac 2a a 2 4 pi 2 f 2 nbsp a gt 019 1 t displaystyle frac 1 sqrt t nbsp 1 w displaystyle frac 1 sqrt omega nbsp 1 f displaystyle frac 1 sqrt f nbsp 变换本身就是一个公式20 J0 t displaystyle J 0 t nbsp 2p rect w2 1 w2 displaystyle sqrt frac 2 pi cdot frac mathrm rect left frac omega 2 right sqrt 1 omega 2 nbsp 2 rect pf 1 4p2f2 displaystyle frac 2 cdot mathrm rect pi f sqrt 1 4 pi 2 f 2 nbsp J0 t 是0阶第一类贝塞尔函数 21 Jn t displaystyle J n t nbsp 2p i nTn w rect w2 1 w2 displaystyle sqrt frac 2 pi frac i n T n omega mathrm rect left frac omega 2 right sqrt 1 omega 2 nbsp 2 i nTn 2pf rect pf 1 4p2f2 displaystyle frac 2 i n T n 2 pi f mathrm rect pi f sqrt 1 4 pi 2 f 2 nbsp 上一个变换的推广形式 Tn t 是第一类切比雪夫多项式 22 Jn t t displaystyle frac J n t t nbsp 2pin i n Un 1 w displaystyle sqrt frac 2 pi frac i n i n cdot U n 1 omega nbsp 1 w2rect w2 displaystyle cdot sqrt 1 omega 2 mathrm rect left frac omega 2 right nbsp 2in i n Un 1 2pf displaystyle frac 2 mathrm i n i n cdot U n 1 2 pi f nbsp 1 4p2f2rect pf displaystyle cdot sqrt 1 4 pi 2 f 2 mathrm rect pi f nbsp Un t 是第二类切比雪夫多项式 分布 编辑 时域信号 角频率表示的傅里叶变换 弧频率表示的傅里叶变换 注释g t displaystyle g t equiv nbsp 12p G w eiwtdw displaystyle frac 1 sqrt 2 pi int infty infty G omega e i omega t d omega nbsp G w displaystyle G omega equiv nbsp 12p g t e iwtdt displaystyle frac 1 sqrt 2 pi int infty infty g t e i omega t dt nbsp G f displaystyle G f equiv nbsp g t e i2pftdt displaystyle int infty infty g t e i2 pi ft dt nbsp 基本定义23 1 displaystyle 1 nbsp 2p d w displaystyle sqrt 2 pi cdot delta omega nbsp d f displaystyle delta f nbsp d w displaystyle delta omega nbsp 代表狄拉克d函数分布 这个变换展示了狄拉克d函数的重要性 该函数是常函数的傅立叶变换24 d t displaystyle delta t nbsp 12p displaystyle frac 1 sqrt 2 pi nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 变换23的频域对应25 eiat displaystyle e iat nbsp 2p d w a displaystyle sqrt 2 pi cdot delta omega a nbsp d f a2p displaystyle delta f frac a 2 pi nbsp 由变换103和23得到26 cos at displaystyle cos at nbsp 2pd w a d w a 2 displaystyle sqrt 2 pi frac delta omega a delta omega a 2 nbsp d f a2p d f a2p 2 displaystyle frac delta f begin matrix frac a 2 pi end matrix delta f begin matrix frac a 2 pi end matrix 2 nbsp 由变换101和25得到 应用了欧拉公式 cos at eiat e iat 2 displaystyle cos at e iat e iat 2 nbsp 27 sin at displaystyle sin at nbsp 2pd w a d w a 2i displaystyle sqrt 2 pi frac delta omega a delta omega a 2i nbsp d f a2p d f a2p 2i displaystyle frac delta f begin matrix frac a 2 pi end matrix delta f begin matrix frac a 2 pi end matrix 2i nbsp 由变换101和25得到28 tn displaystyle t n nbsp in2pd n w displaystyle i n sqrt 2 pi delta n omega nbsp i2p nd n f displaystyle left frac i 2 pi right n delta n f nbsp 这里 n displaystyle n nbsp 是一个自然数 d n w displaystyle delta n omega nbsp 是狄拉克d函数分布的n displaystyle n nbsp 阶微分 这个变换是根据变换107和24得到的 将此变换与101结合使用 我们可以变换所有多項式函数 29 1t displaystyle frac 1 t nbsp ip2sgn w displaystyle i sqrt frac pi 2 operatorname sgn omega nbsp ip sgn f displaystyle i pi cdot operatorname sgn f nbsp 此处sgn w displaystyle operatorname sgn omega nbsp 为符号函数 注意此变换与变换107和24是一致的 30 1tn displaystyle frac 1 t n nbsp ip2 iw n 1 n 1 sgn w displaystyle i begin matrix sqrt frac pi 2 cdot frac i omega n 1 n 1 end matrix operatorname sgn omega nbsp ip i2pf n 1 n 1 sgn f displaystyle i pi begin matrix frac i2 pi f n 1 n 1 end matrix operatorname sgn f nbsp 变换29的推广31 sgn t displaystyle operatorname sgn t nbsp 2p 1i w displaystyle sqrt frac 2 pi cdot frac 1 i omega nbsp 1ipf displaystyle frac 1 i pi f nbsp 变换29的频域对应32 u t displaystyle u t nbsp p2 1ipw d w displaystyle sqrt frac pi 2 left frac 1 i pi omega delta omega right nbsp 12 1ipf d f displaystyle frac 1 2 left frac 1 i pi f delta f right nbsp 此处u t displaystyle u t nbsp 是单位阶跃函数 此变换根据变换101和31得到 33 e atu t displaystyle e at u t nbsp 12p a iw displaystyle frac 1 sqrt 2 pi a i omega nbsp 1a i2pf displaystyle frac 1 a i2 pi f nbsp u t displaystyle u t nbsp 是单位阶跃函数 且a gt 0 displaystyle a gt 0 nbsp 34 n d t nT displaystyle sum n infty infty delta t nT nbsp 2pT k d w k2pT displaystyle begin matrix frac sqrt 2 pi T end matrix sum k infty infty delta left omega k begin matrix frac 2 pi T end matrix right nbsp 1T k d f kT displaystyle frac 1 T sum k infty infty delta left f frac k T right nbsp 狄拉克梳状函数 英语 Dirac comb 有助于解释或理解从连续到离散时间的转变 二元函数 编辑 时域信号 傅立叶变换单一 普通频率 傅立叶变换么正 角频率 傅立叶变换非么正 角频率400 f x y displaystyle displaystyle f x y nbsp f 3x 3y displaystyle displaystyle hat f xi x xi y nbsp f x y e 2pi 3xx 3yy dxdy displaystyle displaystyle iint f x y e 2 pi i xi x x xi y y dx dy nbsp f wx wy displaystyle displaystyle hat f omega x omega y nbsp 12p f x y e i wxx wyy dxdy displaystyle displaystyle frac 1 2 pi iint f x y e i omega x x omega y y dx dy nbsp f nx ny displaystyle displaystyle hat f nu x nu y nbsp f x y e i nxx nyy dxdy displaystyle displaystyle iint f x y e i nu x x nu y y dx dy nbsp 401 e p a2x2 b2y2 displaystyle displaystyle e pi left a 2 x 2 b 2 y 2 right nbsp 1 ab e p 3x2 a2 3y2 b2 displaystyle displaystyle frac 1 ab e pi left xi x 2 a 2 xi y 2 b 2 right nbsp 12p ab e wx2 a2 wy2 b2 4p displaystyle displaystyle frac 1 2 pi cdot ab e frac left omega x 2 a 2 omega y 2 b 2 right 4 pi nbsp 1 ab e nx2 a2 ny2 b2 4p displaystyle displaystyle frac 1 ab e frac left nu x 2 a 2 nu y 2 b 2 right 4 pi nbsp 402 circ x2 y2 displaystyle displaystyle mathrm circ sqrt x 2 y 2 nbsp, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，
